第2章  三角形检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共24分）

1.（长沙中考）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（    ）
A.2     B.4     C.6     D.8
2.（2015•江苏苏州中考）如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，∠BAD=35°,则∠C的度数为（　　）
A.35°    B.45°    C.55°    D.60°

3.如图，已知，下列条件能使△≌△的是（　　）
A.        B.       C.        D.三个选项都可以
4.（武汉中考）如图，在△中，=36°是边上的高，则的度数是（    ）
A.18°    B.24°
C.30°    D.36°
5.（新疆中考）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（    ）
A.12    B.15
C.12或15   D.18
6.（湖南湘潭中考）如图，在△中，，点在上，连接，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（    ）
A.    B.  C.    D.
              
第6题图                             第7题图          
7.如图，在△中，=90°，=30°，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ）
①是的平分线；②=60°；③点在的垂直平分线上；
④=1∶3.
A.1   B.2     C.3     D.4
8. （2015•湖北襄阳中考）如图，在△ABC中，∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D,CE平分∠ACB,若BE=2,则AE的长为（　　）
A.    B.1    C.    D.2
二、填空题（每小题3分，共24分）
9.如图所示，△的高相交于点．请你添加一对相等的线段或一对相等的角作为条件，使．你所添加的条件是       .
 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.（山东威海中考）将一副直角三角板如图摆放,点在上,AC经过点D.已知∠A=
∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF=         .
11. （2015•江苏连云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3,AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是        .
12.（2015•四川南充中考）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是＿＿＿＿＿度．
 
第12题图
第13题图
13.（乌鲁木齐中考）如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，      
AB=5,AC=2,则DF的长为         .
14.如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则AD与EF的位置关系是      . 
15.如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；
③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是       （将你认为正确的结论的序号都填上）．

16.如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD=39°，那么∠BCE=      度.

三、解答题（共52分）
17.（6分）如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数.
18.（6分）（四川乐山中考）如图，已知线段AB. 
（1）用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
（2）在（1）中所作的直线上任意取两点M，N（线段AB的上方），连接AM，AN，BM，BN.求证：∠MAN=∠MBN.

19.（6分）（上海中考）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B＞∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:DE=EF; 
(2)连接CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,求证:∠B=∠A+∠DGC.
20.（8分）（山东威海中考）操作发现
将一副直角三角板如图（1）摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.
 
第20题图(1) 　　　　　　　　　第20题图(2)
问题解决
将图（1）中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在BF上.AC与BD交于点O,连接CD,如图（2）.
 (1)求证:△CDO是等腰三角形;
(2)若DF=8,求AD的长.
21.(6分)如图，，那么与是否相等？为什么？
22.(6分)如图，在△中，，交于点. 
求证：．

 

23.（6分）如图，是内的一点，，垂足分别为．
求证：（1）；（2）点在的平分线上．
24.(8分)已知：在△中，，点是的中点，点是边上一点．
（1），垂足为，BF交于点（如图①），求证：.
（2），垂足为，AH的延长线交的延长线于点（如图②），找出图中与相等的线段，并证明．
 

第2章  三角形检测题参考答案
1.B  解析:本题考查了三角形的三边关系，设第三边长为，∵ ,
∴ ，只有选项B正确. 
2. C　解析：∵ AB=AC，D为BC中点，∴ AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC.∵ ∠BAD=35°，
∴ ∠DAC=35°，∴ 在Rt△DAC中，∠C=90°-∠DAC=90°-35°=55°.
3.D   解析：添加A选项中条件可用“”判定两个三角形全等；添加B选项中条件可用“”判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用“”判定两个三角形全等，故选D．
4.A  解析:在△中，因为，所以.因为，所以.又因为，所以，所以.
5.B  解析:当等腰三角形的腰长为3时，它的三边长为3，3，6，由于3+3=6，所以这个三角形不存在.当等腰三角形的腰长为6时，它的三边长为6，6，3，满足任意两边之和大于第三边，所以这个三角形存在,它的周长为15.
6.C  解析：当时，都可以分别利用SAS,AAS,SAS来证明△≌△，从而得到，只有选项C不能. 
7.D  解析：①根据作图的过程可知，是的平分线．故①正确.
②如图，∵ 在△中，=90°，=30°，∴ =60°．
又∵ 是的平分线，∴ ∠1=∠2==30°，
∴ .故②正确.
③∵ ，∴ ，∴ 点在的垂直平分线上．故③
正确.
④如图，在Rt△中，∵ ∠2=30°，∴ ∴
∴ ,．
∴ ，
∴ =1∶3．故④正确．
综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个．故选D．
8. B  解析：∵ 直线DE是BC的垂直平分线，∴ BE=CE=2，∠B=∠BCE= .
∵ CE平分∠ACB,∴ ∠ACE=∠BCE= ,∴ ∠A=180°-∠B-∠ACE-∠BCE= .
在Rt△AEC中，∠ACE=30°, ∴ AE= CE=1.
9.或 或或等（答案不唯一） 
解析：此题答案不唯一. ∵ △的高相交于点，
∴ 90°.
∵ ，要使，只需△≌△，
当时，利用HL即可证得△≌△；
当时，利用AAS即可证得△≌△；
同理：当也可证得△≌△；
当时，，∴ 当时，也可证得△≌△．
故答案为：或 或或等．
10.25°  解析:∵ =90°，,∴ 45°，
∴ 45°+40°85°.
在△中，180°85°30°65°,
∴ 90°65°25°.
11.  4∶3解析：如图所示，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为点M和点N，∵ AD平分∠BAC，∴ DM＝DN.∵ AB×DM，AC×DN，∴ .　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
12. 60  解析：∵  是△ABC的一个外角，
∴ .
∵ CE平分∠ACD,
∴  .
13.1.5  解析:如图，延长交于点,
由是角平分线，于点，可以得出△≌
△，∴ 2，.
在△中，∵ ∴ 是△的中位线,
∴ ()=＝×3
1.5.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第13题答图
14.垂直平分    解析：∵ 是△的角平分线，于点于点，
∴ .
在Rt△和Rt△中， ∴ Rt△≌Rt△（HL），∴ .
又是△的角平分线，∴ 垂直平分.
15.①②③  解析：∵ 90°，，∴ △≌△.
∴ ∴ ②正确.
又∵ ∴ △≌△，∴ ③正确.
又∵∠1，∠2，∴ ∠1=∠2，∴ ①正确，
∴ 题中正确的结论应该是①②③.
16.39   解析：∵ △和△均为等边三角形，
∴
∵
∴ ∴ △≌△，∴
17.分析：本题考查了等腰三角形、三角形外角的性质.利用等腰三角形的两底角相等和三角形外角的性质设未知数列方程求解.
解：∵ ∴
而
设则可得84°,则21°,即21°.
18.分析：（1）根据线段垂直平分线的性质作图.
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，可得 又是公共边，从而利用“SSS”可证得△≌△,进而得到.
（1）解：作图如图（1）所示：
（2）证明：根据题意作出图形（如图（2）所示）. 
∵ 点M，N在线段AB的垂直平分线上，∴ AM＝BM，AN＝BN.
又∵ MN=MN,∴ △AMN≌△BMN（SSS）.∴ ∠MAN=∠MBN.
19.证明：(1)∵ 点D为边AB的中点,DE∥BC,∴ AE=EC.
∵ CF∥AB,∴ ∠A=∠2.
在△ADE和△CFE中,∴ △ADE≌△CFE(ASA),∴ DE=EF.
(2)在Rt△ACB中,∵ ∠ACB=90°,点D为边AB的中点,∴ CD=AD,∴ ∠1=∠A.
∵ DG⊥DC,∴ ∠1+∠3=90°.又∵ ∠A+∠B=90°,∴ ∠B=∠3.
∵ CF∥AB,∴ ∠2=∠A.∵ ∠3=∠2+∠DGC,∴ ∠B=∠A+∠DGC. 
点拨：证明两个角相等的常用方法：①等腰三角形的底角相等；②全等(相似)三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角（内错角）相等；④角的平分线的性质；⑤同角（或等角）的余角（或补角）相等；⑥对顶角相等；⑦借助第三个角进行等量代换．
 

20. (1)证明：由题图（1）知BC=DE,∴ ∠BDC=∠BCD.
∵ ∠DEF=30°,∴ ∠BDC=∠BCD=75°. 
∵ ∠ACB=45°,∴ ∠DOC=30°+45°=75°.∴ ∠DOC=∠BDC.
∴ △CDO是等腰三角形.
(2)解：如图，过点A作AG⊥BC,垂足为点G,过点D作DH⊥BF,垂足为点H.
在Rt△DHF中,∠F=60°,DF=8,∴ DH=4,HF=4.
在Rt△BDF中,∠F=60°,DF=8,∴ BD=8,BF=16.
∴ BC=BD=8.
∵ AG⊥BC,∠ABC=45°,∴ BG=AG=4,∴ AG=DH.
∵ AG∥DH,∴ 四边形AGHD为矩形.
∴ AD=GH=BF-BG-HF=16-4-4=12-4. 
21.解：如图，相等.理由：连接.
因为
所以△≌△，所以.
22.证明：在△中，因为，
所以.
又因为，所以
所以.
所以.
所以．
23.证明：（1）如图，连接.因为，
所以Rt△≌Rt△，所以
（2）因为Rt△≌Rt△，所以，
所以点在的平分线上.
24.（1）证明：因为⊥,所以，所以.
又因为，所以.
因为, ，所以.
又因为点是的中点，所以.
因为，所以△≌△，所以.
(2)解：.证明如下：
在△中，因为,，
所以.
因为，即,所以,所以.
因为为等腰直角三角形斜边上的中线,所以.
在△和△中,,,
所以△≌△,所以.

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