北京市海淀区普通中学2015年7月暑假作业
八年级数学 勾股定理综合练习题
一、选择题
1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为(  ).
（A）30           （B）28        （C）56         （D）不能确定
2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长
（A）4 cm      （B）8 cm     （C）10 cm  （D）12 cm
3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
  （A）25   （B）14   （C）7   （D）7或25
4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为(  )
（A）13          （B）8           （C）25         （D）64
5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ）
 
6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是(  )
（A） 钝角三角形    （B） 锐角三角形   （C） 直角三角形   （D） 等腰三角形.
7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 (  )
（A） 25      （B） 12.5     （C） 9     （D） 8.5
8. 三角形的三边长为 ,则这个三角形是(  )
（A） 等边三角形                  （B） 钝角三角形  
（C） 直角三角形                  （D） 锐角三角形.
9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮 元计算，那么共需要资金（    ）.
（A）50 元          （B）600 元          （C）1200 元       （D）1500 元
10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（    ）.
（A）12            （B）7                （C）5               （D）13
        
      （第10题）              （第11题）        （第14题）
二、填空题
11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.
12. 在直角三角形 中，斜边 =2，则 =______.
13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为              .
14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.
       
            （第15题）                    （第16题）             （第17题）
15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
16. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于______________.
17. 如图，四边形 是正方形， 垂直于 ，且 =3， =4，阴影部分的面积是______.
18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.

三、解答题
19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：
“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？

20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.

21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
 
22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
 

23. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
 

四、综合探索
24. 如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
 

25. △ABC中，BC ，AC ，AB ，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则 ，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论.

参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（D）；2.（C）；3.（D）；4.（B）；5.（C）；
6.（C）；7.（B）；8.（C）；9.（B）；10.（D）；
二、填空题（每小题3分，24分）
11.7；12.8；13.24；14. ； 15. 13；
16.4；17.19；18.49；
三、解答题
19.20；
20. 设BD=x，则AB=8-x
　　　由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是(8-x)2=x2+42.
　　　所以x=3，所以AB=AC=5，BC=6
21.作A点关于CD的对称点A′，连结B A′，与CD交于点E，则E点即为所求.总费用150万元.
22.116m2；
23. 0.8米；
四、综合探索
24.4小时，2.5小时.
25. 解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2<c2
当△ABC是锐角三角形时，
 
证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x
根据勾股定理得   b2－x2＝c2?(a?x) 2
即   b2－x2＝c2?a2＋2ax?x 2
∴a2＋b2＝c2＋2ax
∵a>0，x>0
∴2ax>0
∴a2+b2>c2 
当△ABC是钝角三角形时，
 
证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D.
设CD为x，则有DB2=a2－x2
根据勾股定理得   (b＋x)2＋a2?x 2＝c2
即   b2＋2bx＋x2＋a2?x 2＝c2
∴a2＋b2＋2bx＝c2
∵b>0，x>0
∴2bx>0
∴a2+b2<c2.

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