2018-2019学年江苏省泰州市兴化市顾庄学区九年级（上）第二次月考数学试卷
　
一.单选题（共10题；共30分）
1．（3分）若实数x、y满足（x+y+3）（x+y?1）=0，则x+y的值为（　　）
A．1 B．?3 C．3或?1 D．?3或1
2．（3分）如图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是（　　）
 
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（3分）圆锥的母线长为5cm，底面半径为4cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．15π B．20π C．25π D．30π
4．（3分）下列语句中，正确的有（　　）
（1）相等的圆心角所对的弧相等；  
（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）长度相等的两条弧是等弧；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（3分）如图，已知点A为⊙O内一点，点B、C均在圆上，∠C=30°，∠A=∠B=45°，线段OA= ?1，则阴影部分的周长为（　　）
 
A．  +2  B．  +2  C．  +  D．  +
6．（3分）已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（　　）
A．该方程无实数解
B．该方程有两个相等的实数解
C．该方程有两个不相等的实数解
D．该方程解的情况不确定
7．（3分）为执行“均衡教育”政策，某县2018年投入教育经费2500万元，预计到2018年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的年平均增长 百分率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．2500（1+x）2=1.2
B．2500（1+x）2=12000
C．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=1.2
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=12000
8．（3分）下列关于 x的方程：①ax2+bx+c=0；②x2+ =6；③x2=0；④x=3x2⑤（x+1）（x?1）=x2+4x中，一元二次方程的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（　　）
A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4
10．（3分）已知关于x的一元二次方程（k?1）x2+3x+k2?1=0有一根为0，则k=（　　）
A．1 B．?1 C．±1 D．0
　
二.填空题（共8题；共24分）
11．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的 小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为　   　．
12．（3分）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是 上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．
（1）若△PDE的周长为10，则PA的长为　   　；
（2）连接CA、CB，若∠P=50°，则∠BCA的度数为　   　度．
 
13．（3分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为　   　．
14．（3分）半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为　   　．
15．（3分）用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为　   　．
16．（3分）正六边形的边长为8cm，则它的面积为　   　cm2．
17．（3分）若（m+1）xm（m+2?1）+2mx?1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是　   　．
18．（3分）用一个圆心角为120°，半径为18cm 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径应等于　   　．
　
三.解答题（共5题；共36分）
19．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= ．求证：CB是⊙O的切线．
 
20．如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为（?2，0）．
（1）求线段AD所在直线的函数表达式；
（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A⇒D⇒C⇒B⇒A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒、求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．
 
21．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD 为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE=3，BC=7，求⊙O的半径长．
 
22．设a，b是方程x2+x?2017=0的两个实数根，求代数式a2+2a+b的值．
23．解方程：
（1）2x2+x?3=0（用公式法）
（2）（x?1）（x+3）=12．
　
四.综合题（10分）
24．（10分）如图，AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：  DF是⊙O的切线；
（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF=1，求AC长．
 
　
 

2018-2019学年江苏省泰州市兴化市顾庄学区九年级（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一.单选题（共10题；共30分）
1．（3分）若实数x、y满足（x+y+3）（x+y?1）=0，则x+y的值为（　　）
A．1 B．?3 C．3或?1 D．?3或1
【解答】解：（x+y+3）（x+y?1）=0，
（x+y）2+2（x+y）?3=0，
（x+y+3）（x+y?1）=0，
x+y+3=0，x+y?1=0，
∴x+y=?3，x+y=1．
故选D．
　
2．（3分）如图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是（　　）
 
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：由OA=OB=OC，得到以O为圆心，OA长为半径的圆经过A，B及C，
∵圆周角∠ACB与圆心角∠AOB都对 ，且∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°．
故选C
 
　
3．（3分）圆锥的母线长为5cm，底面半径为4cm，则 圆锥的侧面积是（　　）
A．15π B．20π C．25π D．30π
【解答】解：圆锥的侧面积=2π×5×4÷2=20π．
故选B．
　
4．（3分）下列语句中，正确的有（　　）
（1）相等的圆心角所对的弧相等；  
（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）长度相等的两条弧是等弧；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误；
（2）平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题 错误；
（3）在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故本小题错误；
（4）每一条直径所在的直线是圆的对称轴．对称轴是直线，而直径是线段，故本小题错误．
故选A．
　
5．（3分）如图，已知点A为⊙O内一点，点B、C均在圆上，∠C=30°，∠A=∠B=45°，线段OA= ?1，则阴影部分的周长为（　　）
 
A．  +2  B．  +2  C．  +  D．  +
【解答】解：延长AO交BC于点D，连接OB．
∵∠A=∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∴BD=CD．
在Rt△COD中，设OD=x，
∵∠C=30°，
∴∠COD=60°，OC=2x，CD= x．
∴∠COB=120°，AD= x．
∴OA=AD?OD= x?x=（ ?1）x．
而OA= ?1，
∴x=1，即OD=1，OC=2，BC=2CD=2 ．
∴阴影部分的周长为：  +2 = +2 ．
故选：A．
 
　
6．（3分）已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（　　）
A．该方程无实数解
B．该方程有两个相等的实数解
C．该方程有两个不相等的实数解
D．该方程解的情况不确定
【解答】解：∵a=1，b=3，c=2，
∴△=b2?4ac=32?4×1×2=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选C．
　
7．（3分）为执行“均衡教育”政策，某县2018年投入教育经费2500万元，预计到2018年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的年平均增长 百分率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．2500（ 1+x）2=1.2
B．2500（1+x）2=12000
C．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=1.2
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=12000
【解答】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，
由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2=12000．
故选D．
　
8．（3分）下列关于 x的方程：①ax2+bx+c=0；②x2+ =6；③x2=0；④x=3x2⑤（x+1）（x?1）=x2+4x中，一元二次方程的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程；②x2+ =6是分式方程；③x2=0是一元二次方程；④x=3x2是一元二次方程⑤（x+1）（x?1）=x2+4x，整理后不含x的二次项，不是一元二次方程．
故选：B．
　
9．（3分）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（　　）
A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4
【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有
10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，
故选D．
　
10．（3分）已知关于x的一元二次方程（k?1）x2+3x+k2?1=0有一根为0，则k=（　　）
A．1 B．?1 C．±1 D．0
【解答】解：把x=0代入一元二次方程（k?1）x2+3x+k2?1=0，
得k2?1=0，
解得k=?1或1；
又k?1≠0，
即k≠1；
所以k=?1．
故选B．
　
二.填空题（共8题；共24分）
11．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为　9　．
【解答】解：设 每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1=91，
解得：x=9或x=?10（不合题意，应舍去）；
∴x=9；
故答案为：9
　
12．（3分）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是 上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．
（1）若△P DE的周长为10，则PA的长为　5　；
（2）连接CA、CB，若∠P=50°，则∠BCA的度数为　115　度．
 
【解答】解：（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∴C△PDE =PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10；
∴PA=PB=5；

（2）连接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一点F，连接AF、BF，
∵PA、PB分别切⊙O 于A、B；
∴∠PAO=∠PRO=90°
∴∠AOB=360°?90 °?90°?50°=130°；
∴∠AFB= ∠AOB=65°，
∵∠AFB+∠BCA=180°
∴∠BCA=180°?65°=115°；
故答案是：5，115°．
 
　
13．（3分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为　3π　．
【解答】解：L= = =3π．
故答案为：3π．
　
14．（3分）半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为　12 　．
【解答】解：如图，
∵OD=CD=6，
∴由勾股定理得AD=6 ，
∴由垂径定理得AB=12 ，
故答案为：12 ．
 
　
15．（3分）用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为　2　．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为R，
由题意：2πR= ，
解得R=2．
故答案为2．
　
16．（3分）正六边形的边长为8cm，则它的面积为　96 　cm2．
【解答】解：如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；
∵此多边形是正六边形，
∴∠COD= =60°；
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OE=CE•tan60°= ×  =4 cm，
∴S△OCD= CD•OE= ×8×4 =16 cm2．
∴S正六边形=6S△OCD=6×16 =96 cm2．
 
　
17．（3分）若（m+1）xm（m+2?1）+2mx?1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是　?2或1　．
【解答】解：根据题意得， ，由（1）得，m=1或m=?2；
由（2）得，m≠?1；可见，m=1或m=?2均符合题意．
　
18．（3分）用一个圆心角为120°，半径为18cm 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径应等于　6cm　．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，
根据题意得2πr= ，
解得r=6．
故答案为：6cm．
　
三.解答题（共5题；共36分）
19．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= ．求证：CB是⊙O的切线．
 
【解答】证明：∵AB=AD，OB=OD，
∴AO是线段BD的垂直平分线，
∴AE⊥BD于点E，
∵OC=5，OB=3，且cos∠BOE= ，
∴OE=OB•cos∠BOE=3× = ，
∴BE= ，
∴CE=OC?OE=5? = ，
∴BC= =4，
∵OB=3，OC=5，
∴OB2+BC2=32+42=52=OC2，
∴△OBC是直角三角形，∠OBC=90°，
∴CB是⊙O的切线．
　
20．如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为（?2，0）．
（1）求线段AD所在直线的函数表达式；
（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度， 按 照A⇒D⇒C⇒B⇒A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒、求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．
 
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（?2，0），∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OA•tan60°= ，
∴点D的坐标为（0， ），（1分）
设直线AD的函数表达式为y=kx+b， ，
解得 ．
∴直线AD的函数表达式为 ．（3分）

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，（5分）
如图所示：
①点P在AD上与AC相切时，
连接P1E，则P1E⊥AC，P1E=r，
∵∠1=30°，
∴AP1=2r=2，
∴t1=2．（6分）
②点P在DC上与AC相切时，
CP2=2r=2，
∴AD+DP2=6，
∴t2=6．（7分）
③点P在BC上与AC相切时，
CP3=2r=2，
∴AD+DC+CP3=10，
∴t3=10．（8分）
④点P在AB上与AC相切时，
AP4=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP4=14，
∴t4=14，
∴当t=2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．（9分）
 
　
21．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE=3，BC=7，求⊙O的半径长．
 
【解答】（1）证明：连接OB、OE，如图所示：
在△ABO和△EBO中，
 ，
∴△ABO≌△EBO（SSS），
∴∠BAO=∠BEO，
∵⊙O与边BC切于点E，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO=∠BAO=90°，
即AB⊥AD，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BE=3，BC=7，
∴AB=BE=3，CE=4，
∵AB⊥AD，
∴AC= ，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC=∠BAC=90°，
∠ECO=∠ACB，
∴△CEO∽△CAB，
∴ ，
即，
解得：OE= ，
∴⊙O的半径长为
 
　
22．设a，b是方程x2+x?2017=0的两个实数根，求代数式a2+2a+b的值．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x?2017=0的两个实数根，
∴a2+a?2017=0，即a2+a=2017，a+b=?1，
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2017?1=2018．
　
23．解方程：
（1）2x2+x?3=0（用公式法）
（2）（x ?1）（x+3）=12．
【解答】解：（1）a=2，b=1，c=?3，
△=b2?4ac=1?4×2×（?3）=25＞0，
x= = ，
x1=1，x2=? ；
（2）方程化简，得
x2+2x?15=0，
因式分解，得
（x+5）（x?3）=0，
于是，得
x+5=0或x?3=0，
解得x1=?5，x2=3．
　
四.综合题（10分）
24．（10分）如图，AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF=1，求AC长．
 
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
则DF为圆O的切线；

（2）解：连接OG，
∵AC与 圆O相切，
∴OG⊥AC，
∴∠OGF=∠GFD=∠ODF=90°，且OG=OD，
∴四边形ODFG为边长为3的正方形，
设AB=AC=x，则有AG=x?3?1=x?4，AO=x?3，
在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2=AG2+OG2，即（x?3）2=（x?4）2+32，
解得：x=8，
则AC=8．

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