第十九章矩形，菱形与正方形章末测试（二）
一．选择题（共8小题，每题3分）
1．对角线相等且互相平分的四边形是（ ）
A．一般四边形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形
2．下列说法中不能判定四边形是矩形的是（ ）
A．四个角都相等的四边形 B．有一个角为90°的平行四边形
C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分的四边形
3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是（ ）
A．任意四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（ ）
A．对角线互相平分 B．AB=BC C．AB= AC D．∠A+∠C=180°
5．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC=CD=DA
C．AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
7．已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AC平分∠BAD
8．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（ ）
A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm
二．填空题（共6小题，每题3分）
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，若再补充一个条件，如∠A= _________ 度时，就能推出四边形ABCD是矩形．
10．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是 _________ ．
11．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 _________ ．
12．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是 _________ ．
13．一组邻边相等的 _________ 是正方形，有一个角是 _________ 角的菱形是正方形．
14．如图，在△ABC中，点D是边BC上一动点，DE∥AC，DF∥AB，对△ABC及线段AD添加条件 _________ 使得四边形AEFD是正方形．
三．解答题（共11小题）
15．（6分）如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．
（1）求证：AC=FG．
（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？
16．（6分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：
（1）求证：四边形AFED是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？
（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？
17．（6分）如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
18．（6分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC=BE；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
19．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．
20．（8分）如图：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，交AC于O点，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
21．（8分）如图所示，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？
22．（8分）在△ABC中，点O是AC边上一动点，点P在BC延长线上，过点O的直线DE∥BC交∠ACB与∠ACP的平分线于点D、E．
（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．
（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？为什么？
23．（8分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O在边AC上运 动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
（3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
24．（8分）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．
25．（8分）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由。
第十九章矩形，菱形与正方形章末测试（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．对角线相等且互相平分的四边形是（ ）
A． 一般四边形 B．平行四边形 C．矩形 D． 菱形
考点： 矩形的判定．
分析： 根据矩形的判定（矩形的对角线 相等且互相平分）可得C正确．
解答： 解：因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
所以C正确，
故选C．
点评： 本题考查的是矩形的判定定理（矩形的对角线相等且互相平分），难度简单．
2．下列说法中不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． 四个角都相等的四边形 B． 有一个角为90°的平行四边形
C． 对角线相等的平行四边形 D． 对角线互相平分的四边形
考点： 矩形的判定．
专题： 常规题型．
分析： 矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
解答： 解：根据矩形的判定，可得A、B、C可判定四边形为矩形，D不能．
故选D．
点评： 本题考查的是矩形的判定以及矩形的定理，难度简单．
3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是（ ）
A． 任意四边形 B．矩形 C．菱形 D． 正方形
考点： 矩形的判定．
分析： 由一组对边平行且相等可得其为平行四边形，再由一角为90°且邻边不等可得其为矩形．
解答： 解：如图所示，
∵AC=AE，AB=AD
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∠ABC=∠ACB
∴∠ABC+∠EBA=90°
∴四边形BCDE为矩形．
故选B．
点评： 熟练掌握矩形的判定，会证明一个四边形是矩形所满足的条件．
4．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（ ）
A． 对角线互相平分 B．AB=BC C．AB= AC D． ∠A+∠C=180°
考点： 矩形的判定．
分析： 根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以在平行四边形的基础上，只要满足一个角为直角即可．
解答： 解：答案D中∠A与∠C为对角，∠A=∠C，又∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，又四边形为平行四边形，所以可得其为矩形；故该选项正确，
故选D．
点评： 本题考查 了矩形的判定，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
5．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A． 2 B． C．1 D．
考点： 菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，已知菱形的高为1，可得边长为2，所以面积为2．
解答： 解：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，
在题目中的菱形中，已知菱形的高为1，可得边长为2，
所以面积为2．
故选：A．
点评： 本题考查了菱形的判定与性质，属于基础题，关键是掌握在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半．
6．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A． AC⊥BD，AC与BD互相平分 B． AB=BC=CD=DA
C． AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D． AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
考点： 菱形的判定．
分析： 直接利用菱形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
解答： 解：A、∵AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，故正确；
B、∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD为菱形，故 正确；
C、AB=BC，AD=CD，AC⊥BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故错误；
D、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，故正确；
故选C．
点评： 此题考查了菱形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
7．已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（ ）
A． AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D． AC平分∠BAD
考点： 正方形的判定．
分析： 由四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，可判定四边形ABCD是菱形，又由AC=BD，即 可判定四边形ABCD是正方形．注意掌握排除法在选择题中的应用．
解答： 解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形，故正确；
D、∵四边形ABCD是平行四 边形，AC平分∠BAD，
∴四边形ABCD是矩形，故错误．
故选C．
点评： 此题考查了正方形的判定．此题比较简单，注意熟记判定定理是解此题的关键．
8．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（ ）
A． 2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D． 2cm， 3cm，5cm
考点： 正方形的判定与性质．
分析： 连接OA，OB，OC，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，
∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又因为点O到三边AB、AC、BC的距离是CD，∴AB=8?CD+6?CD=10，解得CD=2，所以点O到三边AB、AC、BC的距离为2．
解答： 解：连接OA，OB，OC，则△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，
∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，
又∵∠C=90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O为△ABC三条角平分线的交点
∴四边形OECD是正方形，
则点O到三边AB、AC、BC的距离=CD，
∴AB=8?CD+6?CD=?2CD+14，又根据勾股定理可得：AB=10，
即?2CD+14=10
∴CD=2，
即点O到三边AB、AC、BC的距离为2cm．
故选A
点评： 本题主要考查垂直平分线上的点到线段两段的距离相等的性质和边的和差关系．
二．填空题（共6小题）
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，若再补充一个条件，如∠A= 90 度时，就能推出四边形ABCD是矩形．
考点： 矩形的判定．
专题： 推理填空题．
分析： 矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此分析可得．
解答： 解：∵四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵有一个角为90°的平行四边形是矩形，
∴添加∠A=90°就能推出四边形ABCD是矩形，
故答案为：90．
点评： 本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形．
10．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是 矩形 ．
考点： 矩形的判定；平行线的性质．
专题： 几何图形问题；推理填空题．
分析： 首先推出∠BAC=∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC=90°，可得平行四边形ABCD是矩形．
解答： 证明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC= ∠MAC、∠DCA= ∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA= ∠ACP、∠DAC= ∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD平行四边形，
∵∠BAC= ∠MAC，∠ACB= ∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠ACP=90°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：矩形．
点评： 此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大，重点考查基本定理的应用．
11．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 3 ．
考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析： 过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，先判断出四边形DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出∠ADP =∠CDE，再利用“角角边”证明△ADP和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．
解答： 解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP= =3 ．
故答案为：3 ．
点评： 本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键．
12．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是 矩形 ．
考点： 正方形的判定．
分析： 根据四边形的内角和为360就可以求出就可以求出，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，从而得出四边形ABCD是矩形．
解答： 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∴四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩形
点评： 本题考查了四边形内角和定理的运用，矩形的判定的运用，解答时求出每个角为90°是关键．
13．一组邻边相等的 矩形 是正方形，有一个角是 直 角的菱形是正方形．
考点： 正方形的判定．
分析： 根据正方形的定义：一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，即可求得答案．
解答： 解：一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形．
故答案为：矩形，直．
点评： 此题考查了正方形的定义．此题比较简单，注意熟记正方形的定义是解此题的关键．
14．如图，在△ABC中，点D是边BC上一动点，DE∥AC，DF∥AB，对△ABC及线段AD添加条件 △ABC是等腰直角三角形，AD是角平分线 使得四边形AEFD是正方形．
考点： 正方形的判定．
分析： 由DE∥AC，DF∥AB，易得四边形AEDF是平行四边形，由∠BAC=90°，可得四边形AEDF是矩形，又由邻边相等，即可判定四边形AEFD是正方形．
解答： 解：添加条件：△ABC是等腰直角三角形，AD是角平分线．
理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AD是角平分线，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∴AE=DE，
∴四边形AEFD是正方形．
故答案为：：△ABC是等腰直角三角形，AD是角平分线．
点评： 此题考查了正方形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题（共11小题）
15．如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．
（1）求证：AC=FG．
（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？
考点： 矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题： 证明题．
分析： 先根据题意推理出四边形AFCG是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；由第一问的结论和AC⊥FG得到四边形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．
解答： （1）证明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，
∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，
∴AB=AC；
AF是BC边上的中线，
∴AF⊥BC，
∵CG⊥AD，AD∥BC，
∴CG⊥BC，
∴AF∥CG，
∴四边形AFCG是平行四边形，
∵∠AFC=90°，
∴四边形AFCG是矩形；
∴AC=FG．
（2）解：当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：
∵四边形AFCG是矩形，
∴四边形AFCG是正方形，∠ACB=45°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
点评： 该题目考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质，知识点比较多，注意解答的思路要清晰．
16．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：
（1）求证：四边形AFED是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？
（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？
考点： 矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．
分析： （1）当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，进而往四边形ADEF是平行四边形方面进行证明．
（2）四边形ADEF是矩形，那么它的每个内角是90°，那么可利用在点A处组成的周角算出∠BAC的度数．
（3）AB=AC，根据菱形的判定推出即可；
（4）当∠BAC=60°时四边形不存在．
解答： （1）证明：四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=60°?∠EBA，∠ABC=60°?∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA．
∵DE=AF，DA=EF，
∴四边形ADEF为平行四边形；
（2）解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°?∠DAB?∠FAC?∠DAF=360°?60°?60°?90°=150°，
∴当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
（3）解： 当∠BAC≠60°且AB=AC时，四边形AFED是菱形，
∵此时AB=AC=AF=AD，四边形AFED是平行四边形，
∴四边形AFED是菱形；
（4）解：当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
点评： 本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质的应用，本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形．
17．如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
考点： 矩形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的性质可以证得AB与CD平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形，再证得对角线相等即可证得．
解答： 解：四边形ABCD是矩形，
理由：∵BC是等腰△BED底边ED上的高，
∴EC=CD，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC=BE，BE=BD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
点评： 本题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，关键是掌握对角线相等的平 行四边形是矩形．
18．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC=BE；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．
专题： 几何图形问题；证明题．
分析： （1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．
解 答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE；
（2）∵AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
点评： 此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．
19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．
考点： 菱形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，先推得四边形MDPE为平行四形，再根据AB=AC，M是BC的中点，得到MD=ME，由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明．
解答： 证明：四边形MDPE为菱形，理由：
连接AM．
∵ME⊥AC，DF⊥AC，
∴ME∥DF，
∵MD⊥AB，EG⊥AB，
∴MD∥EG，
∴四边形MDPE是平行四边形；
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM是角平分线，
∴MD=ME，
∴四边形MDPE为菱形．
点评： 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．
20．如图：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交C D、AB于E、F两点，交AC于O点，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形性质推出AD∥BC，得出∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，根据AAS证△AEO≌△CFO，推出OE=OF即可．
解答： 证明：：四边形AECF的形状是菱形，
理由是：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，
∵EF过AC的中点O，
∴OA=OC，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
∵OA=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
点评： 本题考查了平行线性质，平行四边形的性质，矩形、菱形的判定等知识点的应用，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，具有一定的代表性，但难度不大．
21．如图所示，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？
考点： 菱形的判定．
专题： 证明题．
分析： 要证四边形AFCE是菱形，只需通过定义证明其四边相等即可．
解答： 解：四边形AFCE是菱形．
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=EC．
同理，AF=FC．
∴∠1=∠3．
又∵AE∥FC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
又∵CO⊥EF，
∴∠COF=∠COE=90°，
∴△COF≌△COE．
∴CF=CE．
∴AE=EC=CF=FA．
∴四边形AFCE是菱形．
点评： 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．
22．在△ABC中，点O是AC边上一动点，点P在BC延长线上，过点O的直线DE∥BC交∠ACB与∠ACP的平分线于点D、E．
（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．
（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？为什么？
考点： 正方形的判定；矩形的判定．
分析： （1）根据CE平分∠ACP，DE∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECP，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OD，可得EO=DO，再有条件AO=CO，可得到四边形ADCE为平行四边形，再证明∠DCE=90°，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形；
（2）利用正方形的判定得出DE⊥AC，进而得出答案．
解答： 解：（1）当O为AC的中点则四边形ADCE是矩形；
理由：∵CE平分∠ACP，
∴∠ACE=∠PCE，
∵DE∥BC，
∴∠OEC=∠ECP，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OD，
∴OD=OE．
∵AO=CO，EO=DO，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵DC、CE是∠ACB与∠ACP的平分线，
∴∠DCE=90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）当AC⊥BC时，四边形ADCE是正方形．
理由：∵∠BCA=90°，
∵DE∥CB，
∴∠DOA=90°，
则DE⊥AC，
∴矩形AECF是正方形．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定以及正方形的判定等知识，解决问题的关键是证明EO=DO和∠DCF=90°．
23．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
（3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
考点： 正方形的判定；矩形的判定．
分析： （1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
（2）根据AO=CO，EO=FO可得四边形AECF平行四边形，再证明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形，首先证明为矩形，再证明AC⊥EF根据对角线互相垂直的矩形是正方形可得结论．
解答： （1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴ ∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC 的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形．
证明：由（2）可得点O在边AC上运动到AC中点时平行四边形AECF是矩形，
∵∠ACB=90°，
∴∠2=45°，
∵平行四边形AECF是矩形，
∴EO=CO，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠MOC=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
点评： 此题主要考查了矩形和正方形的判定，关键是掌握矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
24．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．
考点： 正方形的判定；矩形的判定．
分析： （1）利用角平分线的性质的得出，∠1=∠2，进而得出，∠3=∠2，即可得出OE与OF的大小关系；
（2）首先的很粗四边形AECF是平行四边形，进而得出∠ECF=90度，再利用矩形的判定得出即可；
（3）由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，进而得出AC⊥MN，即可得出答案．
解答： （1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，
∴EO=CO，同理，FO=CO，
∴EO=FO．
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：∵EO=FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4= ×180°=90°．
即∠ECF=90度，∴平行四边形AECF是矩形．
（3）解：当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF会是正方形，
理由：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵∠ACB=90°，CE、CN分别是∠ACB与∠ACB的外角平分线，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，
∴AC⊥MN，
∴四边形AECF是正方形．
点评： 此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，正确区分它们的定义是解题关键．
25．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
考点： 正方形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
分析： （1）根据矩形的性质得出OD=OC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；
（2）根据菱形的性质得出∠DOC=90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据矩形的判定推出即可；
（3）根据正方形的性质得出OD=OC，∠DOC=90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据正方形的判定推出即可；
解答： 解：（1）四边形CODP的形状是菱形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∴OC=OD，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵OC=OD，
∴平行四边形CODP是菱形；
（2）四边形CODP的形状是矩形，
理由是：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC=90°，
∴平行四边形CODP是矩形；
（3）四边形CODP的形状是正方形，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∴∠DOC=90°，OD=OC，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC=90°，OD=OC
∴平行四边形CODP是正方形．
点评： 本题考查了平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的性质和判定，主要考查学生的猜想能力和推理能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
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