一、目标导航
1．相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比；
2．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
二、基础过关
1．若两个相似多边形面积比为 ，则它们的周长比是 ．
2．若△ABC∽△A B C ，AB=4，BC=5，AC=6，△A B C 的最大边长为15，那么它们的相似比是________，△A B C 的周长是________．
3．两个相似三角形对应角平分线之比为1:4．则它们的周长比为 ，面积比为 ．
4．若DE为△ABC的中位线，且DE//BC，则△ADE与△ABC的面积比为 ．
5．两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长
是________．
6．如图，在□ABCD中，延长AB到E，使BE= AB，延长CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，交AD于H，则△BEG与△CFG的面积之比是________．
7．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 倍，那么边长应缩小到原来的________倍．
8．如果两个相似三角形的面积比为9:25，而第一个三角形的周长为36，那么第二个三角形周长是 ．
三、能力提升
9．把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）
A．2∶1 B． ∶1C． ∶1D．4∶1
10．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，△ADE和四边形BCED的面积分别记为S1、S2，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S =3S ，则AB∶AC等于（ ）
A．1∶3B．1∶4 C．1∶ D．1∶2
12．顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（ ）
A．1∶4B．1∶3 C．1∶ D．1∶2
13．如图，DF//EG//BC，AD=DE=EB，则面积比S :S :S 等于( )
A．1:1:2 B．1:3:5 C．1:2:3 D．1:4:9
14．如图，若∠C=90 ，AD=DB，ED⊥AB，AB=20，AC=12，则四边形ADEC的面积为( )
A．75 B．58.5 C．48 D．37
15．在梯形ABCD中，AB//CD，若DB，AC交于点O，且△DCO的面积与△DCB的面积比为1:3，则△CDO与△ABO的面积比等于( )
A．1:9 B．1:7 C．1:4 D．1:5
16．如图，BE//CD，AB:BC=2:3，则 =( )
A．2:3 B．4:15 C．4:21 D．4:17
17．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形的边长是多少？
18．如图，在△ABC中，DE//BC，EF//AB，已知△ADE和△EFC的面积分别是4cm 和9cm ,求△ABC的面积．
19．正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB =6，AE:EC = 2:1．求四边形AFEG的面积．
20．如图，□ABCD中，M为BC中点，AN=3MN，BN的延长线交AC于E，交CD于F．⑴求AE:EC的值;⑵当S =9时，求S ．
21．如图， △ABC中，AB=4，D在AB边上移动(不与A，B重合)，DE//BC交AC于E，连结CD，设 ， ．⑴当D为AB中点时，求 的值;
⑵若AD= ， ，求 关于 的函数关系式及自变量的取值范围．
四、聚沙成塔
22．如图，梯形ABCD中，AD//BC，CE平分∠BCD，且CE⊥AB于E， ， =14cm ．求四边形ADCE的面积．
23．△ABC中，AB=AC=10，BC=12，动点D在边AB上，DE⊥AB，点E在BC上，点F在边AC上，且∠DEF=∠B，当点D在AB上运动时，⑴ 可能等于 的二倍吗?若可能，请求出BD的长;若不可能，请说明理由．⑵ 可能等于 的四倍吗?若可能，请求出BD的长;若不可能，请说明理由．
24．在Rt△ABC中， ∠C=90 ，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上(点E与A，C两点均不重合)，点F在斜边AB上(点F与A，B均不重合)．⑴若EF平分Rt△ABC周长，设AE的长为 ，试用含 的代数式表示△AEF的面积；⑵是否存在线段EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分?若存在，求出此时AE的长;若不存在，说明理由．
25．如图，在△ABC中，DE//BC，在AB上取一点F，使 ．
求证:AD =AB?BF．
26．某生活小区的居民筹集资金1600元，在一块上、下底分别为10米，20米的梯形空地上种植花木如图①，⑴他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/?，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分）共花了160元，请计算种满△BMC地带所需费用．⑵若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择，单价分别为12元/?和10元/?，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金．⑶若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图②）请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC，且S =S ，并说明你的理由．
27．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折线交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC交于点G，⑴如果M为CD的中点，求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5．⑵如果M为CD上任一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x（即DM=x）的代数式表示；若无关，请说明理由．
28．如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．
⑴当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长．
⑵当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．
⑶试问:在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形，若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．
29．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC交AB于点E，EC与AD相交于点F．⑴求证:△ABC∽△FCD；⑵若S =5，BC=10，求DE的长．
30．如图，已知，在△ABC中，BA=BC=20?，AC=30?，点P从A点出发，沿AB以4?/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3?/s的速度向A点运动，设运动时间为x，
⑴当x为何值时，PQ∥BC；
⑵当 =1:3时，求 的值；
⑶△APQ能否与△CQB相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由．
31．如图，△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连结AE．
⑴写出图中所有相等的线段，并加以说明；
⑵图中有无相似三角形，若有，请写出一对，若没有，请说明理由；
⑶求△BEC与△BEA的面积之比．
4．8相似多边形的性质
1．2:3；2．2:5，37.5；3．1:4，1:16；4．1:4；5．75；6．1:16；7． ；8．60；9．C；10．C；11．C；12．D；13．B；14．B；15．C；16．B；17．4.8cm；18．25；19．16；20．⑴提示:延长AD，BF交于G．AE:EC=3:2．⑵4．
21．⑴S :S=1:4．⑵ (0＜ ＜4)．22．提示:延长BA，CD交于点F．面积= ．23． ⑴可能，此时BD= ．⑵不可能，当S 的面积最大时，两面积之比= ＜4．
24．⑴S = ．⑵存在．AE= ．
25．略．
26． ⑴640元．⑵选种茉莉花．⑶略．
27． ⑴利用勾股定理问题即可解决．⑵答:无关．利用△MCG∽△MDE的周长比等于相似比可求得△MCG的面积=4 ．
28． ⑴CP=2 ．⑵CP= ．⑶分两种情况①PQ= ，②PQ= ．
29．提示:作△ABC的高AG． ⑴略．⑵DE= ．
30． ⑴ = s．⑵2:9．⑶AP= 或20．
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