2018-2019学年河南省南阳市宛城区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．1的立方根是?1 B． =±2
C． 的平方根是3 D．0的平方根是0
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．（a3）3=a9 C．（2a2）2=2a4 D．a8÷a2=a4
3．在实数 ，0， ， ，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）， ， 中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．若改动多项式3a2+12ab+b2中某一项，使它变成完全平方式，则改动的方法是（ ）
A．只能改动第一项 B．只能改动第二项
C．只能改动第三项 D．可以改动三项中任意一项
5．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x?1的是（ ）
A．x2?1 B．x（x?2）+（2?x） C．x2?2x+1 D．x2+2x+1
6．下列命题不正确的是（ ）
A．立方根等于它本身的实数是0和±1
B．所有无理数的绝对值都是正数
C．等腰三角形的两边长是6和9，则它的周长是21或24
D．腰长相等，且有一个角是45°的两个等腰三角形全等
7．如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△APR≌△QPS中（ ）
A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确
8．如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正 方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
二、填空题
9．1 的算术平方根是 ，? = ．
10．把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式： ．
11．若 与 互为相反数，则x+y的平方根是 ．
12．已知?5x2与一个整式的积是25x2+15x3y?20x4，则这个整式是 ．
13．计算：（ ）2018年×1.52018年÷（?1）2018年= ．
14．已知5+ 小数部分为m，11? 为小数部分为n，则m+n= ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于点F，若△AEF的周长为16，则AB+AC的值为 ．
16．32x=2，3y=5，则求34x?2y= ．
17．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DA E，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= ．
18．如图所示，点B、C、E在同一直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列所有正确的结论序号为
①△ACE≌△BCD，②BG=AF，③△DCG≌△ECF，④△ADB≌△CEA，⑤DE=DG，⑥∠AOB=60°．
三、解答题
19．把下列多项式分解因式
（1）2xy2?8x
（2）4a2?3b（4a?3b）
20．计算或化简
（1）（? a2b）3÷（? a2b）2× a3b2
（2）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）
21．先化简再求值，（ab+1）（ab?2）+（a?2b）2+（a+2b）（?2b?a），其中a= ，b=? ．
22．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=17，ab=60，求阴影部分的面积．
23．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）
（2）x2?y2?2y?1=x2?（y2 +2y+1）=x2?（y+1）2=（x+y+1）（x?y?1）
参考上面的方法解决下列问题：
（1）a2+2ab+ac+bc+b2= ；
（2）△ABC三边a、b、c满足a2?ab?ac+bc=0，判断△ABC的形状．
24．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
25．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直线顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C、A1B1交于点D、E，AC与A1B1交于点F．
（1）求证：BD=B1F；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？并说明理由；
（3）根据图1直接判断命题“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的真假 （填真命题或假命题）；将图2中三角板ABC绕点C顺时针旋转至图3的位置，当AB∥CB1时，请直接写出A1D与CD的数量关系：
2018-2019学年河南省南阳市宛城区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．1的立方根是?1 B． =±2
C． 的平方根是3 D．0的平方根是0
【解答】解：A、1的立方根是1，故选项错误；
B、 =2，故选项错误；
C、 =9，9的平方根是±3，故选项错误；
D、0的平方根是0，故选项正确．
故选：D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．（a3）3=a9 C．（2a2）2=2a4 D．a8÷a2=a4
【解答】解：A、应为a2•a3=a5，故本选项错误；
B、（a3）3=a9，正确；
C、应为（2a2）2=4a4，故本选项错误；
D、应为a8÷a2=a6，故本选项错误．
故选：B．
3．在实数 ，0， ， ，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）， ， 中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解： =0.5， =2，
无理数有： ，0.1010010001…， ，共3个．
故选：B．
4．若改动多项式3a2+12ab+b2中某一项，使它变成完全平方式，则改动的方法是（ ）
A．只能改动第一项 B．只能改动第二项
C．只能改动第三项 D．可以改动三项中任意一项
【解答】解：若改动多项式3a2+12ab+b2中某一项，使它变成完全平方式，则改动的方法是只能改动第三项，
故选：C．
5．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x?1的是（ ）
A．x2?1 B．x（x?2）+（2?x） C．x2?2x+1 D．x2+2x+1
【解答】解：A、x2?1=（x+1）（x?1），故A选项不合题意；
B、x（x?2）+（2?x）=（x?2）（x?1），故B选项不合题意；
C、x2?2x+1=（x?1）2，故C选项不合题意；
D、x2+2x+1=（x+1）2，故D选项符合题意．
故选：D．
6．下列命题不正确的是（ ）
A．立方根等于它本身的实数是0和±1
B．所有无理数的绝对值都是正数
C．等腰三角形的两边长是6和9，则它的周长是21或24
D．腰长相等，且有一个角是45°的两个等腰三角形全等
【解答】解：A、立方根等于它本身的实数是0和±1，所以A选项为真命题；
B、所有无理数的绝对值都是正数，所以B选项为真命题；
C、等腰三角形的两边长是6和9，则它的周长是21或24，所以C选项为真命题；
D、腰长相等，且有一个角是45°的两个等腰三角形不一定全等，所以D选项为假命题．
故选：D．
7．如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△APR≌△QPS中（ ）
A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确
【解答】解：如图，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AR=AS，①③正确；
∠BAP=∠PAS，
∵AQ=PQ，
∴∠PAQ=∠APQ，
∴∠BAP=∠APQ，
∴QP∥AB，②正确，
故选：A．
8．如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正 方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【解答】解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；
当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；
当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；
当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个；
当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个；
综上，直线AB上会发出警报的点P有9个．
故选：C．
二、填空题
9．1 的算术平方根是 ，? = ．
【解答】解：1 的算术平方根是 ，? =? = ．
故答案为： ， ．
10．把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式： 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 ．
【解答】解：把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
11．若 与 互为相反数，则x+y的平方根是 ±1 ．
【解答】解：∵ 与 互为相反数，
∴3x?7+3y+4=0，
3x+3y=3，
x+y=1，
即x+y的平方根是±1，
故答案为：±1．
12．已知?5x2与一个整式的积是25x2+15x3y?20x4，则这个整式是 ?5?3xy+4x2 ．
【解答】解：∵?5x2与一个整式的积是25x2+15x3y?20x4，
∴（25x2+15x3y?20x4）÷（?5x2）
=?5?3xy+4x2．
故答案为：?5?3xy+4x2．
13．计算：（ ）2018年×1.52018年÷（?1）2018年= ．
【解答】解：（ ）2018年×1.52018年÷（?1）2018年
=（ × ）2018年× ÷1
=1× ÷1
= ，
故答案为： ．
14．已知5+ 小数部分为m，11? 为小数部分为n，则m+n= 1 ．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜ ＜3，
∴7＜5+ ＜8，8＜11? ＜9，
∴m=5+ ?7= ?2，n=11? ?8=3? ，
∴m+n= ?2+3? =1．
故答案为：1．
15．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于点F，若△AEF的周长为16，则AB+AC的值为 16 ．
【解答】解：∵EF∥B C，
∴∠BOE=∠OBC，∠COF=∠OCB，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠COF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，
∵△AEF的周长为16，
∴AB+BC=16，
故答案为16．
16．32x=2，3y=5，则求34x?2y= ．
【解答】解：原式=
= ，
当32x=2，3y=5时，原式= = ．
故答案为： ．
17．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= 55° ．
【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，
∴∠1=∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2=∠ABD=30°，
∵∠1=25°，
∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°，
故答案为：55°．
18．如图所示，点B、C、E在同一直线上，△AB C与△CDE都是等边三角形，则下列所有正确的结论序号为 ①②③⑥
①△ACE≌△BCD，②BG=AF，③△DCG≌△ECF，④△ADB≌△CEA，⑤DE=DG，⑥∠AOB=60°．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中
，
故①成立；
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°，
在△BGC和△AFC中
，
∴△BGC≌△AFC，
∴BG=AF．
故②成立；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中
，
∴△DCG≌△ECF，
故③成立；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠CEA，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=120°，
∴∠DBC+∠BDC=60°，
∴∠DBC+∠AEC=60°．
∵∠AOB=∠DBC+∠AEC，
∴∠AOB=60°．
故⑥成立；
在△ADB和△CEA中，只有AB=AC，BD=AE，两边对应相等不能得到两三角形全等；故④不成立；
若DE=DG，则DC=DG，
∵∠ACD=60°，
∴△DCG为等边三角形，故⑤不成立．
∴正确的有①②③⑥．
故答案为①②③⑥．
三、解答题
19．把下列多项式分解因式
（1）2xy2?8x
（2）4a2?3b（4a?3b）
【解答】解：（1）原式=2x（y2?4）=2x（y+2）（y?2）；
（2）原式=4a2?12ab+9b2=（2a?3b）2．
20．计算或化简
（1）（? a2b）3÷（? a2b）2× a3b2
（2）（2+1）×（22+ 1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）
【解答】解：（1）（? a2b）3÷（? a2b）2× a3b2
=? a6b3÷ a4b2× a3b2
=? a2b× a3b2
=?2a5b3
（2）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）
=（2?1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）
=（22?1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）
=（24?1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）
=（28?1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）
=（216?1）×（216+1）×（232+1）
=（232?1）×（232+1）
=264?1
21．先化简再求值，（ab+1）（ab?2）+（a?2b）2+（a+2b）（?2b?a），其中a= ，b=? ．
【解答】解：原式=a2b2?ab?2+a2+4b2?4ab?2ab?a2?4b2?2ab，
=a2b2?9ab?2，
当a= ，b=? 时，
原式= × +9× × ?2= + ?2= ?2= ．
22．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=17，ab=60，求阴影部分的面积．
【解答】解：∵a+b=17，ab=60，
∴S阴影=S正方形ABCD+S正方形EFGC?S△ABD?S△BGF
=a2+b2? a2? （a+b）•b=a2+b2? a2? ab? b2= a2+ b2? ab
= （a2+b2?ab）= [（a+b）2?3ab]= ×（172?3×60）= ．
23．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）
（2）x2?y2?2y?1=x2?（y2+2y+1）=x2?（y+1）2=（x+y+1）（x?y?1）
参考上面的方法解决下列问题：
（1）a2+2ab+ac+bc+b2= （a+b）（a+b+c） ；
（2）△ABC三边a、b、c满足a2?ab?ac+ bc=0，判断△ABC的形状．
【解答】解：（1）原式=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）；
故答案为：（a+b）（a+b+c）；
（2）a2?ab?ac+bc=0，
整理得：a（a?b）?c（a?b）=0，即（a?b）（a?c）=0，
解得：a=b或a=c，
则△ABC为等腰三角形．
24．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，
∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG，
（2）解：BE=CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中， ，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．
25．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直线顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C、A1B1交于点D、E，AC与A1B1交于点F．
（1）求证：BD=B1F；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？并说明理由；
（3）根据图1直接判断命题“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的真假 真命题 （填真命题或假命题）；将图2中三角板ABC绕点C顺时针旋转至图3的位置，当AB∥CB1时，请直接写出A1D与CD的数量关系： A1D=CD
【解答】解：（1）由题意知，BC=BC1，∠B=∠B1，∠ACB=∠A1CB1=90°，
由旋转知，∠A1CB=∠A CB1，
在△BCD和△B1CF中， ，
∴△BCD≌△B1CF，
∴BD=B1F；
（2）AB与A1B1垂直，
理由：∵旋转角为30°，
∴∠ACA1=30°，
∴∠B1CF=90°?30°=60°，
∵∠B1=60°，
∴∠B1FC=180°?∠B1?∠ACB1=60°，
∴∠AFE=60°，
∵∠A=30°，
∴∠AEF=180°?∠A?∠AFE=90°，
∴AB⊥A1B1；
（3）由题意知，∠BAC=∠B1AC=30°，∠B=∠B1，
∴△ABA1是等边三角形，
∴BB1=AB，
∵BB1=B C+B1C=2BC，
∴BC= AB，
∴直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，
故答案为：真命题；
∵AB∥CB1，
∴∠ACB1=∠A=30°，
∴∠ACD=90°?30°=60°，
∴∠ADC=180°?∠A?∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，∠A=30°，
∴CD= AC（直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半），
∵AC=A1C，
∴CD= A1C，
∵A1D+CD=A1C，
∴A1D=CD，
故答案为：A1D=CD．
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