八年级暑假
数学培优提高练习题
一、数与式
典型题目：
1. 计算:（1）
（2）（ ＋ ＋……＋ ）（1＋ ＋ ＋……＋ ）
－（1＋ ＋ ＋……＋ ）（ ＋ ＋……＋ ）
2. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆.
3. 已知 依据上述规律，则 .
4.（1）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6.现将实数对（m，-2m）放入其中，得到实数2，则m = ．
（2）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点 若规定以下三种变换：
按照以上变换有： 那么 等于（ ）
A． B． C． D．
5.（1）化简： ＝_______ ；
(2) 若x2－2y＋6x＋10＋y2=0,则 =__________；
(3)设 ，则 ________.
6.（1）如果式子 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
(2) 已知 ，则 的值为 ( )
A． B． C． D．
(3) 如图，菱形ABCD的对角线长分别为 ，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形 ，然后再以矩形 各边的中点为顶点作菱形 ，……，如此下去．则得到四边形 的面积用含 的代数式表示为__________.
同步练习
一、
1. 若 ( )
A. B.-2 C. D.
2. 已知a－b=b－c= ，a2＋b2＋c2=1则ab＋bc＋ca的值等于（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10… 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）
A．13 = 3+10 B．25 = 9+16
C．36 = 15+21 D．49 = 18+31
4．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如 就是完全对称式.下列三个代数式：① ；② ；③ ．其中是完全对称式的是( )
A．①② B．①③ C． ②③ D．①②③
二、题
5．已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1， ，…，
则CA1= ， .
6．已知 ， ．
7. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示
的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，
…分别在直线 (k＞0)和x轴上，已知
点B1(1，1)，B2(3，2)， 则Bn的坐标是______________．
三、解答题
8. 若４x－３y－６z=0, x+2y－7z=0 (xyz≠0),求代数式 的值.
9.对任意实数x、y，定义运算x y为x y=ax+by+cxy 其中a、b、c为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和．现已知1 2=3，2 3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x,都有x d=x，求d的值．
10.如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O. 以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1……依次类推.
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边
形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积.
二、方程与方程组
典型题目
1．解关于x的方程：
(1)4x+b=ax-8； (2) (3)
2．若关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，求k的值．
3. 符号“ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： ，请你根据上述规定求出下列等式中x的值： ．
4．设a是方程 的一个根，求代数式 的值．
5．求出二元一次方程2x+3y=20的非负整数解．
6．小明计划将今年春节期间得到的压岁钱的一部分作为自己一年内购买课外书籍的费用，其余的钱计划买这些玩具去看望市福利院的孩子们．某周日小明在商店选中了一种小熊玩具，单价是10元，按原计划买了若干个，结果他的压岁钱还余30%，于是小明又多买了6个小熊玩具，这样余下的钱仅是压岁钱的10%．
（1）问小明原计划买几个小熊玩具，小明的压岁钱共有多少元？
（2）为了保证小明购书费用不少于压岁钱的20%，问小明最多可比原计划多买几个玩具？
7．某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；
（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
（3）若一次购物超过500元，其中500元以下部分（包括500元）给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．
小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付多少元？
8．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准．某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
9．为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成．（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；
（2）生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了 ，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？
同步练习
1、若n（ ）是关于x的方程 的根，则m+n的值为__________．
2、已知关于 的方程 的解是正数，则m的取值范围为____________.
3、已知 是方程组 的解，则a+b的值等于 ．
4、若 与 互为相反数，且 ，则 _________．
5、一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的成本为 元.
6、已知方程组 的解x，y，其和x+y=1，则k＝_____
7、篮球巨星姚明在一场比赛中24投14中，拿下28分，其中三分球三投全中，那么姚明两分球投中 球，罚球投中 球.
8、 用换元法解分式方程 时，如果设 ，将原方程化为关于 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
A． B． C． D．
9、一条船顺流航行是逆流航行的速度的3倍，则船在静水中航速与水的流速之比为（ ）
A、3:1 B、2:1 C、1:1 D、5:2
11.方程 的解是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
12．方程4x+y=20的正整数解有（ ）组.
A．2 B.3 C.4 D.5
13．若 ，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
14．两位数的大小恰好等于其个位与十位数字之和的4倍，这样的两位数共有（ ）个
A.3 B.4 C.5 D.6
15.方程 + +…+ =1995的解是( )
A.1995 B.1996 C.1997 D.1998
【能力拓展】
16．已知关于x，y的方程组 与 的解相同，求a，b的值．
17. 已知等腰三角形两边长分别是方程 的两根，求此等腰三角形的周长．
18.通惠新城开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由．
19．已知a,b是方程x2－x－1=0的两个根,求代数式3a2+2b2－3a－2b的值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC、BC方向都以1cm/s的速度匀速移动，几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？
三、不等式与不等式组
同步练习
1、下列四个命题①若a＞b，则a＋1＞b+1；②若a＞b，则a－l＞b －1；③若a＞b，则－2a＜－2b； ④若a＞b，则2a＜2b．其中正确的有 （ ）
A．l个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如果2 、 、1－ 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么 的取值范围是（ ）
A． ＞0B． ＞0.5C． ＜0D．0＜ ＜0.5
3、若不等式组 有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、如图，直线 经过点 和点 ，直线 过点A，则不等式 的解集为 ( )
A． B． C． D．
5、不等式组 的解集是 ．
6、如果不等式组 的解集是 ，那么 的值为 ．
7、已知 ．（1）若 ≤ ≤ ，则 的取值范围是 ．（2）若 ，且 ，则 ．
8、已知关于 的不等式组 只有四个整数解，则实数 的取值范围是 ．
9、已知关于x、y的方程组 的解满足x
11、已知不等式组 的整数解a满足 ，求(x+y)(x2-xy+y2)的值.
12、我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和．
（1）设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．?
水果品种 A B C
每辆汽车运装量（吨） 2.2 2.1 2
每吨水果获利（百元） 6 8 5
（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．
四、一次函数与不等式
一、与选择
1．已知一次函数 ,函数 随着 的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
2．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是 ( ) A．12分钟 B．15分钟C．25分钟 D．27分钟
3．如图，点A、B、C、D在一次函数 的图象上，它们的横坐标依次为-1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积这和是 （ ） A． B． C． D．
4．函数y1=x+1与y2=ax+b的图象如图所示，这两个函数图象如图所示，那么使y1,y2的值都大于零的x的取值范围是
5．若直线y=mx+4，x=l，x=4和x轴围成的直角梯形的面积是7，则m的值是（ ）
A．－12 B．－ 23 C．－32 D．－2
6．如图，在直角坐标系中，已知点 ， ，对△ 连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 ．
7．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 007次，点P依次落在点P1, P2, P3, P4, …，P2 007的位置，则P2 007 的横坐标x2 007＝_ ．
8．已知直线y1=ax+b和y2=mx+n的图象如图所示，
根据图象填空．
⑴ 当x_ _时，y1＞y2；当x___ _时，y1=y2；
当x___ ___时，y1＜y2.
⑵ 方程组 是 .
9．如图，直线 经过 ， 两点，
则不等式 的解集为 .
二、解答题
10.如图，直线y=- x+1分别与X轴，Y轴交于B，A.
（1）求B，A的坐标；
（2）把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在点C，
以BC为一边做等边三角形△BCD,求D点的坐标.
11.如图直线y= x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点P处，求直线AM的解析式.
五．直线型几何综合题
典型题目
1．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程 之间的函数图象大致是（ ）
2．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm( )，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止。
（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为___________形；
（2）设当等腰直角△PMN移动x（s）时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm2）。
① 当x=6时，求y的值；
② 当6＜x≤10时，求y与x的函数关系。
同步练习
1．如图,一艘旅游船从A点驶向C点. 旅游船先从A点沿以D为圆心的弧AB行驶到B点,然后从B点沿直径行驶到圆D上的C点.假如旅游船在整个行驶过程中保持匀速,则下面各图中,能反映旅游船与D点的距离随时间变化的图象大致是（ ）
2．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1）若将
线段 平移至 ，则—2（ ）的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）
（A）（0，0） （B）（ ， ）
（C）（－ ，－ ） （D）（－ ，－ ）
8．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD CD，我们称这样的四边形为“半菱形”。小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”。他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论。
9．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10?，BC=8?。点P从点A出发，以每秒2?的速度沿线段AB方向向点B运动，点Q从点D出发，以每秒3?的速度沿线段DC方向向点C运动。已知动点P、Q同时发，当点P运动到点B时，P、Q运动停止，设运动时间为t。
（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20?2，若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由。
六、函数及一次函数
同步练习
1、一次函数y=2x－2的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y= -x图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）
A．y1>y2 B．y1
第4题图 第5题图
4、如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为 ，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5、如图，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，若 从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中 与矩形 重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（ ）
6、已知关于 、 的一次函数 的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么 的取值范围是 ．
7、如图，正方形 的边长为10，点E在CB的延长线上， ，点P在边CD上运动（C、D两点除外），EP与AB相交于点F，若 ，四边形 的面积为 ，则 关于 的函数关系式是 ．
第8题图 第9题图
8、如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第一象限相交于点 ，与 轴相交于点 轴于点 ， 的面积为1，则 的长为 （保留根号）．
9、如图，已知直线 的解析式为 ，直线 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线 经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线 从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒 （ ）．
（1）求直线 的解析式．
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式．
（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？
七、多边形和平行四边形
同步练习
1、在□ABCD中，∠B＝50°，AB＝5cm，BC＝7cm，则∠D＝ ，□ABCD的周长为 .
2、如图1，□ABCD的周长是28?，△ABC的周长是22?，对角线交于点O，则 OC的长为 cm.
3、如图2，在□ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为 .
4、如图3，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(－2，3)，则点C的坐标为 ( )
A．(－3，2) B．(－2，－3) C．(3，－2) D．(2，－3)
5、在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AD∥BC，AD＝BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OD＝OB
6、如图4，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN,EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1, S2, S3, S4,，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（ ）
A．S1= S4 B．S1+ S4= S2+ S3 C．S1S4= S2S3 D．都不对
7、如图5，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是
A． B．
C．四边形AECD是等腰梯 D．
8、如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB。
(1)试说明：四边形AFCE是平行四边形.
(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
9、已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点(异于B、O、D三点)，过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F.
(1)若点P在线段BD上(如图所示).试说明：AC＝PE＋PF.
(2)若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式.(只写出结论，不作证明)
10、如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上、设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点、
(1)试说明：四边形AECG是平行四边形；
(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长、
11、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4 cm，∠A＝60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .
(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .
① 求S关于t的函数关系式；
② 求S的最大值.
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