2018-2019学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷
　
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）若a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．a?2＜b?2 C． ＞  D．?2a＞?2b
2．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（　　）
A．x2?x?2=x（x?1）?2 B．x2?4x+4=（x?2）2
C．（ x+1）（x?1）=x2?1 D．x?1=x（1? ）
3．（3分）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
4．（3分）多项式x2?1与多项式x2?2x+1的公因式是（　　）
A．x?1 B．x+1 C．x2?1 D．（x?1）2
5．（3分）已知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
6．（3分）下列多项式能用完全平方公式分解因式的有（　　）
A．m2?mn+n2 B．x2+4x?4 C．x2?4x+4 D．4x2?4x+4
7．（3分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（　　）
 
A．60° B．90° C．120° D．150°
8．（3分）运用分式的性质，下列计算正确的是（　　）
A．  =x4 B．  =?1 C．  =  D．  =0
9．（3分）如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，BC= AB，则BC=（　　）
 
A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm
10．（3分）若分式方程 有增根，则m等于（　　）
A．3 B．?3 C．2 D．?2
11．（3分）如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（　　）
 
A．18 B．14 C．12 D．6
12．（3分）如图，已知直线y1=x+m与y2=kx?1相交于点P（?1，2），则关于x的不等式x+m＜kx?1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
13．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD  相交于点O，BD=8，BC=5，AE⊥BC 于点E，则AE的长等于（　　）
 
A．5 B．  C．  D．
14．（3分）定义新运算“?”如下：当a＞b时，a?b=ab+b；当a＜b时，a?b=ab?b，若3?（x+2）＞0，则x的取值范围是（　　）
A．?1＜x＜1或x＜?2 B．x＜?2或1＜x＜2 C．?2＜x＜1或x＞1 D．x＜?2或x＞2
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017．则点B2017的坐标（　　）
 
A．（22017，?22017） B．（22018，?22018） C．（22017，22017） D．（22018，22018）
　
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
16．（3分）分式 有意义的x的取值范围为　   　．
17．（3分）若m=2，则m2?4m+4的值是　   　．
18．（3分）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于　   　．
 
19．（3分）不等式组 （m≠4）的解集是x＞4，那么m的取值范围是　   　．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为　   　．
 
21．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EFC= ．其中正确结论的是　   　（只填序号）．
 
　
三、解答题（本大题共7个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
22．（7分）（1）分解因式：ax2?ay2．
（2）解不等式组 ，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
 
23．（7分）（1）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF，求证：DE=BF．
（2）先化简，再求值：（ ? ）÷ ，其中a=6．
 
24．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿X轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2．
（3）直接写出点A2、C2的坐标．
 
25．（8分）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵10元，用350元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过3200元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
26．（9分）探索发现：  =1? ；  = ? ；  = ? …
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1） =　   　，  =　   　；
（2）利用你发现的规律计算：  + + +…+
（3）灵活利用规律解方程：  + +…+ = ．
27．（9分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH．
（1）如图1，点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF，直接写出BH和AF的数量关系：
（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转
①如图2，判断BH和AF的数量关系，并说明理由；
②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形；如果四方形ABCD的边长为 ，求正方形EFGH的边长．
 
28．（9分）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（?6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）直接写出线段BO的长：
（2）求点D的坐标；
（3）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使咀M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的 点M的坐标；若不存在，请说明理由．

 

2018-2019学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）若a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．a?2＜b?2 C． ＞  D．?2a＞?2b
【解答】解：（A）a+2＞b+2，故A错误；
（B）a?2＞b?2，故B错误；
（D）?2a＜?2b，故D错误；
故选：C．
　
2．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（　　）
A．x2?x?2=x（x?1）?2 B．x2?4x+4=（x?2）2
C．（x+1）（x?1）=x2?1 D．x?1=x（1? ）
【解答】解：A、没把多项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意；
B、把多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；
C、是整式的乘法，故C不符合题意；
D、没把多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：B．
　
3．（3分）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
　
4．（3分）多项式x2?1与多项式x2?2x+1的公因式是（　　）
A．x?1 B．x+1 C．x2?1 D．（x?1）2
【解答】解：∵x2?1=（x+1）（x?1），
x2?2x+1=（x?1）2，
∴多项式x2?1与多项式x2?2x+1的公因式是：x?1．
故选：A．
　
5．（3分）已知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则有（n?2）180°=360°，
解得：n=4，
故这个多边形是四边形．
故选：A．
　
6．（3分）下列多项式能用完全平方公式分解因式的有（　　）
A．m2?mn+n2 B．x2+4x?4 C．x2?4x+4 D．4x2?4x+4
【解答】解：A、m2?mn+n2不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点；
B、x2+4x?4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特 点；
C、x2?4x+4能用完全平方公式分解因式；
D、4x2?4x+4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点．
故选：C．
　
7．（3分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（　　）
 
A．60° B．90° C．120° D．150°
【解答】解：旋转角是∠BAB′=180°?30°=150°．
故选：D．
　
8．（3分）运用分式的性质，下列计算正确的是（　　）
A．  =x4 B．  =?1 C．  =  D．  =0
【解答】解：A、 =x4，所以A选项计算正确；
B、 为最简分式，所以B选项的计算错误；
C、 为最简分式，所以C选项的计算错误；
D、 =1，所以D选项的计算错误；
故选：A．
　
9．（3分）如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，BC= AB，则BC=（　　）
 
A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵▱ABCD的周长为40cm，
∴AB+BC=20cm，
∵BC= AB，
∴BC=20× =8 cm，
故选：D．
　
10．（3分）若分式方程 有增根，则m等于（　　）
A．3 B．?3 C．2 D．?2
【解答】解：分式方程去分母得：x?3=m，
由分式方程有增根，得到x?1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程得：m=?2，
故选：D．
　
11．（3分）如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（　　）
 
A．18 B．14 C．12 D．6
【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE= AC= ．
∵△CDE的周长为24，
∴CD=9，
∴BC=2CD=18．
故选：A．
　
12．（3分）如图，已知直线y1=x+m与y2=kx?1相交于点P（?1，2），则关于x的不等式x+m＜kx?1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【解答】解：根据图象得，当x＜?1时，x+m＜kx?1．
故选：D．
　
13．（3分）如图，在菱形ABCD  中，对角线AC、BD  相交于点O，BD=8，BC=5，  AE⊥BC 于点E，则AE的长等于（　　）
 
A．5 B．  C．  D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=8，
∴BO=DO=4，∠BOC=90°，
在Rt△OBC中，OC= = =3，
∴AC=2OC=6，
∴AE×BC=BO×AC
故5AE=24，
解得：AE= ．
故选：C．
 
　
14．（3分）定义新运算“?”如下：当a＞b时，a?b=ab+b；当a＜b时，a?b=ab?b，若3?（x+2）＞0，则x的取值范围是（　　）
A．?1＜x＜1或x＜?2 B．x＜?2或1＜x＜2 C．?2＜x＜1或x＞1 D．x＜?2或x＞2
【解答】解：当3＞x+2，即x＜1时，3（x+2）+x+2＞0，
解得：x＞?2，
∴?2＜x＜1；
当3＜x+2，即x＞1时，3（x+2）?（x+2）＞0，
解得：x＞?2，
∴x＞1，
综上，?2＜x＜1或x＞1，
故选：C．
　
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017．则点B2017的坐标（　　）
 
A．（22017，?22017） B．（22018，?22018） C．（22017，22017） D．（22018，22018）
【解答】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，
∴AB=OA=1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，?2），B2（?4，?4），B3（?8，8），B4（16，16），
∵2017÷4=503…1，
∴点B2017与B2同在一个象限内，
∵?4=?22，8=23，16=24，
∴点B2017（22017，?22017）．
故选：A．
 
　
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
16．（3分）分式 有意义的x的取值范围为　x≠1　．
【解答】解：当分母x?1≠0，即x≠1时，分式 有意义．
故答案是：x≠1．
　
17．（3分） 若m=2，则m2?4m+4的值是　0　．
【解答】解：当m=2时，原式=4?8+4=0，
故答案为：0
　
18．（3分）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于　2　．
 
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE= PC=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案为：2．
 
　
19．（3分）不等式组 （m≠4）的解集是x＞4，那么m的取值范围是　m＜4　．
【解答】解：不等式组 的解集是x＞4，
得m≤4（m≠4），
∴m＜4，
故答案为：m＜4．
　
20．（3分）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为　4　．
 
【解答】解：∵△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，
∴DE=AB=4 ，BC?BE=6?2=4，
∵∠B=∠DEC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC=4，
故答案为：4．
　
21．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EFC= ．其中正确结论的是　①②③④　（只填序号）．
 
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG =90°，
∴AF=AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，
 ，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
设BG=x，则CG=BC?BG=6?x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2，
∵CG=6?x，CE=4，EG=x+2
∴（6?x）2+42=（x+2）2
解得：x=3，
∴BG=GF=CG=3，∴②正确；
∵CG=GF，
∴∠CFG=∠FCG，
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG
∴AG∥CF，∴③正确；
∵ = =  ，
∴S△EFC= × •3×4= ，∴④正确，
故答案为①②③④．
 
　
三、解答题（本大题共7个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
22．（7分）（1）分解因式：ax2?ay2．
（2）解不等式组 ，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
 
【解答】解：（1）原式=a（x2?y2）=a（x+y）（x?y）；
（2）由①解得x＜2，
由②解得x≥?2，
不等式组 的解集在数轴上表示如图
 ；
不等式组的解集为?2≤x＜2．
　
23．（7分）（1）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF，求证：DE=BF．
（2）先化简，再求值：（ ? ）÷ ，其中a=6．
 
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∵AE=CF，
∴DF=EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．

（2）解：原式= ×（a?2）=? ，
当a=6时，原式=?1．
　
24．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿X轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2．
（3）直接写出点A2、C2的坐标．
 
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
 

（2）如图所示，△AB2C2即为所求；

（3）由以上作图知，A2的坐标为（1，1）、C2的坐标为（1，?3）．
　
25．（8分）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵10元，用350元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过3200元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
【解答】解：（1）设每件乙种商品的价格为x元，则每件甲种商品的价格为（x+10）元，
根据题意得：  = ，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，
∴x+10=70．
答：每件乙种商品的价格为60元，每件甲种商品的价格为70元．
（2）设购买y件甲种商品，则购买（50?y）件乙种商品，
根据题意得：70y+60（50?y）≤3200，
解得：x≤20．
答：最多可购买20件甲种商品．
　
26．（9分）探索发现：  =1? ；  = ? ；  = ? …
根据你发现的规律， 回答下列问题：
（1） =　 ? 　，  =　 ? 　；
（2）利用你发现的规律计算：  + + +…+
（3）灵活利用规律解方程：  + +…+ = ．
【解答】解：（1） = ? ，  = ? ；
（2）原式=1? + ? + ? +…+ ? =1? = ；
（3） （ ? + ? +…+ ? ）= ，
 （ ? ）=
 ? = ，
 = ，
解得x=50，
经检验，x=50为原方程的根．
故答案为 ? ， ? ．
　
27．（9分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH．
（1）如图1，点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF，直接写出BH和AF的数量关系：
（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转
①如图2，判断BH和AF的数量关系，并说明理由；
②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形；如果四方形ABCD的边长为 ，求正方形EFGH的边长．
 
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AE=B E，∠BEH=∠AEF=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，
∵在△BEH和△AEF中，
 ，
∴△BEH≌△AEF（SAS） ，
∴BH=AF；

（2）①BH=AF，
理由：连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=BE，∠BEA=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，∠HEF=90°，
∴∠BEA+∠AEH=∠HEF+∠AEH，
即∠BEH=∠AEF，
在△BEH与△AEF中， ，
∴△BEH≌△AEF，
∴BH=AF；
②如备用图，∵四边形ABDH是平行四边形，
∴AH∥BD，AH=BD，
∴∠EAH=∠AEB=90°，
∵四方形ABCD的边长为 ，
∴AE=BE=CE=DE=1，
∴EH= = = ，
∴正方形EFGH的边长为 ．
 
　
28．（9分）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（?6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）直接写出线段BO的长：
（2）求点D的坐标；
（3）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使咀M、N、E、O为顶点的四边形是菱形 ？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
 
【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是（?6，8）．
∴∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8，
∴BO= =10；

（2）由折叠的性质得：BE=AB=6，∠BED=∠BAD=90°，DE=AD，
∴OE=BO?BE=10?6=4，∠OED=90°，
设D（0，a），则OD=a，DE=AD=OA?OD=8?a，
在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2，
即（8?a）2+42=a2，解得：a=5，
∴D（0，5）；

（3）存在，点M的坐标为（4，0）或（?4，0）或（? ，0）或（? ，0）；理由如下：
①当OM、OE都为菱形的边时，OM=OE=4，
∴M的坐标为（4，0）或（?4，0）；
②当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1所示：
则OG= OE=2，
则cos∠MOG=cos∠BOC，
∴ ，即 ，
解得：OM= ，
∴M（? ，0）；
③当OM为菱形的对角线，OE为边时，如图2所示：
同②得：M（? ，0）；
综上所述，在x轴上存在点M，使以M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为（4，0）或（?4，0）或（? ，0）或（? ，0）．
 

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