第三章 位置与坐标
3.2平面直角坐标系
专题一 与平面直角坐标系有关的规律探究题
1.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点（横纵坐标都为整数的点），其顺序按图中“→”方向排列，如：（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），（4，1），…，观察规律可得，该排列中第100个点的坐标是（　　）.

A.（10,6） B.（12,8） C.（14,6） D.（14,8）
2.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P的坐标是_____________.

3.如图，一粒子在区域直角坐标系内运动，在第1秒内它从原点运动到点B1（0，1），接着由点B1→C1→A1，然后按图中箭头所示方向在x轴，y轴及其平行线上运动，且每秒移动1个单位长度，求该粒子从原点运动到点P（16，44）时所需要的时间．

专题二 坐标与图形
4. 如图所示，A（- ，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP=S△ABC，则a的值为（　　）

A． B． C． D．2
5.如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是____________________________________.

6.如图，在直角坐标系中，△ABC满足，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点A、C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在x轴正半轴上运动时，点C随着在y轴正半轴上运动．
（1）当A点在原点时，求原点O到点B的距离OB；
（2）当OA＝OC时，求原点O到点B的距离OB.

答案：
1．D 【解析】 因为1+2+3+…+13=91，所以第91个点的坐标为（13，0）．因为在第14行点的走向为向上，故第100个点在此行上，横坐标就为14，纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8.故第100个点的坐标为（14，8）．故选D．
2．D 【解析】 根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，∴横坐标为运动次数，经过第2013次运动后，动点P的横坐标为2013，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∴经过第2013次运动后，动点P的纵坐标为：2013÷4=503余1，故纵坐标为四个数中第一个，即为1，
∴经过第2013次运动后，动点P的坐标是：（2013，2），故答案为：（2013，1）．
3．解：设粒子从原点到达An、Bn、Cn时所用的时间分别为an、bn、cn，
则有：a1=3，a2=a1+1，a3=a1+12=a1+3×4，a4=a3+1，a5=a3+20=a3+5×4，a6=a5+1，…,
a2n-1=a2n-3+（2n-1）×4，a2n=a2n-1+1，
∴a2n-1=a1+4[3+5+…+（2n-1）]=4n2-1，a2n=a2n-1+1=4n2，
∴b2n-1=a2n-1-2（2n-1）=4n2-4n+1，b2n=a2n+2×2n=4n2+4n，
c2n-1=b2n-1+（2n-1）=4n2-2n= ，c2n=a2n+2n=4n2+2n=（2n）2+2n，
∴cn=n2+n，X k B 1 . c o
∴粒子到达（16，44）所需时间是到达点C44时所用的时间，再加上44-16=28（s），
所以t=442+447+28=2008（s）．
4．C 【解析】 过P点作PD⊥x轴，垂足为D，
由A（? ，0）、B（0，1），得OA= ，OB=1，
由勾股定理，得AB= =2,
∴S△ABC= ×2× = .
又S△ABP=S△AOB+S梯形BODP?S△ADP= × ×1+ ×（1+a）×3? ×（ +3）×a
= ,
由2S△ABP=S△ABC，得 +3- a= ,∴a= ．故选C．
5.（4，?1）或（?1，3）或（?1，?1） 【解析】 △ABD与△ABC有一条公共边AB，
当点D在AB的下边时，点D有两种情况①坐标是（4，?1）；②坐标为（?1，?1）；
当点D在AB的上边时，坐标为（?1，3）；
点D的坐标是（4，?1）或（?1，3）或（?1，?1）．
6.解：（1）当A点在原点时，AC在y轴上，BC⊥y轴，所以OB=AB= .
（2）当OA=OC时，△OAC是等腰直角三角形,
而AC=4，所以OA=OC= ．
过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，可得 .
又BC=2，所以CD=BD= ,
所以BE=BD+DE=BD+OC= ，又OE=CD= ,所以OB= ．

3.3轴对称与坐标变化
专题 折叠问题
1. 如图，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴．y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D、E 分别在AB、BC边上，BD=BE=1．沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为（　　）

A．（1，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，1）
2. （2012江苏南京）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位长度称为1次变换.如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是（－1，－1）、（－3，－1），把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是 .

3.（2012山东菏泽）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C 在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E 处，求D、E两点的坐标．

答案：
1．B 【解析】 ∵长方OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2），∴CB=3，AB=2，又根据折叠得B′E=BE，B′D=BD，而BD=BE=1，∴CE=2，AD=1，∴B′的坐标为（2，1）．故选B．
2．（16，3） 【解析】 因为经过一次变换后点A的对应点A′的坐标是（0，3），经过两次变换后点A的对应点A′的坐标是（2，－3），经过三次变换后点A的对应点A′的坐标是（4，3），经过四次变换后点A的对应点A′的坐标是（6，－3），可见，经过n次变换后点A的对应点A′的坐标为：当n是偶数时为（2n－2，－3），当n为奇数时（2n－2，3），所以经过连续9次这样的变换后点A的对应点A′的坐标是（2×9－2，3），即（16，3）．故答案为（16，3）．
3．解：由题意，可知，折痕 是四边形 的对称轴，
在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8， ，
∴CE=4 ∴E(4，8)，
在Rt△DCE中， ，
又DE=OD，∴ ，
∴OD=5， ∴D(0，5).

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