第18章 平行四边形
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13 B．17 C．20 D．26
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
3．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE
4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
6．如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是( )
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
第6题图 第7题图
7．如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠E＝∠CDF B．EF＝DF
C．AD＝2BF D．BE＝2CF
8．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，AB＝3，AD＝5，则EF的长为( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
10．如图，以▱ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD＝DE＝CE，∠DEC＝90°，且点E在平行四边形内部，连接AE，BE，则∠AEB的度数是( )
A．120° B．135° C．150° D．45°
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝270°，则∠C＝________．
12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E，F，若∠EAF＝59°，则∠B＝________度．
第12题图 第13题图 第14题图
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．
14．如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，若四边形ABDC的面积记作S1，四边形ECDF的面积记作S2，则S1与S2大小关系是__________．
15．如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成________个平行四边形．
第15题图 第16题图
16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，作AE∥DC交BC于E.△ABE的周长是25cm，四边形ABCD的周长是37cm，那么AD＝________cm.
17．如图，点A是反比例函数y＝－6x(x<0)的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为________．
第17题图 第18题图
18．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是________[提示：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半]．
①∠DCF＝12∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；
④∠DFE＝3∠AEF.
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：DA＝DE.
20.(10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD，连接CE.
求证：CE平分∠BCD.
21．(10分)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1.
(1)线段A1C1的长度是________，∠CBA1的度数是________；
(2)连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．
22．(12分)已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．
23．(12分)如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．
24．(14分)在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E.
(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC；
(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明；
(3)若AC＝6，DE＝4，则DF＝________．
答案
BDBBD CDAAB
11．45° 12.59 13.7 14.S1＝S2 15.4 16.6
17．6 解析：如图，连接OA，CA，则S△OAD＝12|k|＝12×6＝3.∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴S△CAD＝S△OAD＝3，∴S▱ABCD＝2S△CAD＝6.
18．①②④ 解析：①∵F是AD的中点，∴AF＝FD.
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF.∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DCF＝12∠BCD，故①正确；
②延长EF交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF.∵F为AD的中点，∴AF＝DF.在△AEF和△DMF中，∠A＝∠MDF，AF＝DF，∠AFE＝∠DFM，∴△AEF≌△DMF，∴FE＝FM，∠AEF＝∠M.∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.∵AB∥CD，∴∠ECD＝90°.∵FM＝EF，∴FC＝EF，故②正确；③∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM.∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故③错误；④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°－x，∴∠EFC＝180°－2x，∴∠EFD＝90°－x＋180°－2x＝270°－3x.∵∠AEF＝90°－x，∴∠DFE＝3∠AEF，故④正确．故答案为①②④.
19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，(2分)∴∠E＝∠BAE.(4分)∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，(6分)∴∠E＝∠DAE，∴DA＝DE.(8分)
20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴∠E＝∠DCE.(3分)∵AE＋CD＝AD，∴AE＋AB＝BC，∴BE＝BC，∴∠E＝∠BCE，(6分)∴∠DCE＝∠BCE，即CE平分∠BCD.(10分)
21．(1)10 135°(4分)
(2)证明：∵∠A1C1B＝∠C1BC＝90°，∴A1C1∥BC.(6分)∵A1C1＝AC＝BC，∴四边形CBA1C1是平行四边形．(10分)
22．(1)证明：∵BD垂直平分AC，∴∠BCD＝∠BAD.
∵∠BCD＝∠ADF，∴∠BAD＝∠ADF，∴AB∥DF.(3分)∵AF⊥AC，BD⊥AC，∴∠FAE＝∠DEC＝90°，∴AF∥BD，∴四边形ABDF是平行四边形．(5分)
(2)解：∵四边形ABDF是平行四边形，∴AB＝DF＝5，BD＝AF＝5.设BE＝x，则DE＝BD－BE＝5－x.(8分)在△ABD中，∵AE⊥BD，∴AD2－DE2＝AB2－BE2，∴36－(5－x)2＝25－x2，解得x＝1.4，即BE＝1.4，(11分)∴AE＝AB2－BE2＝4.8，∴AC＝2AE＝9.6.(12分)
23．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠OBE＝∠ODF.(1分)在△OBE与△ODF中，∠BOE＝∠DOF，∠OBE＝∠ODF，BE＝DF，∴△OBE≌△ODF，(4分)
∴BO＝DO.(5分)
(2)解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GFD＝∠GEA＝90°.∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°，∴AE＝GE.(7分)∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°，∴∠GOD＝∠G＝45°，∴DG＝DO，∴OF＝FG＝1.(9分)由(1)可知，OE＝OF＝1，(10分)∴GE＝OE＋OF＋FG＝3，∴AE＝3.(12分)
24．(1)证明：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AF＝DE.(2分)∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C.(3分)又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDB＝∠B，∴DF＝BF.(6分)∴DE＋DF＝AF＋BF＝AB＝AC.(7分)
(2)图②中：AC＋DF＝DE.(9分)图③中：AC＋DE＝DF.(11分)
(3)2或10(14分)
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