第十九章矩形，菱形与正方形章末测试（一）
一．选择题（共8小题，每题3分）
1．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　）
A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.5

2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．不能判断四边形ABCD是矩形的是（0为对角线的交点）（　　）
A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=OD
C．AB CD，AC=BD D．AB CD，OA=OC，OB=OD
4．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加适当的条件使四边形ABCD成为菱形．下列添加的条件不正确的是（　　）
 
A．AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D．BO=DO
5．能判定四边形ABCD是菱形的条件是（　　）
A．对角线AC平分对角线BD，且AC⊥BD
B．对角线AC平分对角线BD，且∠A=∠C
C．对角线AC平分对角线BD，且平分∠A和∠C
D．对角线AC平分∠A和∠C，且∠A=∠C

6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（　　）
 
A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于1

7．矩形各内角的平分线能围成一个（　　）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形

8．如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（　　）
A．对角线互相垂直且相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相平分

二．填空题（共6小题，每题3分）
9．如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为　_________　．
 

10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是　_________　
A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④11．　_________　的矩形是正方形，　_________　的菱形是正方形．

12．若四边形ABCD是矩形，请补充条件　_________　（写一个即可），使矩形ABCD是正方形．
13．如图，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F
①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：　_________　；
②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：　_________　．
 
14．在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件　_________　时，四边形PEMF为矩形．
 
三．解答题（共11小题）
15．（6分）如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．
求证：四边形EF GH是正方形．
 
16．（6分）已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
 

17．（6分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
 
18．（6分）已知：如图，M为▱ABCD的AD边上的中点，且MB=MC，
求证：▱ABCD是矩形．
 

19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积．
 

20．（8分）如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．
（1）求证：AC=FG．
（2）当AC⊥F G时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？
 

21．（8分）如图，E是等边△ABC的BC边上一点，以AE为边作等边△ AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使∠DAF=∠EFC．试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．
 

22．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于点E．试说明：四边形OBEC是菱形．
 

23．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，判断四边形CODE的形状，并计算其周长．
 

24．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．
 

25．（8分）如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．
（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．
 

第十九章矩形，菱形与正方形章末测试（一）
参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）
1．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　）
A． 7.5 B．7 C．6.5 D． 5.5

考点： 矩形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
专题： 几何综合题．
分析： 过C作DH的垂线CE交DH于E，证明四边形BCEH是矩形．所以求出HE的长；再求出∠DCE=30°，又因为CD=11，所以求出DE，进而求出DH的长．
解答： 解：过C作DH的垂线CE交DH于E，
∵DH⊥AB，CB⊥AB，
∴CB∥DH又CE⊥DH，
∴四边形BCEH是矩形．
∵HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，
∴∠ADH=30°，
又∵∠ADC=90°
∴∠CDE=60°，
∴∠DCE=30°，
∴在Rt△CED中，DE= CD=5.5，
∴DH=2+5.5=7.5．
故选A．
 
点评： 本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的一个重要性质：30°的锐角所对的直角边是斜边的一半；以及勾股定理的运用．

2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（　　）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个

考点： 矩形的判定与性质．
分析： 直接利用矩形的性质与判定定理求解即可求得答案．
解答： 解：①矩形是轴对称图形，两组对边的中点的连线所在的直线是它的对称轴，故错误；
②两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
③有两个邻角相等的平行四边形是矩形，故错误；
④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；正确；
⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故错误．
故选A．
点评： 此题考查了矩形的性质与判定定理．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．

3．不能判断四边形ABCD是矩形的是（0为对角线的交点）（　　）
A． AB=CD，AD=BC，∠A=90°     B． OA=OB=OC=OD 
C．AB CD，AC=BD               D． AB CD，OA=OC，OB=OD

考点： 矩形的判定．
分析： 矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
解答： 解：A、由“AB=CD，AD=BC”可以判定四边形ABCD是平行四边形，又∠BAD=90°，则根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
C、根据AB CD得到四边形是平行四边形，根据AC=BD，利用对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意；
D、只能得到四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
故选：D．
 
点评： 本题考查的是矩形的判定定理，但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的判定．难度一般．

4．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加适当的条件使四边形ABCD成为菱形．下列添加的条件不正确的是（　　）
 
A． AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D． BO=DO

考点： 菱形的判定．
分析： 通过菱形的判定定理进行分析解答．
解答： 解：A项根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一定理可以推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，
B项根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一定理可以推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，
C项根据题意还可以推出四边形ABCD为等腰梯形，故本选项正确，
D项根据题意可以推出Rt△AOD≌Rt△COB，即可推出OA=OC，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形这一定理推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，
故选择C．
点评： 本题主要考查菱形的判定，关键在于熟练掌握菱形的判定定理．

5．能判定四边形ABCD是菱形的条件是（　　）
A． 对角线AC平分对角线BD，且AC⊥BD
B． 对角线AC平分对角线BD，且∠A=∠C
C． 对角线AC平分对角线BD，且平分∠A和∠C
D． 对角线AC平分∠A和∠C，且∠A=∠C

考点： 菱形的判定．
专题： 推理填空题．
分析： 菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
解答： 解：A、C的反例如图，AC垂直平分BD，但AO≠OC；
 
B只能确定为平行四边形．
故选D．
点评： 主要考查了菱形的判定．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．

6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（　　）
 
A． 大于1 B．等于1 C．小于1 D． 小于或等于1

考点： 菱形的判定与性质．
分析： 利用割补法得出阴影部分面积为四边形EFMN的面积，进而利用直角三角形的性质得出EG＜1，即可得出答案．
解答： 解：如图所示：作EN∥AB，FM∥CD，过点E作EG⊥MN于点G，
可得阴影部分面等于四边形EFMN的面积，
则四边形EFMN是平行四边形，且EN=FM=1，
∵EN=1，
∴EG＜1，
∴它们的公共部分（即阴影部分）的面积小于1．
故选：C．
 
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积求法，得出阴影部分面等于四边形EFMN的面积是解题关键．

7．矩形各内角的平分线能围成一个（　　）
A． 矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D． 正方形

考点： 正方形的判定；矩形的性质．
分析： 根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可．
解答： 解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°
又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，
所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形．
故选：D．
点评： 此题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有 一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角

8．如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（　　）
A． 对角线互相垂直且相等 B． 对角线互相垂直     C． 对角线相等 D． 对角线互相平分

考点： 正方形的判定；平行四边形的性质．
分析： 根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形对各个选项进行分析．
解答： 解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，同时具有矩形和菱形的性质的平行四边形是正方形，故本选项正确；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非正方形，故本选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
D、平行四边形的对角线都互相平分，这是平行四边形的性质．故本选项错误；
故选A．
点评： 此题主要考查正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形．

二．填空题（共6小题）
9．如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为　7 　．
 

考点： 菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 作辅助线延长EA，BC相交于点F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，因为∠EAB=∠CBA=120°，可得∠FAB=∠FBA=60°，可得△FAB为等边三角形，容易证明四边形EFCD是菱形，所以SABCDE=SCDEF?S△ABF由此即可求解．
解答： 解：如图，延长EA，BC相交于点F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，
因为∠EAB=∠CBA=120°，
所以∠FAB=∠FBA=60°，
所以△FAB为等边三角形，
AF=FB=AB=2，
所以CD=DE=EF=FC=4，
所以四边形EFCD是菱形，
所以SABCDE=SCDEF?S△ABF
 
点评： 本题考查轴对称的性质，对应点 的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是　C　
A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④

考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解答： 解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；
B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；
C、由①②不能判断四边形是正方形；
D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．
故选C．
点评： 此题用到的知识点是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形．灵活掌握这些判定定理是解本题的关键．

11．　有一组邻边相等　的矩形是正方形，　有一个角为直角　的菱形是正方形．

考点： 正方形的判定．
分析： 根据正方形的判定定理（有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形）求解即可求得答案．
解答： 解：有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形．
故答案为：有一组邻边相等，有一个角为直角．
点评： 此题考查了正方形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．

12．若四边形ABCD是矩形，请补充条件　此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等　（写一个即可），使矩形ABCD是正方形．

考点： 正方形的判定．
专题： 开放型．
分析： 由四边形ABCD是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴当AC⊥BD或AB=AD时，矩形ABCD是正方形．
故答案为：此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．
点评： 此题考查了正方形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．

13．如图，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F
①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：　∠BAC=90°　；
②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：　AD平分∠BAC　．
 
考点： 菱形的判定；矩形的判定．
分析： 已知DE∥AB，DF∥AC，则有四边形AEDF是平行四边形．①因为有一直角的平行四边形是矩形，可添加条件：∠BAC=90°；
②邻边相等的平行四边形是菱形，可添加条件：AD平分∠BAC．
解答： 解：∵DE∥AB，DF∥AC，AF、AE分别在AB、AC上
∴DE∥AF，DF∥AE
∴四边形AEDF是平行四边形
①∵∠BAC=90°
∴四边形AEDF是矩形；
②∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF
∴∠ADE=∠DAE
∴AE=DE
∴▱AEDF是菱形．
故答案为∠BAC=90°，AD平分∠BAC．
点评： 本题考查菱形和矩形的判定．本题是开放题，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，再证明结论．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．

14．在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点， PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件　AB= BC　时，四边形PEMF为矩形．
 

考点： 矩形的判定与性质．
分析： 根据已知条件、矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC=90° ，易得AB= BC时能满足∠BMC=90°的条件．
解答： 解：AB= BC时，四边形PEMF是矩形．
∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB= BC，
∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠MCD=45°，
∴∠BMC=90°，
又∵PE⊥MC，PF⊥MB，
∴∠PFM=∠PEM=90°，
∴四边形PEMF是矩形．
点评： 此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，是一开放型试题，是中考命题的热点．

三．解答题（共11小题）
15．如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．
求证：四边形EFGH是正方形．
 

考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 此题先根据正方形ABCD的性质，可证△AEH≌△CGF≌△DHG（SAS），得四边形EFGH为菱形，再求一个角是直角从而证明它是正方形．
解答： 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG，
又∵BE =CF=DG=AH，
∴CG=DH=AE=BF
∴△AEH≌△CGF≌△DHG，
∴EF=FG=GH=HE，∠EFB=∠HEA，
∴四边形EFGH为菱形，
∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA，
∴∠FEB+∠HEA=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
点评： 本题主要考查了正方形的判定方法：一角是直角的菱形是正方形．

16．已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
 

考点： 正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．
分析： ①根据DE∥AC，DF∥AB可判断四边形AEDF为平行四边形；
②由四边形AEDF为菱形，能得出AD为∠BAC的平分线即可；
③由四边形AEDF为正方形，得∠BAC=90°，即当△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
解答： 解：①∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形；

②∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分 ∠BAC时，四边形AEDF为菱形；

③由四边形AEDF为正方形，∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
点评： 本题考查了正方形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质以及矩形的性质．

17．已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
 

考点： 矩形的判定．
分析： 首先利用外角性质得出∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．
解答： 
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE=∠EAC，
∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，
∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE平行且等于BD，
又∵BD=DC，∴AE平行且等于DC，
故四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
即四边形ADCE是矩形．
 
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形AEDB是平行四边形是解题关键．

18．已知：如图，M为▱ABCD的AD边上的中点，且MB=MC，
求证：▱ABCD是矩形．
 

考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形的两组对边分别相等可知△ABM≌△DCM，可知∠A+∠D=180°，所以是矩形．
解答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵AM=DM，MB=MC，
∴△ABM≌△DCM．
∴∠A=∠D．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°．
∴∠A=90°．
∴▱ABCD是矩形．
点评： 此题主要考查了矩形的判定，即有一个角是90度的平行四边形是矩形．

19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积．
 

考点： 矩形的判定与性质；等腰直角三角形．
分析： 如上图所示，延长AB，延长DC，相交于E点．△ADE是等腰直角三角形，AD=DE=2，则可以求出△ADE的面积；∠C=∠AED=45度，所以△CBE是等腰直角三角形，BE=CB=4厘米，则可以求出△CBE的面积；那么四边形ABCD 的面积是两个三角形的面积之差．
解答： 解：延长AB，延长DC，相交于E点，得到两个等腰直角三角形△ADE和△CBE，
由等腰直角三角形的性质得：
DE=AD=2，
BE=CB=4，
那么四边形ABCD的面积是：
4×4÷2?2×2÷2
=8?2
=6．
答：四边形ABCD的面积是6．
 
点评： 此题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是作延长线，找到交点，组成新图形，是解决此题的关键．

20．如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．
（1）求证：AC=FG．
（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？
 

考点： 矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题： 证明题．
分析： 先根据题意推理出四边形AFCG是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；由第一问的结论和AC⊥FG得到四边形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．
解答： （1）证明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，
∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，
∴AB=AC；
AF是BC边上的中线，
∴AF⊥BC，
∵CG⊥AD，AD∥BC，
∴CG⊥BC，
∴AF∥CG，
∴四边形AFCG是平行四边形，
∵∠AFC=90°，
∴四边形AFCG是矩形；
∴AC=FG．
（2）解：当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：
∵四边形AFCG是矩形，
∴四边形AFCG是正方形，∠ACB=45°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
点评： 该题目考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质，知识点比较多，注意解答的思路要清晰．

21．如图，E是等边△ABC的BC边上一点，以AE为边作等边△AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使∠DAF=∠EFC．试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．
 

考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题： 证明题．
分析： 在已知条件中求证全等三角形，即△BAE≌△CAF，△AEC≌△AFD，从而得到△ACD和△ABC都是等边三角形，故可根据四条边都相等的四边形是菱形判定．
解答： 解：四边形ABCD是菱形．
证明：在△ABE、△ACF中
∵AB=AC，AE=AF
∠BAE=60°?∠EAC，∠CAF=60°?∠EAC
∴∠BAE=∠CAF
∴△BAE≌△CAF
∵∠CFA=∠CFE+∠EFA=∠CFE+60°
∠BEA=∠ECA+∠EAC=∠EAC+60°
∴∠EAC=∠CFE
∵∠DAF=∠CFE
∴∠EAC=∠DAF
∵AE=AF，∠AEC=∠AFD
∴△AEC≌△AFD
∴AC=AD，且∠D=∠ACE=60°
∴△ACD和△ABC都是等边三角形
∴四边形ABCD是菱形．
点评： 本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．

22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于点E．试说明：四边形OBEC是菱形．
 

考点： 菱形的判定；矩形的性质．
专题： 证明题．
分析： 在矩形ABCD中，可得OB=OC，由BE∥AC，EC∥BD，所以四边形OBEC是平行四边形，两个条件合在一起，可得出其为菱形．
解答： 证明：在矩形ABCD中，AC=BD，∴OB=OC，
∵BE∥AC，EC∥BD，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∴四边形OBEC是菱形．
点评： 熟练掌握菱形的性质及判定定理．

23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥A C，若AC=4，判断四边形CODE的形状，并计算其周长．
 

考点： 菱形的判定与性质；矩形的性质．
分析： 首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四 边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
解答： 解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC= AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故答案为：8．
点评：  此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．

24．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．
 

考点： 菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
分析： （1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=（8?x）2+62，求出即可．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
 ，
∴△DM O≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．

（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8?x）2+62，
解得：x= ．
答：MD长为 ．
点评： 本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用．注意对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

25．如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．
（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．
 

考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 动点型．
分析： （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，故可根据正方形的定义证明四边形PQEF是否使正方形．
（2）证PE是否过定点时，可连接AC，证明四边形APCE为平行四边形，即可证明PE过定点．
解答： 解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，
∴BP=QC=ED=FA．
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．
∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB．
∴四边形PQEF是菱形，
∵∠FPQ=90°，
∴四边形PQEF为正方形．

（2）连接AC交PE于O，
 
∵AP平行且等于EC，
∴四边形APCE为平行四边形．
∵O为对角线AC的中点，
∴对角线PE总过AC的中点．
点评： 在证明过程中，应了解正方形和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线．

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