第六章 平行四边形
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13 B．17 C．20 D．26
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
3．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE
4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
6．如图，▱ABCD中，AC⊥AB，O为对角线AC的中点，点E为AD中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是( )
A．37° B．53°
C．127° D．143°
第6题图 第7题图
7．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是( )
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
8．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF.若EF＝1，AC＝6，则AB的长为( )
A．10 B．9
C．8 D．6
第8题图 第10题图
9．马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了两个内角，其和等于830°，则该多边形的边数是( )
A．7 B．8
C．7或8 D．无法确定
10．如图，在△ABC中，DE∥AB，FD∥BC，EF∥AC，则下列说法：①图中共有3个平行四边形；②AF＝BF，CE＝BE，AD＝CD；③EF＝DE＝DF；④图中共有3对全等三角形．其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是________．
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：____________，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线)．
第12题图 第13题图
13．如图，P为▱ABCD的边CD上一点，若S▱ABCD＝20cm2，则S△APB＝________cm2.
14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD＝10，△BOC的周长为21，则AC＋BD＝________．
第14题图 第15题图
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，∠A＝60°，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝1cm，那么对角线BD＝________cm.
16．如图，一块四边形绿化园地的四个角都做有半径为1m的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为________．
第16题图 第17题图
17．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，且DE平分∠CDA.若BE∶EC＝1∶2，则∠BCD的度数为________．
18．如图，在△ABC中，BC＝1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为________(n为正整数)．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD，连接CE.求证：CE平分∠BCD.
20.(8分)如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．
21．(8分)一个多边形的内角和与某个外角的度数的总和为1350°，试求此多边形的边数及此外角的度数．
22．(10分)如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，D为垂足，E为AC的中点．求证：
(1)DE∥BC；
(2)DE＝12(BC－AB)．
23．(10分)如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，求四边形ADCN的面积．
24．(10分)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：
(1)BE⊥AC；
(2)EG＝EF(提示：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半)．
25．(12分)如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝12BC，连接DE，CF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
答案
BDBBD DDCCB
11．10 12.AD＝BC(答案不唯一) 13.10
14．22 15.3 16.πm2 17.120° 18.12n
19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴∠E＝∠DCE，AE＋CD＝AE＋AB＝BE.(3分)又∵AE＋CD＝AD，∴BE＝AD＝BC，∴∠E＝∠BCE，(6分)∴∠DCE＝∠BCE，即CE平分∠BCD.(8分)
20．证明：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴∠A＋∠B＝180°.(3分)又∵∠A＝∠C，∴∠B＋∠C＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，(6分)∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．(8分)
21．解：∵1350°＝180°×7＋90°，(2分)又∵多边形的一个外角大于0°小于180°，∴多边形的这一外角的度数为90°，(5分)多边形的边数为7＋2＝9.(8分)
22．证明：(1)延长AD交BC于F.∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，∴AB＝BF，AD＝DF.(3分)又∵E为AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴DE∥BC.(5分)
(2)∵AB＝BF，∴FC＝BC－AB.(7分)∵DE是△ACF的中位线，∴DE＝12FC＝12(BC－AB)．(10分)
23．(1)证明：∵CN∥AB，∴∠1＝∠2.在△AMD和△CMN中，∠1＝∠2，MA＝MC，∠AMD＝∠CMN，∴△AMD≌△CMN(ASA)，∴AD＝CN.又∵AD∥CN，(3分)∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN.(5分)
(2)解：∵AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，∴AN＝2MN＝2，∴AM＝AN2－MN2＝3.(7分)∴S△AMN＝12AM?MN＝12×3×1＝32.(8分)∵四边形ADCN是平行四边形，∴S四边形ADCN＝4S△AMN＝23.(10分)
24．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，BD＝2BO.(1分)又∵BD＝2AD，∴BO＝AD＝BC.(3分)∵E为OC的中点，∴BE⊥AC.(5分)
(2)由(1)知BE⊥AC，∴△ABE为直角三角形，AB为斜边．在Rt△ABE中，G为AB的中点，∴EG＝12AB.(7分)又∵E，F分别为OC，OD的中点，∴EF＝12CD.(8分)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴EG＝EF.(10分)
25．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.(1分)∵F是AD的中点，∴DF＝12AD.又∵CE＝12BC，∴DF＝CE.(4分)又∵DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形．(5分)
(2)解：过点D作DH⊥BE于点H.(6分)在▱ABCD中，∵AB∥CD，∠B＝60°，∴∠DCE＝60°，∴∠CDH＝30°.(7分)∵AB＝4，∴CD＝AB＝4，∴CH＝2，DH＝DC2－CH2＝23.(9分)在▱CEDF中，CE＝DF＝12AD＝3，则EH＝CE－CH＝1.(10分)∴在Rt△DHE中，由勾股定理得DE＝DH2＋HE2＝（23）2＋1＝13.(12分)
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