代数式的化简与求值

编辑: 逍遥路 关键词: 八年级 来源: 高中学习网
第三十三讲 代数式的化简与求值

1.在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明,其中也涉及到它们的化简与求值.本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来,其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容.
2.对于代数式的化简、求值,常用到的技巧有:
(1)因式分解,对所给的条件、所求的代数式实施因式分解,达到化繁为简的目的;
(2)运算律,适当运用运算律,也有助于化简;
(3)换元、配方、待定系数法、倒数法等;
(4)有时 对含有根式的等式两边同时实施平方,也不失为一种有效的方法.
例题求解
【例1】已知 ,求 的值.
思路点拨 由已知得(x-4)2=3,即x2-8x+13=0.所以原式=5.
注 本题使用了整体代换的作法.
【例2】已知:x+ y+x=3a(a ≠0),求: 的值.
思路点 拨 由 得:
解设 , , ,∴
∴原式= (可将 两边平方的得到)
【例3】已知 ,求 的值.
思路点拨 设
∴ ,然后对 和 两种情况进行讨论,原式= 和 .
【例4】已知 , , ,求(1) 的值:(2) 的值.
思路点拨 先由条件求出 ,可得 , .
注 这道题充分体现了三个数的平方和,三个数的立方和,及三个数四次方和的常规用法,这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的.
【例5】 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;乙商场:两次提价的百分率都是 (a>0,b>0);丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,则提价最多的商场是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.不能确定
思路点拨 乙商场两次提价后,价格最高.选B

【例6】 已知非零实数 a、b、c满足 , ,求 的值.
思路点拨 原条件变形为:
∴ 为±1或0.
【例7】(2001年重庆市)阅读下面:
在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时;我机发现,从第一个数开始,以后的每个 数与它的前一个数的差都是一个相同的定值.具有这种规律的一列数,除了直接相加外,我们还可以用公式 计算它们的和.(公式中的n表示数的个数,a表示第一个数的值,d表示这个相差的定值.)
那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21= .
用上面的知识解决下列问题:
为保护长江,减少水土流失,我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林.从1995年起在坡荒地上植树造林,以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地,由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响,都有相同数量的新坡荒地产生,下表 为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据.假 设坡荒地全部种上树后,不再有水土流失形成新的坡荒地,问到哪一年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.
1995年1996年1997年
每年植树的面积(亩)100014001800
植树后坡荒地的实际面积(亩)252002400022400
思路点拨 1996年减少了25200-24000=1200,
1997年减少了24000-22400=1600,

m年减少了1200+400×(m―1996).
1200+1600+…+1200+400(m―1996)=25200.
令n=m―1995,得 , 或 (舍去)
∴ m =1995+n =2004.
∴ 到2004年,可以将坡荒地全部种上树木.
【例8】 ( “信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空 挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有( )
A.1种 B. 2种 C.4种 D.0种
思路点拨 设最后一排有k个人,共有n排,那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,k+2,…,k+(n―1),由题意可知 ,即n=200.因为k,n都是正整数,且n≥3,所以n<2k+(n―1),且n与2k+(n―1)的奇偶性不同.将200分解质因数,可知n=5或n=8.当n=5时,k=l8;当n=8时,k=9.共有两种不同方案.选B



【例9】 (江苏省竞赛初三)有两道算式:
好+好=妙,妙×好好×真好=妙题题妙,
其中每个汉字表示0~9中的一个数字,相同汉字表示相同数字,不同汉字表示不同数字.那么,“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是 .
思路点拨 从加法式得“好”<5,“妙”≠0,因此“好”=1,“妙”=2或“好”=2,“妙”=4或“好”=3,“妙”=6或“好”=4,“妙”=8.显然,中间两种情形不满足乘法式,所以只能是:
(1)“好”=1,“妙”=2,从而乘法式变为
2×11×(真×10+1)=2002+题×110,
即 真×10+1=91+题×5.
上式左边≤91,右边≥91,所以两边都等于91.
由此得“真”=,“题”=0“妙题题妙”=2002.
(2)“好”=4,“妙”=8,乘法式为
8×44×(真×10十4)=8008+题×110.
即704+1760×真=4004十题×55.
在0~9中,只有“真”=2,“题”=4满足上式,但此时“好”与“题”表示 相同的数字,与题意不符.
故四位数“妙题题妙”有唯一解2002.
由2002=2×7×11×13,知2002的所有因数的个数为24=16.
【例9】设 ,,且 .
求 的值.
思路点拨 设 ,显然 ,于是 , , ,代入已知得 ,即 ,
由 , ,可知 , , ,∴ ,原式=1.

学力训练
(A级))
1.当m在可取值范围内取不同的值时,代数式 的最小值是( )
A.0 B.5 C.3 D.9
2.已知:a、b都是负实数,且 ,那么 的值为( )
A. B. C. D.
3.如a、b、c是三个任意整 数,那么 、 、 ( )
A.都不是整数 B.至少有两个整数 C.至少有一个整数 D.都是整数
4.如果 ,那么 的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
5.已知: , , ,且 ,试求 的值.
6.已知 ,那么 的值是多少?
(B级)
1.设等式 在实数范围内成立,其中a、x、y是两两不同的实数,则 的值是( )
A.3 B. C.2 D.
2.已知m>0, n>0,且 ,求 的值.
3.已知 2,试求 的值.
4.已知 , 且x≠y,求 的值.
5.设a、 b、c均不为0,且 , ,求证:a、b、c中至少有一个等于1998.
6. 已知a、b、c为整数,且满足 ,求 的值.


A级

1.B 2.C 3.C 4 .D 5.1 6.20

B级
1.B.2.3 3.4 4.

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