2014-2015学年黑龙江省伊春市上甘岭中学八年级（上）第一次月考数学试卷
　
一、选择题（每题3分，共30分）
1．小亮截了四根长分别为5cm，6cm，10cm，13cm的木条，任选其中三条组成一个三角形，这样拼成的三角形共有（　　）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
　
2．若一个正n边形的一个外角为36°，则n等于（　　）
　 A． 4 B． 6 C． 8 D． 10
　
3．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）
 
　 A． 90°? α B． 90°+ α C．   D． 360°?α
　
4．如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（　　）
 
　 A． 360° B． 540° C． 720° D． 630°
　
5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，将∠C沿DE向三角形内折叠，使点C落在△ABC的内部，如图，则∠1+∠2=（　　）
 
　 A． 90° B． 135° C． 180° D． 270°
　
6．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）
 
　 A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°
　
7．如图，在等边△ABC中，D，E分别AC，AB是上的点，且AD=BE，CE与BD交于点P，则∠BPE的度数为（　　）
 
　 A． 75° B． 60° C． 55° D． 45°
　
8．如图为八个全等正六边形紧密排列在同一平面上．根据图中标示的各点位置，与△ACD全等的是（　　）
 
　 A． △ACF B． △ABC C． △AED D． △BCF
　
9．已知△ABC中，AB=5，AC=7，则BC边上的中线a的取值范围是（　　）
　 A． 1＜a＜6 B． 5＜a＜7 C． 2＜a＜12 D． 10＜a＜14
　
10．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（　　）
　 A． PQ＞5 B． PQ≥5 C． PQ＜5 D． PQ≤5
　
　
二、填空题（每题3分，共30分）
11．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，则∠BDE=　　　　　　度．
 
　
12．有一个多边形的内角和是它外角和的5倍，则这个多边形是　　　　　　边形．
　
13．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是　　　　　　边形．
　
14．如图，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠AGF=　　　　　　°．
 
　
15．如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，则∠E=　　　　　　°．
 
　
16．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）
 
　 A． （S、S、S） B． （S、A、S） C． （A、S、A） D． （A、A、S）
　
17．如图，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，只需增加一个条件是　　　　　　（只需添加一个你认为适合的）
 
　
18．如所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②AF∥EB；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有　　　　　　．
 
　
19．如图，已知坐标平面内有两点A（1，0），B（?2，4），现将AB绕着点A顺时针旋转90°至AC位置，则点C的坐标为　　　　　　．
 
　
20．一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为　　　　　　s．
 
　
　
三、解答题（共60分）
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠BC交AD于点E，∠C=60°，∠BED=70°，求∠ABC和∠BAC的度数．
 
　
22．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．
（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．
（2）试求∠DAE的度数．
 
　
23．如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的北偏西45°方向，求∠BAC及∠BCA的度数．
 
　
24．小明把两个大小不相等的等腰直角三角形如图放置（阴影部分），点D在AC上，连接AE、BD．经分析思考后，小明得出如下结论：
（1）AE=BD；
（2）AE⊥BD．
聪明的你，请判断小明的结论是否正确，并说明理由．
 
　
25．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、N分别是AE、CD的中点，判断BM与BN的关系，并说明理由．
 
　
26．【问题】：如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，则∠BEC=　　　　　　；若∠A=n°，则∠BEC=　　　　　　．
【探究】：
（1）如图2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC=　　　　　　；
（2）如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，则∠BEC=　　　　　　；
（3）如图4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n°，则∠BEC=　　　　　　．
 
　
　
 

2014-2015学年黑龙江省伊春市上甘岭中学八年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每题3分，共30分）
1．小亮截了四根长分别为5cm，6cm，10cm，13cm的木条，任选其中三条组成一个三角形，这样拼成的三角形共有（　　）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 三角形三边关系．
分析： 根据任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形．
解答： 解：选其中3根组成一个三角形，不同的选法有5cm，6cm，10cm；5cm，10cm，13cm；6cm，10cm，13cm；共3种．
故选C．
点评： 本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
　
2．若一个正n边形的一个外角为36°，则n等于（　　）
　 A． 4 B． 6 C． 8 D． 10

考点： 多边形内角与外角．
分析： 利用多边形的外角和即可解决问题．
解答： 解：n=360°÷36°=10．故选D．
点评： 本题主要考查了正n边形的外角特点．
因为外角和是360度，所以当多边形是正多边形时，每个外角都相等．直接利用外角求多边形的边数是常用的方法．
　
3．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）
 
　 A． 90°? α B． 90°+ α C．   D． 360°?α

考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．
解答： 解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°?（∠A+∠D）=360°?α，
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠BCD）= （360°?α）=180°? α，
则∠P=180°?（∠PBC+∠PCB）=180°?（180°? α）= α．
故选：C．
点评： 本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．
　
4．如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（　　）
 
　 A． 360° B． 540° C． 720° D． 630°

考点： 多边形内角与外角；矩形的性质．
分析： 根据多边形内角和定理：（n?2）•180°，无论分成两个几边形，其内角和都能被180整除，所以不可能的是，不能被180整除的．
解答： 解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，
只有630不能被180整除，所以M+N不可能是630°．
故选D．
点评： 此题主要考查了多边形内角和定理，题目比较简单．
　
5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，将∠C沿DE向三角形内折叠，使点C落在△ABC的内部，如图，则∠1+∠2=（　　）
 
　 A． 90° B． 135° C． 180° D． 270°

考点： 三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据折叠的性质∠C′ED=∠CED，∠C′DE=∠CDE，根据三角形内角和定理和邻补角的定义即可表示出∠C、∠1、∠2之间的关系，进一步求得答案即可．
解答： 解：根据题意得∠C′ED=∠CED，∠C′DE=∠CDE，
由三角形内角和定理可得，∠CED+∠CDE=180°?∠C=90°，
∴∠C′EC+∠C′DC=2（180°?∠C），
∴∠1+∠2=360°?（∠C′EC+∠C′DC）=360°?2（180°?∠C）=2∠C=180°．
故选：C．
点评： 本题主要考查了三角形的内角和定理和邻补角的定义，需要熟练掌握．
　
6．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）
 
　 A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°

考点： 全等三角形的判定．
分析： 本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．
解答： 解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
7．如图，在等边△ABC中，D，E分别AC，AB是上的点，且AD=BE，CE与BD交于点P，则∠BPE的度数为（　　）
 
　 A． 75° B． 60° C． 55° D． 45°

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析： 根据题干条件：AC=BC，BD=CE，∠A=∠CBE，可以判定△ABD≌△BCE，即可得到∠DBA=∠BCE，又知∠BPE=∠BCE+∠CBP，可得答案．
解答： 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠CBE=60°，
又知BD=CE，
在△ABD和△CBE中，
 ，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠DBA=∠BCE，
∵∠BPE=∠BCE+∠CBP，
∴∠BPE=∠ABD+∠CBP=∠ABC=60°，
故选B．
点评： 本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是能看出∠APE=∠ABP+∠BAP，还要熟练掌握三角形全等的判定与性质定理．
　
8．如图为八个全等正六边形紧密排列在同一平面上．根据图中标示的各点位置，与△ACD全等的是（　　）
 
　 A． △ACF B． △ABC C． △AED D． △BCF

考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可．
解答： 解：根据图象可知△ACD和△ADE全等，
理由是：∵根据图形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，
在△ACD和△AED中，
 ，
∴△ACD≌△AED（SSS），
故选：C．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
9．已知△ABC中，AB=5，AC=7，则BC边上的中线a的取值范围是（　　）
　 A． 1＜a＜6 B． 5＜a＜7 C． 2＜a＜12 D． 10＜a＜14

考点： 全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．
分析： 延长AE到D，使AE=DE，通过证明△AEC≌△DEB△，可得BD=AC，根据三角形的三边关系，得出即可．
解答： 解：延长AE到D，使AE=DE，连接BD．
∵AE是中线，
∴BE=CE，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC≌△DEB△（SAS），
∴BD=AC=7，又AE=a，
∴2＜2a＜12，
∴1＜a＜6．
故选A．
 
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
　
10．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（　　）
　 A． PQ＞5 B． PQ≥5 C． PQ＜5 D． PQ≤5

考点： 角平分线的性质．
分析： 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，和角平分线的性质计算．
解答： 解：∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5
则P到OB的距离为5
因为Q是OB上任一点，则PQ≥5
故选B．
点评： 本题主要考查平分线的性质，还利用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．
　
二、填空题（每题3分，共30分）
11．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，则∠BDE=　15　度．
 

考点： 三角形的外角性质；角平分线的定义；平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 利用三角形的外角性质先求∠ABD，再根据角平分线的定义，可得∠DBC=∠ABD，运用平行线的性质得∠BDE的度数．
解答： 解：∵∠A=45°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=∠BDC?∠A=15°．
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC=∠ABD=15°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBC=15°．
点评： 本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系．
　
12．有一个多边形的内角和是它外角和的5倍，则这个多边形是　12　边形．

考点： 多边形内角与外角．
分析： 一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，任何多边形的外角和是360度，因而这个正多边形的内角和为5×360度．n边形的内角和是（n?2）•180°，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n．
解答： 解：根据题意，得
（n?2）•180=5×360，
解得：n=12．
所以此多边形的边数为12．
点评： 已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决．
　
13．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是　13　边形．

考点： 多边形的对角线．
分析： 根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n?3）条对角线，由此可得到答案．
解答： 解：设这个多边形是n边形．
依题意，得n?3=10，
∴n=13．
故这个多边形是13边形．
点评： 多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n?3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n?2）个三角形．
　
14．如图，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠AGF=　540　°．
 

考点： 多边形内角与外角；三角形的外角性质．
分析： 根据四边形的内角和是360°，可求∠C+∠B+∠D+∠2=360°，∠1+∠3+∠E+∠F=360°．又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1=∠A+∠G，而∠2+∠3=180°，从而求出所求的角的和．
解答： 解： 在四边形BCDM中：∠C+∠B+∠D+∠2=360°，
在四边形MEFN中：∠1+∠3+∠E+∠F=360°．
∵∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°?180°=540°，
故答案为：540．
点评： 本题考查了多边形的内角与外角，利用了多边形的内角和公式，三角形外角的性质，等式的性质．
　
15．如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，则∠E=　27　°．
 

考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 由BE垂直于AC，且AD=CD，利用线段垂直平分线定理得到AB=CB，即三角形ABC为等腰三角形，利用三线合一得到BE为角平分线，求出∠ABE度数，利用SAS得到三角形ABD与三角形CED全等，利用全等三角形对应角相等即可求出∠E的度数．
解答： 解：∵BE⊥AC，AD=CD，
∴AB=CB，即△ABC为等腰三角形，
∴BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE= ∠ABC=27°，
在△ABD和△CED中，
 ，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴∠E=∠ABE=27°，
故答案为：27
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
16．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）
 
　 A． （S、S、S） B． （S、A、S） C． （A、S、A） D． （A、A、S）

考点： 全等三角形的判定与性质；作图—基本作图．
分析： 利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．
解答： 解：易得OC=0′C'，OD=O′D'，CD=C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，
可得∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS，
故选A．
点评： 考查全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点．
　
17．如图，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，只需增加一个条件是　AC=AE　（只需添加一个你认为适合的）
 

考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 根据三角形全等的条件可得出AC=AE，∠C=∠E，∠B=∠D都可以．
解答： 解：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE，
即∠BAC=∠DAE，
∵AB=AD，
∴添加AC=AE，根据SAS即可得证；
或添加∠C=∠E，根据AAS即可得证；
或添加∠B=∠D，根据ASA即可得证．
故答案为AC=AE或∠C=∠E或∠B=∠D．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，本题是个简单的开放型题目，要熟练掌握．
　
18．如所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②AF∥EB；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有　①③④　．
 

考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 综合题．
分析： 由∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，利用“AAS”得到△ABE与△ACF全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB与∠FAC相等，AE与AF相等，AB与AC相等，然后在等式∠EAB=∠FAC两边都减去∠MAN，得到∠EAM与∠FAN相等，然后再由∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，利用“ASA”得到△AEM与△AFN全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM，利用“ASA”得到△ACN与△ABM全等，故选项④正确；若选项②正确，得到∠F与∠BDN相等，且都为90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误．
解答： 解：在△ABE和△ACF中，
∠E=∠F=90°，AE=AF，∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠EAB=∠FAC，AE=AF，AB=AC，
∴∠EAB?∠MAN=∠FAC?∠NAM，即∠EAM=∠FAN，
在△AEM和△AFN中，
∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，
∴△AEM≌△AFN，
∴EM=FN，∠FAN=∠EAM，故选项①和③正确；
在△ACN和△ABM中，
∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM（公共角），
∴△ACN≌△ABM，故选项④正确；
若AF∥EB，∠F=∠BDN=90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误，
则正确的选项有：①③④．
故答案为：①③④
点评： 此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL．学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．
　
19．如图，已知坐标平面内有两点A（1，0），B（?2，4），现将AB绕着点A顺时针旋转90°至AC位置，则点C的坐标为　（5，3）　．
 

考点： 坐标与图形变化-旋转．
专题： 几何变换．
分析： 作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，由A（1，0），B（?2，4）得到AD=3，BD=4，根据旋转的性质得∠BAC=90°，AB=AC，再利用等角的余角相等得∠B=∠CAE，则可证明△ABD≌△CAE，所以AE=BD=4，CE=AD=3，OE=OA+AE=5，然后根据第一象限点的坐标特征写出C点坐标．
解答： 解：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，如图，
∵A（1，0），B（?2，4），
∴AD=3，BD=4，
∵AB绕着点A顺时针旋转90°至AC位置，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
而∠BAD+∠B=90°，
∴∠B=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
 ，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD=4，CE=AD=3，
∴OE=OA+AE=5，
∴C点坐标为（5，3）．
故答案为：（5，3）．
 
点评： 本题考查了坐标与图形变化?旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
　
20．一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为　160　s．
 

考点： 多边形内角与外角．
专题： 图表型．
分析： 该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．
解答： 解：360÷45=8，
则所走的路程是：6×8=48m，
则所用时间是：48÷0.3=160s．
故答案是：160．
点评： 本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键．
　
三、解答题（共60分）
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠BC交AD于点E，∠C=60°，∠BED=70°，求∠ABC和∠BAC的度数．
 

考点： 三角形内角和定理．
分析： 先根据垂直的定义得出∠ADB=90°，再根据直角三角形的性质求出∠DBE的度数，由角平分线的性质求出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数即可．
解答： 解：∵AD是BC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBE+∠BED=90°．
∵∠BED=70°，
∴∠DBE=20°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBE=40°． 
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠BAC=180°?∠ABC?∠C
=180°?40°?60°
=80°．
点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
　
22．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．
（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．
（2）试求∠DAE的度数．
 

考点： 作图—复杂作图．
分析： （1）利用直角三角板一条直角边与BC重合，沿BC平移使另一直角边过A画BC边上的高AD即可；再根据角平分线的做法作∠A的角平分线AE；
（2）首先计算出∠BAE的度数，再计算出∠BAD的度数，利用角的和差关系可得答案．
解答： 解：（1）如图所示：

（2）在△ABC中，∠BAC=180°?11°?40°=30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠BAC=15°，
在Rt△ADB中，∠BAD=90°?∠B=50°，
∴∠DAE=∠DAB?∠BAE=35°．
 
点评： 此题主要考查了复杂作图，以及角的计算，关键是正确画出图形．
　
23．如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的北偏西45°方向，求∠BAC及∠BCA的度数．
 

考点： 三角形内角和定理；方向角；平行线．
专题： 计算题．
分析： 根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知结合三角形的内角和求解．
解答： 解：∵∠DBA=40°，∠DBC=85°，DB∥CE，
∴∠ECB=180°?85°=95°，∠ABC=85°?40°=45°，
∵∠ECA=45°，
∴∠BCA=95°?45°=50°，
∴∠BAC=180°?50°?45°=85°．
点评： 解答此类题需要正确理解方位角，再结合三角形的内角和以及平行线的性质求解．
　
24．小明把两个大小不相等的等腰直角三角形如图放置（阴影部分），点D在AC上，连接AE、BD．经分析思考后，小明得出如下结论：
（1）AE=BD；
（2）AE⊥BD．
聪明的你，请判断小明的结论是否正确，并说明理由．
 

考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 小明的结论是正确的，理由为：
（1）由三角形EDC与三角形ABC都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到两边及夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形BCD全等，利用全等三角形的性质即可得证；
（2）延长BD交AE于点F，由三角形ACE与三角形BCD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠CAE=∠CBD，利用等式的性质及直角三角形两锐角互余，即可得证．
解答： 解：小明的结论是正确的，理由为：
（1）在△ACE和△BCD中，
 ，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；
（2）延长BD交AE于点F，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
∴∠ABF+∠BAF=∠ABF+∠CAE+∠BAC=∠ABD+∠CBD+∠BAC=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠BFA=90°，
则AE⊥BD．
 
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
25．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、N分别是AE、CD的中点，判断BM与BN的关系，并说明理由．
 

考点： 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： 根据SAS推出△ABE≌△DBC，推出AE=DC，∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，求出∠ABD=∠DBC=90°，BM=AM=EM= AE，BN=CN=DN= CD，推出∠ABM=∠DBN，∠EBM=∠NBC即可．
解答： 解：BM=BN，BM⊥BN，
理由是：在△ABE和△DBC中，
 ，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC，∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，
∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°，
∴∠ABD=∠DBC=90°，
∵M为AE的中点，N为CD的中点，
∴BM=AM=EM= AE，BN=CN=DN= CD，
∴BM=BN，∠EAB=∠MBA，∠CDB=∠DBN，∠AEB=∠EBA，∠NCB=∠NBC，
∵∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，
∴∠ABM=∠DBN，∠EBM=∠NBC，
∴∠ABC=2∠DBN+2∠EBM=180°，
∴∠EBN+∠EBM=90°，
∴BM⊥BN．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．
　
26．【问题】：如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，则∠BEC=　130°　；若∠A=n°，则∠BEC=　90°+ n°　．
【探究】：
（1）如图2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC=　60°+ n°　；
（2）如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，则∠BEC=　 n°　；
（3）如图4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n°，则∠BEC=　90°? n°　．
 

考点： 三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析： （1）根据角平分线的意义和三角形的内角和解答即可；
（2）根据三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°?n°，再由线段BD、BE把∠ABC三等分，线段CD、CE把∠ACB三等分，得到∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，于是∠EBC+∠ECB= （∠ABC+∠ACB）再根据三角形的内角和定理得到∠BPE的大小；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，结合三角形的内角和，然后整理即可得到∠BEC与∠A的关系；
（4）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
解答： 解：问题：如图1，：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB（角平分线的定义）
∴∠BEC=180°?（∠EBC+∠ECB）
=180°? （∠ABC+∠ACB）
=180°? （180°?∠A）
=90°+ ∠A；
若∠A=80°，则∠BEC=130°；若∠A=n°，则∠BEC= ．
探究：（1）如图2，
∵线段BP、BE把∠ABC三等分，
∴∠EBC= ∠ABC，并且BE平分∠PBC；
又∵线段CD、CE把∠ACB三等分，
∴∠ECB= ∠ACB，并且EC平分∠PCB；
∴∠EBC+∠ECB= （∠ABC+∠ACB）= （180°?∠A）
∴∠BEC=180°? （180°?∠A）=60°+∠A，
若∠A=n°，则∠BEC= ；
（2）如图3，
∵BE和CE分别是∠ABC和∠ACM的角平分线，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ACE= ∠ACM，
又∵∠ACM是△ABC的一外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠ACE= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠EBC，
∵∠ACM是△BEC的一外角，
∴∠BEC=∠ACE?∠EBC= ∠A+∠EBC?∠EBC= ∠A；
若∠A=n°，则∠BEC= ；
（3）如图4，
∠EBC= （∠A+∠ACB），∠ECB= （∠A+∠ABC），
∠BEC=180°?∠EBC?∠ECB，
=180°? （∠A+∠ACB）? （∠A+∠ABC），
=180°? ∠A? （∠A+∠ABC+∠ACB），
∠BEC=90°? ∠A．
若∠A=n°，则∠BEC= ．
故答案为：130°，90°+ n°；60°+ n°； n°；90°? n°．
点评： 本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
　

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