等腰三角形的性质

编辑: 逍遥路 关键词: 八年级 来源: 高中学习网
第十一讲 等腰三角形的性质
若按边(角)是否相等分类,两边(角)相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形是一类特殊三角形,它的两底角相等;等腰三角形是轴对称图形,底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一),特别地,等边三角形的各边相等,各角都为60°.
解与等腰三角形相关的问题,全等三角形依然是重要的工具,但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质,这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关 系的证明等问题提供了新的理论依据,因此,重视全等三角形的运用,又不囿于全等三角形,善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径.
例题求解
【例1】 如图AOB是一钢架,且∠AOB=10°,为使钢架更加坚固,需在其内部添加一些钢 管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管 根.
(山东省聊城市中考题)
思路点拨 通过角度的计算,确定添加钢管数的最大值.

注 角是几何中最活跃的元素,与角相关的知识异常丰富,在三角形中,角又有独特的等量关系,如三角形内角和定理、内外角关系定理.等腰三角形两底角相等,利用这些定理可以找到 角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系.
随着知识的丰富,我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加,因此,在使用什么方法解决问题时,需要综合与选择.
【例2】如图,若AB=AC,BG=BH,AK=KG,则∠BAC的度数为( )
A.30° D.32° C 36° D.40°
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨 图中有很多相关的角,用∠BAC的代数式表示这些角,建立关于∠BAC的方程.

【例3】 如图,在△ABC中,已知∠A=90°,AB=AC,D为AC上一点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,问:当点D满足什么条件时,∠ADB=∠CDF,请说明理由.
(安徽省竞赛题改编题)
思路点拨 本例是探索条件的问题,可先假定结论成 立,逐步逆推过去,找到相应的条件,若∠ADB=∠CDF,这一结论如 何用?因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等,故需构造全等三角形,而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线.


【例4】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE= BD.求证:BD是∠ABC的角平分线.
(北京市竞赛题)
思路点拨 AE边上的高与∠ABC的平分线重合,联想到等腰三角形,通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形.


注 若巳知图形中不存在证题所需的全等三角形,我们需要添加辅助战,构造全等三角形,使欲证的线段或角转移位置,最终使问题得以解决.
结论探索型、条件探索型、存在性判断是探索型问题的基本形式,相应的解题策略是:
(1)通过对符合条件的特例或简单情形的分析、观察、猜想结果,再给出证明;
(2)假设结论成立,逆推追寻相应的条件;
(3)假设在题设条件下的某一数学对象存在,进行推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定的结论.
【例5】如图,在△ABC中,已知∠C=60°,AC>BC,又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形,而点D在AC上,且BC=DC
(1)证明:△C′BD≌△B′DC;
(2)证明:△AC′D≌△DB′A;
(3)对△ABC、△ABC′、△BCA′、△CAB ′,从面积大小关系上,你能得出什么结论?
(江苏省竞赛题)
思路点拨 (1)是基础,(2)是(1)的自然推论,(3) 由角的不等,导出边的不等关系,这是探索面积不等关系的关键.
学力训练
1.如图,△ABC中,已知AD=AC,要使AD=AE,需要添加的一个条件是 .
(济南市中考题)
2.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分,则这个等腰三角形底边的长为 .
3.△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BP=CE,BD=CP,则∠DPF= 度.


4.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,则∠ABC的大小是 .
(烟台市中考题)
5.△ABC的一个内角的大小是40°,且∠A=∠B,那么∠C的外角的大小是( )
A.140° B.80°或100° C .100°或140° D.80°或140°
6.已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点F、F,给出以下四个结论:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形,③S = S ;④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),上述结论中始终正确的是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
(苏州市中考题)
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=AE,BC=BF,则∠ECF=( )
A.60° B.45° C.30° D.不确定


8.如图,在等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数是( )
A.45° D.55° C.60° D.75°
(菏泽市中考题)
9.在△ABC中,已知AB=AC,且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形,试求厶ABC各内角的度数.
(广州市中考题)
10.如图,已知A、D两点分别是正三角形DEF、正三角形ABC的中心,连结GH、AD,延长AD交BC于M,延长DA交EF于N,G是FD与AB的交点,H是ED与AC的交点.
(1)请写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论(不要求写出证明过程);
(2)问FE、GH、BC有何位置关系?试证明你的结论.
(江西省中考题)



11.如图,在Rt△ABC中,已知∠ACB=90°,AC=BC,D为DC的中点,CE⊥AD于E,BF∥AC交CE的延长线于点F.求证:AB垂直平分DF.
(河南省中考题)

12.如图 ,O为等边三角形ABC内一点,BD=DA,BE=AB,∠DBE=∠DBC,则∠BED的度数是 .
(河南省竞赛题)
13.如图,AA′、BB′分别是∠EAO、∠DBC的平分线,若AA′=BB′=AB,则∠BAC的度数为 . (全国初中数学联 赛题)



14.周长为100,边长为整数的等腰三角形共有 种.
( “华杯赛”试题)
15.已知等腰三角形的两边a、b满足 =0,则此等腰三角形的周长为 .


16.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,则∠C的大小是( )
A.20° B.25° C.30° D.45°
17.如图,在等腰直角△ABC中,AD为斜边上的高,以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F,连结EF与AD相交于G,则∠AED与∠AGF的关系为( )
A.∠AED>∠AGF B.∠AED=∠AGF C.∠AED<∠AGF D.不能确定
(“学习报)公开赛试题)
18.如图,直线 、 、 表示三条相交的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
(安徽省中考题)
19.△ABC的三边为a、b、c,且满足 ,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.以上答案都不对
(河南省竞赛题)
20.如图,在△ABC中,AB=AC,P底边BC上一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F.
(1)求证:PD+PE=CF;
(2)若P点在BC的延长线上,那么PD、PE、CF存在什么关系?写出你的猜想并证明.


21.如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过F作FG⊥CD交BE 延长线于G,求证:BG=AF+FG. (重庆市竞赛题)


22.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,O为△ABC内一点,且∠OBC=10°,∠OCA=20°,求 ∠BAO的度数. (天津市竞赛题)


23.如图,等边△ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合,但不与点B重合),过点P作PE⊥BC于E,过点E作EF⊥AC于F,过点F作FQ⊥AB于Q,设BP= x,AQ=y.
(1)用x的代数式表示y;
(2)当PB的长等于多少时,点P与点Q重合?
(福州市中考题)
24.如图,△ABC是边长为l的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120 °的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连结MN,形成一个三角形,求证:△AMN的周长等于2.

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