完全平方数和完全平方式

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第三十一讲 完全平方数和完全平方式
设n是自然数,若存在自然数m,使得n=m2,则称n是一个完全平方数(或平方数).常见的题型有:判断一个数是否是完全平方数;证明一个数不是完全平方数;关于存在性问题和其他有关问题等.最常用的性质有:
(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9,个位数字是2,3,7,8的数一定不是平方数;
(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数,个位数字为6,而十位数字为偶数的数,也一定不是完全平方数;
(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数;
(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式;
(5)任何整数平方之后,只能是3n或3n+1的形式,从而知,形如3n+2的数绝不是平方数;任何整数平方之后只能是5n,5n+1,5n+4的形式,从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数;
(6)相邻两个整数之积不是完全平方数;
(7)如果自然数n不是完全平方数,那么它的所有正 因数的个数是偶数;如果自然数n是完全平方数,那么它的所有正因数的个数是奇数;
(8)偶数的平方一定能被4整除;奇数的平方被8除余1,且十位数字必是偶数.
例题求解
【例1】 n是正整数,3n+1是完全平方数,证明:n+l是3个完全 平方数之和.
思路点拨 设3n+1=m2,显然3卜m,因此,m=3k+1或m=3k+2(k是正整数).
若rn=3k+1,则 .
∴ n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k+1)2.
若m=3k+2,则
∴ n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2.
故n+1是3个完全平方数之和.
【例2】一个正整数,如果加上100是一个平方数,如果加上168,则是另一个平方数,求这个正整数.
思路点拨 引入参数,利用奇偶分析求解.
设所求正整数为x,则
x+ 100=m2 ----①
x+168==n2 -----②
其中m,n 都是正整数, ②?①得n2?m2 =68,即 (n?m)(n+m)=22×17.---- ③
因n?m,n+m具有相同的奇偶性,由③知n?m,n+m都是偶数.注意到0 解得n=18.代人②得x=156,即为所求.
【例3】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”,比如16=52?32,16就是一个“智慧数”.在正整数中从1开始数起,试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由.
思路点拨 1不能表为两个正整数的平方差,所以1不是“智慧数”.对于大于1的奇正整数2k+1,有2k+1=(k+1)2-k2(k=1,2,…).所以大于1的奇正整数都是“智慧数”.
对于被4整除的偶数4k,有4k=(k+1)2?(k?1)2 (k=2,3,…).即大于4的被4整除的数都是“智慧数”,而4不能表示为两个正整数平方差,所以4不是“智慧数”.
对于被4除余2的数4k+2 (k=0,1,2,3,…),设4k+2=x2?y2=(x+y)(x-y),其中x,y为正整数,当x,y奇偶性相同时,(x+y)(x-y)被4整除,而4k+2不被4整除;当x,y奇偶性相异时,(x+y)(x-y)为奇数,而4k+2为偶数,总得矛盾.所以不存在自然数x,y使得x2?y2=4k+2.即形如4k+2的数均不为“智慧数”.
因此,在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”,此后,每连续四个数中有三个“智慧数”.
因为1998=(1+3×665)+2,4×(665+1)=2664,所以2664是第1996个“智慧数”,2665是第1997个“智慧数”,注意到2666不是“智慧数” ,因此2667是第1998个“智慧数”,即第1998个“智慧数”是2667.
【例4】(太原市竞赛题)已知:五位数 满足下列条件:
(1)它的各位数字均不为零;
(2)它是一个完全平方数;
(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数,干位和百位上的数字顺次构成的两位数 以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数 也都是完全平方数.
试求出满足上述条件的所有五位数.
思路点拨 设 ,且 (一位数), (两位数), (两位数),则 ①
由式①知 ②
比较式①、式②得n2=2mt.
因为n2是2的倍数,故n也是2的倍数,所以,n2是4的倍数,且是完全平方数.
故n2=16或36或64.
当n2=16时,得 ,则m=l,2,4,8,t=8,4,2,1,后二解不合条件,舍去;
故 或41616.
当n2=36时,得 .则m=2,3,1,t=9,6,18.最后一解不合条件,舍去.
故 或93636.
当n2= 64时,得 .则m=1,2,4,8,t=32,16,8,4都不合条件,舍去.
因此,满足条件的五位数只有4个:11 664,41 616,43 681,93 636.
【例5】 (2002年北京)能 够找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够,请举出一例;若不能够;请说明理由.
思路点拨 不能找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数.
理由如下:
偶数的平方能被4整除,奇数的平方被4除余1,也就是正 整数的平方被4除余0或1.若存在正整数满足 ; =1,2,3,4,rn是正整数;因为2002被4除余2,所以 被4除应余2或3.
(1)若正整数n1,n2,n3,n4中有两个是偶数,不妨设n1,n2是偶数,则 被4除余2,与正整数的平方被4除余0或1不符,所以正整数n1,n2,n3,n4中至多有?个是偶数,至少有三个是奇数.
(2)在这三个奇数中,被4除的余数可分为余1或3两类,根据抽屉原则,必有两个奇数属于同一类,则它们的乘积被4除余1,与 被4除余2或3的结论矛盾.
综上所述,不能找到这样的四个正整数,使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数.
【例6】 使得(n2?19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少?
思路点拨 若(n2?19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间,则它的取值便固定了.
∵ n2一19n+91=(n-9)2 +(10一n)
当n>10时,(n-10)2∴ 当n>10时(n2?19n+19)不会成为完全平方数
∴ 当n≤10时,(n2?19n+91)才是完全平方数
经试算,n=9和n=10时,n2?19n+91是完全平方数.
所以满足题意的值有2个.
【例7】 (“我爱数学”夏令营)已知 的值都是1或?1,设m是这2002个数的两两乘积之和.
(1)求m的最大值和最小值,并指出能达到最大值、最小值的条件;
(2 )求m的最小正值,并指出能达到最小正值的条件.
思路点拨 (1) , .
当 或 时,m取最大值2003001.
当 中恰有1001个1,1001个 时,m取最小值?1001.
(2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025,且 必为偶数,所以,当 或 ;
即 中恰有1024个1,978个 或恰有1024个 ,978个1时,m取最小值 .
【例8】 (全国竞赛题)如果对一切x的整数值,x的二次三项式 都是平方数(即整数的平方),证明:
(1) 2a、2b都是整数;
( 2)a、b、c都是整数,并且c是平方数.
反过来,如果(2) 成立,是否对一切x的整数值, 的值都是平方数?
思路点拨 (1) 令x=0,得c=平方数= ;
令x=±1,得 , ,其中m、n都是整数.所以, , 都是整数.
(2) 如果2b是奇数2k+l(k是整数),令x=4得 ,其中h是整数.
由于2a是整数,所以16a被4整除,有 除以4余2.
而 ,在h 、l的奇偶性不同时, 是奇数;在h、l的奇偶性相同时, 能被4整除.
因此, ,从而2b是偶数,b是整数, ^也是整数.
在(2)成立时, 不一定对x的整数值都是平方数.例如,a=2,b=2,c=4,x=1时, =8不是平方数.
另解(2):
令x=±2,得4a+2b+c=h2,4a?2b+c=k2,其中h、k为整数.两式相减得
4b=h2?k2=(h+k)(h?k).
由于4b=2(2b)是偶数,所以h、k的奇偶性相同,(h+k)(h?k)能被4整除.
因此,b是整数, 也是整数.


学力训练
(A级)
1.(山东省竞赛题)如果 是整数,那么a满足( )
A.a>0,且a是完全平方数 B.a<0,且-a是完全平方数
C.a≥0,且a是完全平方数 D.a≤0,且?a是完全平方数
2.设n是自然数,如果n2的十位数字是7,那么n2的末位数字是( )
A.1 B.4 C.5 D.6
3.(五羊杯,初二)设自然数N是完全平方数,N至少是3位数,它的末2位数字不是00,且去掉此2位数字后,剩下的数还是完全平方数,则N的最大值是 .
4.使得n2?19n+95为完全平方数的自然数n的值是 .
5.自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方,则n= .
6.两个两位数,它们的差是56,它们的平方数的末两位数字相同,则这两个数分别是

7.是否存在一个三位数 (a,b,c取从1到9的自然数),使得 为完全平方数?
8.求证:四个连续自然数的积加l,其和必为完全平方数.

(B级)
1.若x是自然数,设 ,则 ( )
A.y一定是完全平方数 B.存在有限个,使y是完全平方数
C.y一定不是完全平方数 D.存在无限多个,使y是完全平方数
2.已知a和b是两个完全平方数,b的个位数字为l,十位数字为x;b的个位数为6,十位数字为y,则( )
A.x,y都是奇数 B.x,y都是偶数
C.x是奇数,y是偶数 D.x为偶数,y为奇数
3.若四位数 是一个完全平方数,则这个四位数是 .
4.设m是一个完全平方数,则比m大的最小完全平方数是 .
5.(全国联赛题)设平方数y2是11个连续整数的平方和,则y的最小值是 .
6.(北京市竞赛,初二)p是负整数,且2001+p是?个完全平方数,则p的最大值为 .
7.有若干名战士,恰好组成一个八列长方形队列.若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后,都能 组成一个正方形队列.问原长方形队列共有多少名战士?
8.证明: 是一个完全平方数.


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