配方法的作用在于改变代数式的原有结构,是求解变形的一种手段;配方法的实质在于改变式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具,配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用 .
运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”,应具有整体把握题设条件的能力,即善于将某项拆开又重新分配组合,得到完全平方式.
例题求解
【例1】已 知有理数x,y,z满足 ,那么(x—yz)2的值为 . (北京市竞赛题)
思 路点拨 三元不定方程,尝试从配方法人手.
【例2】 若 ,则 可取得的最小值为( )
A.3 B. C. D.6
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨 通过引参,设 ,把x,y,z用k的代数式表示,则 转化为关于k的二次三项式,运用配方法求其最小值.
【例3】怎样的整数a、b、c满足不等式: .
(匈牙利数学奥林匹克试题)
思路点拨 一个不等式涉及三个未知量,运用配方法试一试.
【例4】 求方程m2-2mn+14n2=217的自然数解. (上海市竞赛题)
思路点拨 本例是个复杂的不定方程,由等式左边的特点,不难想到配方法.
【例5】求实数 x、y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+ (2x+y-6)2达到最小值.
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 展开整理成关于x(或y)的二次三项式,从配方的角度探求式子的最小值,并求出最小值存在时的x、y的值.
【例6】 为了美化校园环境,某中学准备在一块空地(如图,矩形ABCD,AB=10m,BC=20m)上进行绿化,中间的一块(图中四边形EFGH)上种花,其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪,并要求AC=AH=CF=CG,那么在满足上述条件的所有设计中,是否存在一种设计,使得四边形EFGH (中间种花的一块)面积最大?若存在,请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积;若不存在,请说明理由.
(2温州市中考题)
思路点拨 这是一道探索性几何应用题,解题的关键是代数化.设AE=AH=CF=CG=xm,则BE=DG=(20-x)m,四边形E FGH的面积可用x 的代数式表示,利用配方法求该代数式的最大值.
注 配方的对象具有多样性,数,字母、等式、不等式都可以配方;同一个式于可以有不同的配方结果,可以配一个平方式,也可以配多个平方式.
配方法的实质在于揭示式子的非负性,而非负数有以下重要性质:
(1)若有限个非负数的和为0,则每一个非负数都为零;
(2)非负教的最小值为零.
学历训练
1.若 ,则 .
(2江西省中考题)
2.设 , ,则 的值等于 .
( “希望杯” 邀请赛试题)
3.分解因式: = .
4,已知实数 x、y、z满足 , ,那么 = .
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
5.若实数x、y 满足 ,则 的值是( )
A.1 B. C. D.
6.已知 , , ,则多项式 的 值为( )
A.0 B.1 C. 2 D.3
(全国初中数学竞赛题)
7.整数x、y满足不等式 ,则x+y的值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ( “希望杯”邀请赛试题)
8.化简 为( )
A.5-4 B. 4 -l C.5 D. 1 (2003年天津市竞赛题)
9.已知正整数 a、b、c满足不等式 ,求a、b、c的值.
(江苏省竞赛题)
10.已知x、y、z为实数,且满足 ,求 的最小值.
(第12届“希望杯”邀请赛试题)
11.实数x、y、z满足 ,则 的值为 .
12.若 ,则a+b+c的值为 .
13.x、y为实数,且 ,则x、y的值为x= ,y= .
14.已知 ,那么当x= ,y= 时,M的值最小,M的最小值为 .
15.已知 , ,则a+b=( )
A.4 B.0 C.2 D.-2
(重庆市竞赛题)
16.设 , ,则 的值为( )
A. B. C .2 D. (江苏省竞赛题)
17.若 a、b、c、d是乘积为l的4个正数,则代数式 的最小值为( )
A.0 B.4 C.8 D.10
18.若实数a、b、c满足 ,代数式 的最大值是( )
A.2 7 D.18 C.15 D.12
19.已知x+y+z=1,求证: .
(苏奥尔德莱尼基市竞赛 题)
20.已知a>b,且 ,a、b 为自然数,求a、b的值.
21.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足 , , ,试求
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