2014-2015学年陕西省安康市旬阳县桐木中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1． 下列运算正确的是（ ）
A． a3•a2=a6 B． y3÷y=y3 C． （m2n）3=m6n3 D． （x2）3=x5
2． 剪纸是中华传统文化中的一块瑰宝，下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3． 下列式子的变形，不是因式分解的有（ ）
①（x+1）（x?2）=x2?x?2； ②x2?2x+1=x（x?2）+1；
③x2?9y2=（x+3y）（x?3y）； ④x2y?2xy+y=（x2?2x+1）y．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
4． 光年是一种长度单位，它表示光在一年中所通过的距离，已知光每秒的速度为3×105千米，一年以3×107秒计算，一光年约为（ ）
A． 3×1012千米 B． 9×1015千米 C． 9×1035千米 D． 9×1012千米
5． 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
A． 85° B． 80° C． 75° D． 70°
6． 如果单项式?x2a?3y2与x3ya+2b?7的和仍为单项式，那么它们的乘积为（ ）
A． ?x6y4 B． ?x3y2 C． ?x6y4 D． x6y4
7． 若A=10a2+3b2?5a+5，B=a2+3b2?8a+5，则A?B的值与?9a3b2的公因式为（ ）
A． a B． ?3 C． 9a3b2 D． 3a
8． 对于任意整数n，多项式（n+7）2?（n?3）2的值都能（ ）
A． 被20整除 B． 被7整除 C． 被21整除 D． 被n+4整除
9． 如图，要设计一幅长为3xcm，宽为2ycm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度均为acm，竖彩条的宽度均为bcm，则空白区域的面积是（ ）
A． （6xy?6xa?4by+4ab）cm2 B． （6xy+6xa+4by?4ab）cm2
C． （6xy?6xb?4ay+4ab）cm2 D． （6xy+6xb+4ay?4ab
10． 计算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）的结果为（ ）
A． 235+2 B． 264+1 C． 264?1 D． 232?1
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11． 若□×6xy=3x3y2，则□内应填的单项式是 ．
12． 计算（15y3?9y2?3y）÷（?3y）= ．
13． 已知2a+3b+4=0，则?4a?6b的值为 ．
14． 若4x2+mx+9是一个完全平方式，则实数m的值是 ．
15． 如果（x2?mx+3）（3x?2）的展开式中不含x2项，则m的值是 ．
16． 一个等腰三角形的周长为16，一边长是6，则它的腰长为 ．
17． 若3x=m，9y=n，x，y为正整数，则32x+6y等于 ．
18． 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4?y4，因式分解的结果是（x?y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x?y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3?xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）．
三、解答题（共5小题，计46分．解答应写出过程）
19． 把下列各式分解因式：
（1）x2?（y+2）2；
（2）?20x3y+x4+100x2y2．
20． 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在边AB上取一点D，使得DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F，求证：FC=AB+DB．
21． 先化简，再求值：
（1）b（a+b）+（a+2b）（2a?b）?4ab，其中a=?3，b=4；
（2）[（x+3y）（x?3y）+（x+3y）2]÷（?4x），其中x=1，y=．
22． 已知“两点之间，线段最短”，我们经常利用它来解决两线段和的最小值问题．
（1）实践运用
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题??将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？画出最短路径并说明理由．
（2）拓展延伸
如图2，点P，Q是△ABC的边AB、AC上的两个定点，请同学们在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短（要求：尺规作图，不写作图过程保留作图痕迹）．
23． 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2．请解答下列问题：
（1）直接写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）写出图3中所表示的数学等式，并利用所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）图4中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为a、宽为b的长方形纸片，请先写出数学等式：（2a+b）（a+2b）= ，再利用所给的纸片拼出一个几何图形，验证该公式．
2014-2015学年陕西省安康市旬阳县桐木中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1． 下列运算正确的是（ ）
A． a3•a2=a6 B． y3÷y=y3 C． （m2n）3=m6n3 D． （x2）3=x5
考点： 同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析： 根据同底数幂的乘法，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据积的乘方，可判断C，根据幂的乘方，可判断D．
解答： 解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；
B、底数不变指数相减，故B错误；
C、积的乘方等每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故C正确；
D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误；
故选：C．
点评： 本题考查了同底数幂的除法，利用法则计算是解题关键．
2． 剪纸是中华传统文化中的一块瑰宝，下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的定义直接判断得出即可．
解答： 解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
点评： 此题主要考查了轴对称图形的性质，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
3． 下列式子的变形，不是因式分解的有（ ）
①（x+1）（x?2）=x2?x?2； ②x2?2x+1=x（x?2）+1；
③x2?9y2=（x+3y）（x?3y）； ④x2y?2xy+y=（x2?2x+1）y．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 因式分解的意义．
分析： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
解答： 解：①右边不是整式积的形式，不是因式分解；
②右边不是整式积的形式，不是因式分解；
③是因式分解；
④右边的式子还有可以分解的多项式，不是因式分解；
综上可得不是因式分解的是：①②④，共3个．
故选C．
点评： 本题考查了因式分解的知识，解答本题的关键是掌握因式分解的定义．
4． 光年是一种长度单位，它表示光在一年中所通过的距离，已知光每秒的速度为3×105千米，一年以3×107秒计算，一光年约为（ ）
A． 3×1012千米 B． 9×1015千米 C． 9×1035千米 D． 9×1012千米
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将3×105×3×107用科学记数法表示为：9×1012．
故选：D．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5． 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
A． 85° B． 80° C． 75° D． 70°
考点： 三角形内角和定理．
分析： 先根据∠A=50°，∠ABC=70°得出∠C的度数，再由BD平分∠ABC求出∠ABD的度数，再根据三角形的外角等于和它不相邻的内角的和解答．
解答： 解：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=70°×=35°，
∴∠BDC=50°+35°=85°，
故选：A．
点评： 本题考查的是三角形的外角和内角的关系，熟知三角形的外角等于和它不相邻的内角的和是解题的关键．
6． 如果单项式?x2a?3y2与x3ya+2b?7的和仍为单项式，那么它们的乘积为（ ）
A． ?x6y4 B． ?x3y2 C． ?x6y4 D． x6y4
考点： 单项式乘单项式；合并同类项．
分析： 根据合并同类项法则得出a，b的值，进而利用单项式乘以单项式运算法则求出即可．
解答： 解：∵单项式?x2a?3y2与x3ya+2b?7的和仍为单项式，
∴，
解得：，
故单项式?x3y2与x3y2的乘积为：?x6y4．
故选：C．
点评： 此题主要考查了单项式乘以单项式以及合并同类项法则，得出a，b的值是解题关键．
7． 若A=10a2+3b2?5a+5，B=a2+3b2?8a+5，则A?B的值与?9a3b2的公因式为（ ）
A． a B． ?3 C． 9a3b2 D． 3a
考点： 公因式；整式的加减．
分析： 根据合并同类项，可化简整式，根据公因式是每?都含有的因式，可得答案．
解答： 解：A?B=9a2+3a，
A?B的值与?9a3b2的公因式为3a，
故选：D．
点评： 本题考查了公因式，先合并同类项，再判断公因式．
8． 对于任意整数n，多项式（n+7）2?（n?3）2的值都能（ ）
A． 被20整除 B． 被7整除 C． 被21整除 D． 被n+4整除
考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 直接利用平方差公式分解因式得出即可．
解答： 解：（n+7）2?（n?3）2
=[（n+7）?（n?3）][（n+7）+（n?3）]
=10（2n+4）
=20（n+2），
故多项式（n+7）2?（n?3）2的值都能被20整除．
故选：A．
点评： 此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
9． 如图，要设计一幅长为3xcm，宽为2ycm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度均为acm，竖彩条的宽度均为bcm，则空白区域的面积是（ ）
A． （6xy?6xa?4by+4ab）cm2 B． （6xy+6xa+4by?4ab）cm2
C． （6xy?6xb?4ay+4ab）cm2 D． （6xy+6xb+4ay?4ab
考点： 整式的混合运算．
专题： 应用题．
分析： ：由长方形面积减去阴影部分面积求出空白区域面积即可．
解答： 解：根据题意得：3x•2y?（3x?2a）（2y?2a）=（6xy?6xa?4by+4ab）cm2．
故选A
点评： 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10． 计算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）的结果为（ ）
A． 235+2 B． 264+1 C． 264?1 D． 232?1
考点： 平方差公式．
分析： 把前面的1变为（2?1），再依次运用平方差公式进行计算即可．
解答： 解：原式=（2?1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），
=（22?1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），
=（24?1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），
=（28?1）（28+1）（216+1）（232+1），
=（216?1）（216+1）（232+1），
=（232?1）（232+1），
=264?1
故选：C．
点评： 本题考查了平方差公式的应用，注意：（a+b）（a?b）=a2?b2．
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11． 若□×6xy=3x3y2，则□内应填的单项式是 x2y ．
考点： 单项式乘单项式．
分析： 利用单项式的乘除运算法则，进而求出即可．
解答： 解：∵□×6xy=3x3y2，
∴□=3x3y2÷6xy=x2y．
故答案为：x2y．
点评： 此题主要考查了单项式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12． 计算（15y3?9y2?3y）÷（?3y）= ?5y2+3y+1 ．
考点： 整式的除法．
专题： 计算题．
分析： 原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．
解答： 解：（15y3?9y2?3y）÷（?3y）=?5y2+3y+1，
故答案为：?5y2+3y+1
点评： 此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13． 已知2a+3b+4=0，则?4a?6b的值为 8 ．
考点： 代数式求值．
专题： 计算题．
分析： 由已知等式变形求出2a+3b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
解答： 解：由题意得：2a+3b=?4，
则原式=?2（2a+3b）=8，
故答案为：8
点评： 此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14． 若4x2+mx+9是一个完全平方式，则实数m的值是 ±12 ．
考点： 完全平方式．
专题： 常规题型．
分析： 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
解答： 解：∵4x2+mx+9=（2x）2+mx+32，
∴mx=±2×2x×3，
解得m=±12．
故答案为：±12．
点评： 本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
15． 如果（x2?mx+3）（3x?2）的展开式中不含x2项，则m的值是 ．
考点： 多项式乘多项式．
分析： 根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（x2?mx+3）（3x?2）=3x3?（3m+2）x2+（2m+9）x?6，再令 x2项系数为0，计算即可．
解答： 解：（x2?mx+3）（3x?2）
=3x3?（3m+2）x2+（2m+9）x?6，
如果（x2?mx+3）（3x?2）的展开式中不含x2项，
则有，3m+2=0
解得，m=?．
故答案为：?．
点评： 本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
16． 一个等腰三角形的周长为16，一边长是6，则它的腰长为 6或5 ．
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 题目给出等腰三角形有一边长为6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解答： 解：∵等腰三角形的周长为16，
∴当6为腰时，它的底长=16?6?6=3，3+6＞6能构成等腰三角形，即它的腰长为6；
当6为底时，它的腰长=（16?6）÷2=5，5+5＞6能构成等腰三角形，即它的腰长也可以为5．
故它的腰长为6或5．
故填6或5．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．注意养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
17． 若3x=m，9y=n，x，y为正整数，则32x+6y等于 m2n3 ．
考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
分析： 先求出32y=n，先根据同底数幂的乘法进行计算，再根据幂的乘方变形，最后整体代入求出即可．
解答： 解：∵3x=m，9y=n，
∴32y=n，
∴32x+6y
=32x•36y
=（3x）2•（32y）3
=m2n3，
故答案为：m2n3．
点评： 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，能灵活运用法则进行变形是解此题的关键，用了整体代入思想．
18． 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4?y4，因式分解的结果是（x?y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x?y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3?xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是： 101030或103010或301010 （写出一个即可）．
考点： 因式分解的应用．
专题： 开放型．
分析： 把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可．
解答： 解：4x3?xy2=x（4x2?y2）=x（2x+y）（2x?y），
当x=10，y=10时，x=10；2x+y=30；2x?y=10，
用上述方法产生的密码是：101030或103010或301010．
故答案为：101030或103010或301010．
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
三、解答题（共5小题，计46分．解答应写出过程）
19． 把下列各式分解因式：
（1）x2?（y+2）2；
（2）?20x3y+x4+100x2y2．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 计算题．
分析： （1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
解答： 解：（1）原式=（x+y+2）（x?y?2）；
（2）原式=x2（?20xy+x2+100y2）=x2（x?10y）2．
点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20． 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在边AB上取一点D，使得DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F，求证：FC=AB+DB．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 先根据角的互余关系求出∠A=∠F，再根据AAS证明△ABC≌△FBD，得出对应边相等，即可得出结论．
解答： 解：∵∠ABC=90°，EF⊥AC，
∴∠A=∠C=90°，∠F+∠C=90°，
∴∠A=∠F，
在△ABC和△FBD中，
，
∴△ABC≌△FBD（AAS），
∴BF=AB，
∴FC=BF+BC=AB+BD．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法证明三角形全等是解决问题的关键．
21． 先化简，再求值：
（1）b（a+b）+（a+2b）（2a?b）?4ab，其中a=?3，b=4；
（2）[（x+3y）（x?3y）+（x+3y）2]÷（?4x），其中x=1，y=．
考点： 整式的混合运算—化简求值．
专题： 计算题．
分析： （1）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式计算，合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用平方差公式及完全平方公式化简，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值
解答： 解：（1）原式=ab+b2+2a2?ab+4ab?2b2?4ab=2a2?b2，
当a=?3，b=4时，原式=18?16=2；
（2）原式=（x2?9y2+x2+6xy+9y2）÷（?4x）=（2x2+6xy）÷（?4x）=?，
当x=1，y=时，原式=?．
点评： 此题考查了整式的混合运算?化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22． 已知“两点之间，线段最短”，我们经常利用它来解决两线段和的最小值问题．
（1）实践运用
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题??将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？画出最短路径并说明理由．
（2）拓展延伸
如图2，点P，Q是△ABC的边AB、AC上的两个定点，请同学们在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短（要求：尺规作图，不写作图过程保留作图痕迹）．
考点： 轴对称-最短路线问题；作图—应用与设计作图．
分析： （1）从点A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A′使得A′D=AD，连接A′B，与河岸相交y于C，则C点就是饮马的地方，此时AC+BC的值最小．
（2）作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，交BC于R，此时△PQR的周长最短．
解答： 解：（1）如图1，从点A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A′使得A′D=AD，连接A′B，与河岸相交y于C，则C点就是饮马的地方；
证明：如图1，如果将军在河边的另外任意点C′饮马，所走的路程就是AC′+C′B，因为AC′+C′B＞A′B=AC+BC，所以在C点外任意一点饮马，所走的路程都要远些；
（2）尺规作图，如图2：
点评： 此题主要考查了作图?应用与设计作图，关键是掌握在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
23． 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2．请解答下列问题：
（1）直接写出图2中所表示的数学等式 （a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2 ；
（2）写出图3中所表示的数学等式，并利用所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）图4中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为a、宽为b的长方形纸片，请先写出数学等式：（2a+b）（a+2b）= 2a2+5ab+2b2 ，再利用所给的纸片拼出一个几何图形，验证该公式．
考点： 多项式乘多项式．
分析： （1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，ab+bc+ac=38作为整式代入即可求出．
（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件
解答： 解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（2）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）2，
各小矩形部分的面积之和=a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，
∴等式为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故a2+b2+c2 =（a+b+c）2?2ab?2ac?2bc
=112?2×38
=45；
（3）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；
如图所示：（答案不唯一）
．
点评： 本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
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