第23章 一元二次方程检测题
（时间：90分钟，满分：100分）
一、（每小题3分，共30分）
1．下面关于 的方程中：① ；② ；③ ；
④（ ） ；⑤ = -1．一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.方程 的根是（ ）
A. B. C. D.
3．要使方程 + 是关于 的一元二次方程，则（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
4．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于 的一元二次方程 有实数根，则（ ）
A． B． C． D．
6．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（ ）
A．500元 B．400元 C．300元 D．200元
7．利华机械厂四月份生产零件 万个，若五、六月份平均每月的增长率是 ，则 第二季度共生产零件（ ）
A．100万个 B．160万个 C．180万个 D．182万个
8.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 ，则平均每次降价（ ）
A． B． C． D．
9.关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．已知 分别是三角形的三边，则方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
二、题（每小题3分，共24分）
1 1．若 是关于 的一元二次方程，则不等式 的解集是________．
12．已知关于 的方程 的一个根是 ，则 _______．
13．若 ，则 ________．
14．若（ 是关于 的一元二次方程，则 的值是________．
15．若 且 ， 则一元二次方程 必有一个定根，它是_______．
16．若矩形的长是 ，宽为 ，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．
17．若两 个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．
18．关于 的一元二次方程 的一个根为1，则方程的另一根为 .
三、解答题（共46分）
19.（6分）在实数范围内定义运算“ ”，其法则为： ，求方程（4 3） 的解．
20 .（6分）求证：关于 的方 程 有两个不相等的实数根．
21．（6分）在长为 ，宽为 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去的小正方形的边长.
22．（6分）若方程 的两根是 和 ，方程 的正根是 ，试判断以 为边长的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．
2 3.（6分）已知关于 的方程（ 的两根之和为 ，两根之差为1，其中 是△ 的三边长．
（1）求方程的根；（2）试判断△ 的形状．
24．（8分）某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元.经市场预测，该产品销售价第一个月将降低 ，第二个月比第一个月提高 ，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之 几？
25．（8分）李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程 千米， 应收 元”．该城市的出租车收费标准按下表计算，请 求出起步价 是多少元．
里程（千米）
价格（元）
第23章 一元二次方程检测题参考答案
1．B 解析：方程①与 的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为 ．不论 取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程，也可排除，故一元二次方程仅有2个．
2．C
3．B 解析：由 ，得 ．
4．C 解析：根据方程的特点，可考虑用换元法求值，设 ，原式可化为
，解得 ，
5.D 解析：把原方程移项， ．由于实数的平方均为非负数，故 ，
则 ．
6.C 解析：设商品的原价是 元，则 ．解得 ．
7.D 解析：五月份生产零件 （万个），六月份生产零件 万个）， 所以第二季度共生产零件 （万个），故选D．
8.A 解析：设平均每次降价 由题意得， 所以 所以 所以平均每次降价
9.A 解析：因为 有两个不相等的实数根.
10.A 解析：因为 又因为 分别是三角形的三边，所以 所以 所以方
程没有实数根.
11． 解析：由 的一元二次方程，所以 ．
12．± 解析：把 代入方程，得 ，则 ，所以 ．
13．14 解析：由 ，得 ．两边同时平方，得 ，即
，所以 ．注意整体代入思想的运用．
14． 解析：由 得 或 ．
15．1 解析：由 ，得 ，原方程可化为 ，
解得 ．所以一元二次方程 的一个定根为1.
16． 解析：设正方形的边长为 ，则 ，解得 ，由于边长不能为负，故 舍去，故正方形的边长为 ．
17. 解析：设其中的一个偶数为 ，则 ．解得 则另一个偶数为 ．所以这两数的和是 ．
18. 解析：把 代入 化为
19.解：∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ．∴ ．
20.证明：∵ 恒成立，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
21．解：设小正方形的边长为 .
由题意得， ，整理得 解得
所以截去的小正方形的边长为 .
22．解：解方程 ，得 ．
方程 的两根是 ．
所以 的值分别是 ．
因为 ，所以以 为边长的三角形不存在．
点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再根据三角形的三边关系来判断以 为边长的三角形是否存在．
23．解：（1）设方程的两根为 ，则
解得
（2）当 时， ，所以 .
当 时,
所以 ，所以 ，
所以△ 为等边三角形．
24．解：设该产品的成本价平均每月应降低 ．
,
整理，得 ，
解得 （舍去）， ．
答：该产品的成本价平均每月应降低 ．
25．解：依题意， ，
整理，得 ，解得 ，
由于 ，所以 舍去，所以 ．
答：起步价是10元．
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