式子 ( ≥0)叫二次根式,二次根式的运算是以下列运算法则为基础.
(1) ( ≥0);
(2) ( );
(3) ( );
(4) ( 0).
同类二次根式,有理化是二次根式中重要概念,它们贯穿于二次根式运算的始终,因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,二次根式除法、混合运算常用到有理化概念.
二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的,常常用到有理式运算的方法与技巧,如换元、字母化、拆项相消、分解 相约等.
例题求解
【例1】 已知 ,则 = .
(重庆市竞赛题)
思路点拨 因一个等式中含两个未知量,初看似乎条件不足,不妨从二次根式的定义入手.
注: 二次根式有如下重要性质:
(1) ,说明了 与 、 一样都是非负数;
(2) ( 0),解二次根式问题的途径——通过平方,去掉根号有理化;
(3) ,揭示了与绝对值的内在一致性.
著名数学教育家玻利亚曾说,“回到定义中去”,当我们面对条件较少的问题时,记住玻利亚的忠告,充分运用概念解 题.
【例2】 化简 ,所得的结果为( )
A. B. C. D.
(武汉市选拔赛试题)
思路点拔 待选项不再含根号,从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式.
注 特殊与一般是能相互转化的,而一般化是数学创造的基本形式,数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律.
【例3】计算:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
.
思路点拨 若一开始就把分母有理化,则使计算复杂化,观察每题中分子与分母的数字特点,通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系,以此为解题的突破口.
【例4】 (1)化简 ; (北京市竞赛题)
(2)计算 (“希望杯”邀请赛试题)
(3) 计算 . (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)
思路点拨 (1)把4+2 万与4—2 分别化成一个平方数化简,此外,由于4+2 与4—2 是互为有理化因式,因此原式平方后是一个正整数 ,我们还可以运用这一特点求解;(3)通过配方,可以简化一重根号,解题的关键是就a的取值情况讨论,解决含根号、绝对值符号的综合问题.
【例5】 已知 ,求 的值.
(山东省竞赛题)
思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式,三个未知量,一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.
学历训练
1.如果 ,那么 = .
(四川省竞赛题)
2.已知 ,那么 的值为 . (成都市中考题)
3.计算 = .(天津市选拔赛试题)
4.若 ab≠ 0,则等式 飞成立的条件是 .(淄博市中考题)
5.如果式子 化简的结果为 ,则x的取值范围是( )
A.x≤1 B.x≥2 C.1≤x≤2 D.x >0 (徐州市中考题)
6.如果式子 根号外的因式移入根号内,化简的结果为( )
A. B. C. D.
7.已知 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
8.已知 ,那么 的值等于( )
A. B. C. D.3
9.计算:
(1) ;
(2) ; (北京市数学竞赛题)
(3) ;
(4)
(“希望杯”邀请赛试题)
10.(1)已知 与 的小数部分分别是a和b,求ab-3a+4b+8的值;
(2)设 , ,n为自然数,如果 成立,求n.
11.如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时,接到气象部门通知,一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边 界)均会受到影响.
(1)问:B处是否会受到台风的影响?请说明理由;
(2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物?
(供选用数据: , ) (贵阳市中考题)
12. 已知 , ,那么 = .(T1杯全国 初中数学联赛题)
13.若有理数x、y、z满足 ,则 = .
(北京市竞赛题)
14.设 ,其中a为正整数,b在0,1之间,则 = .
15.正数m、n满足 ,则 = .
(北京市竞赛题)
16.化简 等于( )
A.5—4 B.4 一1 C. 5 D.-1 (全国初中数学联赛题)
17.若 ,则 等于( )
A B . C.1 D.-1
(2004年武汉市选拔赛试题)
18.若 都是有理数,那么 和 面( )
A.都是有理数 B.一个是有理数,另一个是无理数
C.都是无理数 D.有理数还是无理数不能确定
(第13届“希望杯”邀请赛试题)
19.下列三个命题:
①若α,β是互不相等的无理数,则αβ+ α-β是无理数;
②若α,β是互不相等的无理数,则 是无理数;
③若α,β是互不相等的无理数,则 是无理数.
其中正确命题的个数是( )
A. 0 B.1 C.2 D.3 (全国初中数学联赛试题)
20.计算:
(1) ; ( “希望杯”竞赛题)
(2) ; (山东省竞赛题)
(3) ;(四川 省选拔赛题)
(4) ;
(5) . (新加坡中学生数学竞赛题)
21.(1)求证 ;
(2)计算 .(“祖冲之杯”邀请赛试题)
22. (1)定义 ,求 的值;
(2)设x、y都是正整数,且使 ,求y的最大值.
(上海市竞赛题 )
23.试将实数 改写成三个正整数的算术根之和.
(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)
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