第二十六章 反比例函数
26．1 反比例函数
26．1.1 反比例函数
01 基础题
知识点1 在实际问题中建立反比例函数模型
1．下列选项中，能写成反比例函数的是(D)
A．人的体重与身高
B．正三角形的边长与面积
C．速度一定，路程与时间的关系
D．销售总价不变，销售单价与销售数量的关系
2．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：小时)关于行驶速度v(单位：千米/小时)的函数关系是(B)
A．t＝20v B．t＝20v C．t＝v20 D．t＝10v
3．已知近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例[即y＝kx(k≠0)]，若200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m，则y与x 之间的函数解析式是y＝100x.
知识点2 反比例函数的定义
4．下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是(C)
A．y＝3x B．y＝3x＋1
C．y＝3x D．y＝3x2
5．反比例函数y＝－25x中，k的值是(C)
A．2 B．－2
C．－25 D．－52
6．函数y＝－3x－1的自变量的取值范围是x≠1．
7．已知反比例函数y＝6x，则当自变量x＝－2时，函数值是y＝－3．
知识点3 确定反比例函数解析式
8．已知y与x成反比例，且当x＝3时，y＝7.求：
(1)y与x之间的函数解析式；
(2)当x＝13时，求y的值；
(3)当y＝3时，求x的值．
解：(1)∵y与x成反比例，
∴可设y＝kx(k≠0)．
∴7＝k3，即k＝21.
∴y与x的函数解析式为y＝21x.
(2)当x＝13时，y＝2113＝63.
(3)当y＝3时，3＝21x，解得x＝7.
02 中档题
9．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是(C)
A．y＝8x＋5 B．y＝3x＋7
C．xy＝5 D．y＝2x2
10．在物理学中，压力F、压强p与受力面积S的关系是p＝FS，则下列描述中正确的是(D)
A．当压力F一定时，压强p是受力面积S的正比例函数
B．当压强p一定时，压力F是受力面积S的反比例函数
C．当受力面积S一定时，压强p是压力F的反比例函数
D．当压力F一定时，压强p是受力面积S的反比例函数
11．(保定章末测试)把一个长、宽、高分别为3 cm、2 cm、1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数解析式为S＝6h．
12．若y＝(m－1)xm2－2是y关于x的反比例函数关系式，则m＝－1，此函数的解析式是y＝－2x．
13．(1)当n取多少时，函数y＝－3xn－2是正比例函数？
(2)当n取多少时，函数y＝－3xn－2是反比例函数？
(3)当n取多少时，函数y＝－3xn－2是二次函数？
解：(1)n＝3.
(2)n＝1.
(3)n＝4.
14．已知y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一部分值：
x －3 －2 －1 －12
12
1 2 3
y 23
1 2 4 －4 －2 －1 －23
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)根据函数解析式完成上表．
解：(1)设y＝kx.由表知，当x＝－1时，y＝2.
∴2＝k－1.解得k＝－2.
∴y＝－2x.
(2)如表．
15．设面积为20 cm2的平行四边形的一边长为a cm，这条边上的高为h cm.
(1)求h关于a的函数解析式及自变量a的取值范围；
(2)h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数；
(3)当a＝25时，求这条边上的高h.
解：(1)h＝20a(a>0)．
(2)是反比例函数，它的比例系数是20.
(3)当a＝25时，这条边上的高h＝2025＝45(cm)．
03 综合题
16．已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当x＝4时，求y的值．
解：(1)设y1＝k1x ，y2＝k2x，
则y＝y1＋y2＝k1x＋k2x.
∵当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5，
∴4＝k1＋k2，5＝2k1＋k22.解得k1＝2，k2＝2.
∴y＝2x＋2x.
(2)当x＝4时，y＝2×4＋24＝812.
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
01 基础题
知识点1 反比例函数y＝kx(k＞0)的图象和性质
1．当x＜0时，下列表示函数y＝1x的图象的是(D)
2．(邯郸武安期末)反比例函数y＝kx的图象经过点(－1，－2)，则该反比例函数的图象位于(B)
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．对于反比例函数y＝3x，下列说法中正确的是(C)
A．随自变量x的增大，函数值y也增大
B．它的图象与x轴能够相交
C．它的两支曲线与y轴都不相交
D．点(1，3)与(－1，3)都在函数的图象上
4．(遵义中考)已知反比例函数y＝kx(k>0)的图象经过点A(1，a)，B(3，b)，则a与b的关系正确的是(D)
A．a＝b B．a＝－b
C．a<b D．a>b
5．已知反比例函数y＝1－mx的图象如图所示，则m的取值范围是m＜1.
6．(成都中考)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点都在反比例函数y＝2x的图象上，且x1<x2<0，则y1>y2(填“>”或“<”)．
知识点2 反比例函数y＝kx(k＜0)的图象和性质
7．对于函数y＝－3x，当x＜0时，函数图象位于(B)
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．(唐山玉田县期末)对于函数y＝－2x，下列结论错误的是(C)
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．x＝1时的函数值大于x＝－1时的函数值
D．在函数图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大
9．(石家庄模拟)在反比例函数y＝1－3mx图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＜x2＜0，y1＜y2，则m的取值范围是(A)
A．m＞13 B．m＜13
C．m≥13 D．m≤13
10．(山西中考)已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝mx(m<0)图象上的两点，则y1>y2.(填“>”“＝”或“<”)
11．如图，已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点A(－2，8)．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)若(2，y1)，(4，y2)是这个反比例函数图象上的 两个点，请比较y1，y2的大小，并说明理由．
解：(1)y＝－16x.
(2)y1＜y2.理由：
∵k＝－16＜0，
∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大．
又∵点(2，y1)，(4，y2)都在第四象限，且2＜4，
∴y1＜y2.
02 中档题
12．(唐山一模)如图，反比例函数y＝kx的图象可能是(D)
13．(河北中考)反比例函数y＝mx的图象如图所示，以下结论：①常数m<－1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A(－1，h)，B(2，k)在函数图象上，则h<k；④若P(x，y)在函数图象上，则P′(－x，－y)也在函数图象上．其中正确的是(C)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
14．如图是三个反比例函数图象的分支，则k1，k2，k3的大小关系是k1＜k3＜k2.
15．点(a－1，y1)、(a＋1，y2)在反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则a的取值范围是－1＜a＜1．
解析：∵k＞0，∴反比例函数y＝kx的图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．又∵a－1＜a＋1且y1＜y2，
∴点(a－1，y1)位于第三象限，点(a＋1，y2)位于第一象限．
∴a－1＜0，a＋1＞0.
∴－1＜a＜1.
16．(唐山玉田县期末)已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－k＋2)．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)若(a，y1)，(a＋1，y2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小，并说明理由．
解：(1)∵反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－k＋2)，
∴－k＋2＝k1，解得k＝1.
∴这个反比例函数的解析式是y＝1x.
(2)①当a＞0时，则a＜a＋1，
∵反比例函数y＝1x的图象在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴y1>y2.
②当－1＜a＜0时，则a＋1＞0，由图象知y1<y2.
③当a＜－1时，则a＜a＋1，
∵反比例函数y＝1x的图象在第三象限内，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2.
综上所述，当a>0或a<－1时，y1>y2；
当－1<a<0时，y1<y2.
03 综合题
17．(威海中考改编)已知反比例函数y＝1－2mx(m为常数)的图象在第一、三象限．
(1)求m的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)，求出该反比例函数的解析式；
(3)若E(x1，y1)，F(x2，y2)都在该反比例函数的图象上，且x1>x2>0，那么y1和y2有怎样的大小关系？
解：(1)根据题意，得1－2m＞0，解得m＜12.
(2)∵四边形ABOD为平行四边形，
∴AD∥OB，AD＝OB＝2.
∴D点坐标为(2，3)．
∴1－2m＝2×3＝6.
∴该反比例函数的解析式为y＝6x.
(3)∵x1>x2>0，
∴E，F两点都在第一象限．
又∵在每一个象限内，函数值y随x的增大而减小，
∴y1＜y2.
第2课时 反 比例函数的性质的综合应用
01 基础题
知识点1 用待定系数法求反比例函数的解析式
1．(哈尔滨中考)点(2，－4)在反比例函数y＝kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(D)
A．(2，4) B．(－1，－8)
C．(－2，－4) D．(4，－2)
2．图象经过点A(－2，－4)的反比例函数的解析式为y＝8x．
知识点2 反比例函数中k的几何意义
3．(唐 山丰滦区一模)如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝kx的图象过点A，则k的值是(D)
A．2 B．－2 C．4 D．－4
4．(河南中考)如图，过反比例函数y＝kx(x＞0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为(C)
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，A，C是函数y＝1x的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，连接OA，OC，设Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则(C)
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．S1和S2的大小关系不能确定
知识点3 函数的综合运用
6．(邯郸武安期末)在同一坐标系中，函数y＝kx和y＝kx＋1(k＞0)的图象大致是(A)
7．若双曲线y＝kx与直线y＝2x＋1的一个交点的横坐标为－1，则k的值为(B)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
8．(广安中考)如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)和反比例函数y2＝mx(m≠0)的图象交于点A(－1，6)，B(a，－2)．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出y1>y2时，x的取值范围．
解：(1)把点A(－1，6)代入反比例函数y2＝mx(m≠0)，得m＝－1×6＝－6，∴y2＝－6x.
将B(a，－2)代入y2＝－6x，得－2＝－6a，解得a＝3，
∴B(3，－2)．
将A(－1，6)，B(3，－2)代入一次函数y1＝kx＋b，得
－k＋b＝6，3k＋b＝－2.∴k＝－2，b＝4.
∴y1＝－2x＋4.
(2)x<－1或0<x<3.
02 中档题
9．定义新运算：a?b＝a－1（a≤b），－ab（a＞b且b≠0）.则函数y＝3?x的图象大致是(B)
10．正方形ABCD的顶点A(2，2)，B(－2，2)，C(－2，－2)，反比例函数y＝2x 与y＝－2x的图象均与正方形ABCD的边相交，如图，则图中的阴影部分的面积是(C)
A．2 B．4 C．8 D．6
11．(青岛中考)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A(－1，－4)，B(2，2)两点，P为反比例函数y＝kbx图象上的一个动点，O为坐标原点，过P作y轴的垂线，垂足为C，则△PCO的面积为(A)
A．2 B．4 C．8 D．不确定
12．双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1＝4x，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝1，则y2的解析式是y2＝6x．
13．如图，直线y＝12x＋2与双曲线y＝kx相交于点A(m，3)，与x轴交于点C.
(1)求双曲线解析式；
(2)点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．
解：(1)把A(m，3)代入直线解析式，得3＝12m＋2，解得m＝2，∴A(2，3)．
把A(2，3)代入y＝kx，得k＝6，∴双曲线解析式为y＝6x.
(2)对于直线y＝12x＋2，令y＝0，得到x＝－4，
∴C(－4，0)．
设P(x，0)，可得PC＝|x＋4|，∵△ACP面积为3，
∴12|x＋4|•3＝3，即|x＋4|＝2.
解得x＝－2或x＝－6.
∴点P坐标为(－2，0)或(－6，0)．
14．(广州中考)已知反比例函数y＝m－7x的图象的一支位于第一象限．
(1)判断该函数图象的 另一支所在的象限，并求m的取值范围；
(2)如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
解：(1)∵该函数图象的一支位于第一象限，
∴该函数图象的另一支位于第三象限．
∴m－7＞0，即m>7.
∴m的取值范围是m＞7.
(2)设点A的坐标为(x，y)．
∵点B与点A关于x轴对称，
∴B点坐标为(x，－y)．
∴AB的距离为2y.
∵S△OAB＝6，
∴12•2y•x＝6.∴xy＝6.
∵y＝m－7x，∴xy＝m－7.
∴m－7＝6.∴m＝13.
03 综合题
15．(石家庄四十二中一模)如图，已知A(－4，12)，B(－1，2)是一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝mx(m＜0)图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D.
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
(2)求一次函数解析式及m的值；
(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求P点坐标．
解：(1)当－4＜x＜－1时，一次函数大于反比例函数的值．
(2)把A(－4，12)，B(－1，2)代入y＝kx＋b，得
－4k＋b＝12，－k＋b＝2.解得k＝12，b＝52.
∴一次函数解析式为y＝12x＋52.
把B(－1，2)代入y＝mx，得m＝－1×2＝－2.
(3)设P点坐标为(t，12t＋52)．
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴12×12•(t＋4)＝12×1•(2－12t－52)，解得t＝－52.
则12t＋52＝54.
∴P点坐标为(－52，54)．
26.2 实际问题与反比例函数
01 基础题
知识点 反比例函数的实际应用
1．(河北中考)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20，则y与x的函数图象大致是(C)
2．(广州中考)一司机驾驶汽车从甲地开往乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是(B)
A．v＝320t B．v＝320t
C．v＝20t D．v＝20t
3．(保定莲池区模拟)2018年河北体育中考中，男生将进行1 000米跑步测试，王亮跑步速度v(米/分)与测试时间t(分)的函数图象是(C)
4．某家庭用购电卡购买了2 000度电，若此家庭平均每天的用电量为x(单位：度 )，这2 000度电能够使用的天数为y(单位：天)，则y与x的函数解析式为y＝2 000x．
5．实验表明，当导线的长度一定时，导线的电阻与它的横截面积成反比例．一条长为100 cm的导线的电阻R(Ω)与它的横截面积S(cm2)的函数图象如图所示，那么，其函数解析式为R＝29S，当S＝2 cm2时，R＝_14.5Ω.
6．如图所示是一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数关系图象，若要5小时排完水池中的水，则每小时的排水量应为9.6m3.
7．(德州中考)某中学组织学生参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天
售价x(元/双) 150 200 250 300
销售量y(双) 40 30 24 20
(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数解析式；
(2)若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为多少元？
解：(1)由表中数据可得：xy＝6 000，∴y＝6 000x.
∴y是x的反比例函数，其函数关系式为y＝6 000x.
(2)由题意得：(x－120)y＝3 000，将y＝6 000x代入，得(x－120)•6 000x＝3 000，
解得x＝240.
经检验x＝240是原方程的解．
答：若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为240元．
02 中档题
8．(海南中考)某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y(单位：公顷/人)与总人口x(单位：人)的函数图象如图所示，则下列说法正确的是(D)
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷/人，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷/人
9．某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全，气体的体积应该(C)
A．不大于54 m3 B．小于54 m3 C．不小于45 m3 D．小于45 m3
解析：设球内气体的气压p(kPa)和气体体积V(m3)的解析式为p＝kV，∵图象过点(1.6，60)，∴k＝96，即p＝96V.当p≤120时，V＝96p≥45.故选C.
10．物理学告诉我们这样的事实：当压力F不变时，压强p和受力面积S之间是反比例函数，可以表示成p＝FS.一个圆台形物体的上底面积是下底面积的23，如图，如果正放在桌面上，对桌面的压强是200 Pa，反过来放，对桌面的压强是300_Pa．
11．(邢台临城县一模)如图所示，墙MN长为12 m，要利用这面墙围一个矩形小院，面积为60 m2，现有建材能建围墙总长至多26 m，设AB＝x m，BC＝y m.
(1)写出y与x之间的函数解析式；
(2)要求x和y都取整数，且小院的长宽比尽可能的小，x应取何值？
解：(1)y＝60x.
(2)∵y＝60x，x，y都是整数，且2x＋y≤26，0＜y≤12.
∴120y＋y≤26，且0＜y≤12.
∴y的值只能取6，10，12，对应的x的值依次是10，6，5.
则符合条件的建设方案只有BC＝6 cm，AB＝10 cm；BC＝10 cm，AB＝6 cm；BC＝12 cm，DC＝5 cm.
∵610＜106＜125，∴x＝10.
03 综合题
12．(丽水中考)丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售．记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/时(汽车行驶速度不超过100千米/时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v(千米/时) 75 80 85 90 95
t(小时) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
(1)根据表中的数据，求出平均速度v(千米/时)关于行驶时间t(小时)的函数解析式；
(2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市？请说明理由；
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
解：(1)根据表中的数据，可画出v关于t的函数图象(如图所示)，
根据图象形状，选择反比例函数模型进行尝试．设v与t的函数解析式为v＝kt，
∵当v＝75时，t＝4，∴k＝4×75＝300.∴v＝300t.
将点(3.75，80)，(3.53，85)，(3.33，90)，(3.16，95)的坐标代入v＝300t验证：
30080＝3.75，30085≈3.53，30090≈3.33，30095≈3.16，
∴v与t的函数关系式为v＝300t(t≥3)．
(2)不能．理由：∵10－7.5＝2.5，
∴当t＝2.5时，v＝3002.5＝120>100.
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．
(3)由图象或反比例函数的性质得：当3.5≤t≤4时，75≤v≤6007.
周周练(26.1～26.2)
(时间：40分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列函数中是反比例函数的是(B)
A．y＝x2 B．y＝－5x C．y＝x2 D．y＝2x＋1
2．已知y＝8xn－2，若y是x的反比例函数，则n＝(A)
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0
3．(邢台临城县一模)现有一水塔，内装水20 m3，若匀速放水x m3/h，则需要y h才能把水放完，那么表示y与x之间函数关系的图象是(C)
4．在反比例函数y＝1－kx的图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是(D)
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．若y与1x成反比例，x与1z成正比例，则y是z的(B)
A．正比例函数 B．反比例函数
C．一次函数 D．以上均不对
6．(x疆中考)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝kx(k≠0) 图象上的两个点，当x1<x2<0时，y1>y2，那么一次函数y＝kx－k的图象不经过(B)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．在y＝1x的图象中，阴影部分面积不为1的是(B)
8．(大庆中考)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函数y＝2x上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是(A)
A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0
C．x2•x3＜0 D．x1＋x2＜0
解析：∵反比例函数y＝2x中，2＞0，
∴图象在第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，
∴点A，B在第三象限，点C在第一象限．
∴x1＜x2＜0＜x3.∴x1•x2>0，故选A.
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(菏泽中考)已知A(－1，m)与B(2，m－3)是反比例函数y＝kx图象上的两个点，则m的值为2．
10．(石家庄四十二中一模)已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，(23，32)，(－5，－15)，从中随机选取一个点，在反比例函数y＝1x图象上的概率是12．
11．(福建中考)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y＝1x的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为7.5．
12．若反比例函数y＝kx(k<0)的图象经过点P(2，m)，Q(1，n)，则m与n的大小关系是：m＞n.(填“>”“＝”或“<”)
13．(南京中考)函数y1＝x与y2＝4x的图象如图所示，下列关于函数y＝y1＋y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号是①③．
14．(甘南中考)如图，点A在双曲线y＝1x上，点B在双曲线y＝3x上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为2．
三、解答题(共44分)
15．(10分)湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2 000平方米的长方形鱼塘．
(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数解析式；
(2)由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为多少米？
解：(1)由长方形面积为2 000平方米，得到xy＝2 000，即y＝2 000x.
(2)当x＝20时，y＝2 00020＝100.
即当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．
16．(10分)已知反比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝3x＋m的图象相交于点(1，5)．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求这两个函数图象的另一个交点的坐标．
解：(1)由题意，得5＝k1，5＝3×1＋m，
解得k＝5，m＝2.
∴y＝5x，y＝3x＋2.
(2)联立y＝5x，y＝3x＋2，解得x＝－53，y＝－3或x＝1，y＝5.
∴这两个函数图象的另一个交点的坐标是(－53，－3)．
17．(12分)某蓄水池的排水管每小时排水12 m3，8 h可将满池水全部排空．
(1)蓄水池的容积是多少？
(2)如果增加排水管，使每小时的排水量达到x(m3)，那么将满池水排空所需的时间y(h)将如何变化？
(3)写出y与x之间的函数解析式；
(4)如果准备在6 h内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
(5)已知排水管每小时的最大排水量为24 m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空？
解：(1)12×8＝96(m3)．
(2)将满池水排空所需的时间y(h)将减小．
(3)y＝96x.
(4)由题意得6＝96x，解得x＝16.
∴每小时的排水量至少为16 m3.
(5)9624＝4(h)．
∴最少4 h可将满池水全部排空．
18．(12分)(承德六校一模)如图，点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)都在反比例函数y＝kx的图象上．
(1)求m，k的值；
(2)求直线AB的函数解析式；
(3)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M，N的坐标．
解：(1)∵点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)都在反比例函数y＝kx的图象上，
∴k＝m(m＋1)＝(m＋3)(m－1)．
∴m2＋m＝m2＋2m－3.解得m＝3.
∴k＝3×(3＋1)＝12.
(2)∵m＝3，∴A(3，4)，B(6，2)．
设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则
4＝3k＋b，2＝6k＋b，解得k＝－23，b＝6.
∴直线AB的解析式为y＝－23x＋6.
(3)如图，作AM⊥x轴于M，作BN⊥y轴于N，两线交于P.
由(1)知，A(3，4)，B(6，2)，
∴AP＝PM＝2，BP＝PN＝3.
∴M(3，0)，N(0，2)．
∵四边形ANMB是平行四边形，
当M(－3，0)，N(0，－2)时，根据勾股定理能求出AM＝BN，AB＝MN，
即四边形AMNB是平行四边形，
∴M(－3，0)，N(0，－2)．
综上所述，M(3，0)，N(0，2)或M(－3，0)，(0，－2)．
小专题(一) 反比例函数与其他函数的综合运用
题组训练一 反比例函数与其他函数的“友好会晤”
类型1 反比例函数与一次函数
1．(唐山路南区一模)如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝k－1x的图象不可能是(D)
2．(长沙模拟)一次函数y＝kx＋1的图象如图，则反比例函数y＝kx(x＜0)的图象只能是(C)
类型2 反比例函数与二次函数
3．(广州中考)已知a≠0，函数y＝ax与y＝－ax2＋a在同一直角坐标系中的大致图象可能是(D)
4．(唐山路北区二模)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)．它与反比例函数y＝－8x的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为(A)
A．y＝x2－x－2 B．y＝x2－x＋2
C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2＋x＋2
5．(河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是(D)
类型3 反比例函数、一次函数与二次函数
6．(安徽中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1.则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是(B)
7．(菏泽中考)一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝cx在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(A)
8．(石家庄四十二中一模)如图1、2、3所示，阴影部分面积的大小关系正确的是(C)
A．①＞②＞③ B．③＞②＞①
C．②＞③＞① D．①＝②＝③
题组训练二 反比例函数与一次函数的综合运用
类型1 求自变量的取值范围
1．(自贡中考)一次函数y1＝k1x＋b和反比例函数y2＝k2x(k1•k2≠0)的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是(D)
A．－2＜x＜0或x＞1 B．－2＜x＜1
C．x＜－2或x＞1 D．x＜－2或0＜x＜1
2．(宁波中考)如图，正比例函数y1＝－3x的图象与反比例函数y2＝kx的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12.
(1)求k的值；
(2)根据图象，当y1>y2时，写出x的取值范围．
解：(1)过点A作AD⊥OC于点D.
∵AC＝AO，∴CD＝DO.
∴S△ADO＝12S△ACO＝6.
设A(x0，－3x0)，则有12|x0|•|－3x0|＝6.
∴x0＝－2.
∴A(－2，6)．把 A(－2，6)代入反比例函数解析式，得k＝－2×6＝－12.
(2)x＜－2或0＜x＜2.
类型2 求参数的值或取值范围
3．函数y＝1－kx的图象与直线y＝x没有交点，那么k的取值范围是(A)
A．k＞1 B．k＜1 C ．k＞－1 D．k＜－1
4．若正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于点A(m，1)，则k的值是(B)
A.2或－2 B.22或－22
C.22 D.2
5．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥ y轴，且直线l分别与反比例函数y＝8x(x＞0)和y＝kx(x＞0)的图象交于P、Q两点，若S△POQ＝14，则k的值为－20．
类型3 求交点问题
6．(曲靖中考)如图，双曲线y＝kx与直线y＝－12x交于A、B两点，且点A(－2，m)，则点B的坐标是(A)
A．(2，－1) B．(1，－2)
C．(12，－1) D．(－1，12)
7．(连云港中考)设函数y＝3x与y＝－2x－6的图象的交点坐标为(a，b)，则1a＋2b的值是－2．
解析：根据函数的交点(a，b)，可代入得到ab＝3，b＝－2a－6，即b＋2a＝－6，然后通分可得1a＋2b＝b＋2aab＝－63＝－2.
类型4 求图形面积
8．如图，一次函数y＝ax－1(a≠0)的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象相交于A、B两点，且点A的坐标为(2，1)，点B的坐标为(－1，n)．
(1)分别求两个函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
解：(1)∵一次函数y＝ax－1(a≠0)的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象相交于A、B两点，且点A的坐标为(2，1)，
∴2a－1＝1，k2＝1.解得a＝1，k＝2.
∴一次函数的解析式是y＝x－1，反比例函数的解析式是y＝2x.
(2)设AB与y轴交于点C，当x＝0时，y＝－1，即C(0，－1)．
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝12×|－1|×2＋12×|－1|×|－1|＝1＋12＝32.
小专题(二) 反比例函数与几何图形
与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用
① ②
结论：S矩形OABC＝2S△OAB＝|k|. 结论：S△OCD＝S梯形ABCD.
③ ④
结论：AB＝CD. 结论：AB＝CD.
1．(枣庄中考)如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(－3，4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝kx(x＜0)的图象经过顶点B，则k的值为(C)
A．－12 B．－27 C．－32 D．－36
2．(河北模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线y＝kx上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好落在此双曲线上，则a的值是(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(枣庄中考)如图，反比例函数y＝2x的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为4．
4．(潍坊中考)正比例函数y1＝mx(m＞0)的图象与反比例函数y2＝kx(k≠0)的图象交于点A(n，4)和点B，AM⊥y轴，垂足为M，若△AMB的面积为8，则满足y1>y2的实数x的取值范围是－2＜x＜0或x＞2．
5．(绍兴中考)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝3x(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是3≤a≤3＋1．
6．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，C的坐标分别为A(2，0)，C(－1，2)，反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点B.
(1)求k的值；
(2)将▱OABC沿x轴翻折，点C落在点C′处，判断点C′是否在反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上，请通过计算说明理由．
解：(1)∵四边形OABC为平行四边形，∴BC∥OA.
∵A(2，0)，C(－1，2)，∴B(1，2)．
将B(1，2)代入反比例函数解析式，得2＝k1，∴k＝2.
(2)点C′在反比例函数y＝kx的图象上，理由如下：
∵▱OABC沿x轴翻折，点C落在点C′处，
∴C′点坐标是(－1，－2)．
∵反比例函数解析式为y＝2x，
当x＝－1时，y＝2－1＝－2，
∴点C′在反比例函数y＝2x的图象上．
7.(苏州中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A.反比例函数y＝kx(x>0)的图象经过点C，交AB于点D.已知AB＝4，BC＝52.
(1)若OA＝4，求k的值；
(2)连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
解：(1)作CE⊥AB，垂足为E.
∵AC＝BC，AB＝4，∴AE＝BE＝2.
在Rt△BCE中，BC＝52，BE＝2，∴CE＝32.
∵OA＝4，∴点C的坐标为(52，2)．
∵点C在y＝kx的图象上，∴k＝5.
(2)设A点的坐标为(m，0)，∵BD＝BC＝52，∴AD＝32.
∴D，C两点的坐标分别为(m，32)，(m－32，2)．
∵点C，D都在y＝kx的图象上，∴32m＝2(m－32)．∴m＝6.
∴点C的坐标为(92，2)．
作CF⊥x轴，垂足为F，∴OF＝92，CF＝2.
在Rt△OFC中，OC2＝OF2＋CF2，
∴OC＝972.
8．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y＝kx(x＞0)的图象经过点B.
(1)求k的值；
(2)将正方形OABC分别沿直线AB，BC翻折 ，得到正方形MABC′，NA′BC.设线段MC′，NA′分别与函数y＝kx(x＞0)的图象交于点E，F，求线段EF所在直线的解析式．
解：(1)∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴OA＝OC＝2.
∴点B坐标为(2，2)．
∴k＝xy＝2×2＝4.
(2)∵正方形MABC′，
NA′BC是由正方形OABC翻折所得，
∴ON＝OM＝2OA＝4.
∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4.
∵点E，F在函数y＝4x的图象上，
∴E(4，1)，F(1，4)．
设直线EF解析式为y＝mx＋n，将E，F两点坐标代入，
得4m＋n＝1，m＋n＝4.解得m＝－1，n＝5.
∴直线EF的解析式为y＝－x＋5.
9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为(4，2)．过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB，BC交于点M，N.
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；
(2)若反比例函数y＝mx(x＞0)的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
(3)若反比例函数y＝mx(x＞0)的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
解：(1)设直线DE的解析式为y＝kx＋b，
∵点D，E的坐标分别为(0，3)，(6，0)，
∴3＝b，0＝6k＋b.解得k＝－12，b＝3.
∴直线DE的解析式为y＝－12x＋3.
由题意，令2＝－12x＋3.∴x＝2.∴M(2，2)．
(2)∵y＝mx(x＞0)经过点M(2，2)，∴m＝4.
∴反比例函数的解析式为y＝4x.
当x＝4时，y＝－12×4＋3＝1.
∴N(4，1)．
∵当x＝4时，y＝4x＝1，
∴点N在函数y＝4x的图象上．
(3)4≤m≤8.
章末复习(一) 反比例函数
01 基础题
知识点1 反比例函数的概念
1．下列六个关系式：①x(y＋1)；②y＝2x＋2；③y＝1x2；④y＝－12x；⑤y＝－x2；⑥y＝23x.其中y是x的反比例函数的是(D)
A．①②③④⑥ B．③⑤⑥
C．①②④ D．④⑥
知识点2 反比例函数的图象与性质
2．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝2 017x图象上的点，若x1>0>x2，则(B)
A．y1>y2>0 B．y1>0>y2
C．0>y1>y2 D．y2>0>y1
3．(连云港中考)姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．
甲：函数图象经过第一象限；
乙：函数图象经过第三象限；
丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．
根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是(B)
A．y＝3x B．y＝3x
C．y＝－1x D．y＝x2
4．(河北中考)定义新运算：a?b＝ab（b>0），－ab（b<0）.例如：4?5＝45，4?(－5)＝45.则函数y＝2?x(x≠0)的图象大致是(D)
知识点3 反比例函数与一次函数综合
5．(广安中考)若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－3)，则一次函数y＝kx－k(k≠0)的图象经过第一、二、四象限．
6．(内江中考)已知点A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝mx图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)观察图象，直接写出不等式kx＋b－mx>0的解集．
解：(1)∵点A(－4，2)，B(n，－4)在反比例函数图象上，
∴2＝m－4，n＝m－4.
∴m＝－8，n＝2.
∴B(2，－4)．
∵一次函数过点A，B，
∴2＝－4k＋b，－4＝2k＋b.∴k＝－1，b＝－2.
∴反比例函数：y＝－8x；一次函数：y＝－x－2.
(2)设函数y＝－x－2与y轴交于点C，则C(－2，0)，∴S△AOB＝S△ACO＋S△OCB＝12×2×2＋12×2×4＝6.
(3)x<－4或0<x<2.
知识点4 反比例函数的实际应用
7．张玲在玩QQ的某个游戏时，观察几位好友的信息发现：这个游戏等级数y与所得游戏豆x成反比例，已知这一游戏的最高级数为100级，且此时张玲某个好友的游戏等级为15，游戏豆为600个．张玲有这样两个疑问：
(1)能用一个含x的代数式表示出y吗？
(2)张玲现在的等级数刚刚达到40级，试求她的游戏等级升级到最高级还需扣掉多少游戏豆？
解：(1)由于游戏等级数y与所得游戏豆x成反比例，可设y＝kx(x＞0)．
由题意知，当x＝600时，y＝15，则k＝xy＝600×15＝9 000.
∴y与x的函数解析式为y＝9 000x(x>0)．
(2)当等级数为40级，即y＝40时，把y＝40代入y＝9 000x，得x＝225.
当游戏等级升到最高级，即y＝100时，把y＝100代入y＝9 000x，得x＝90.
225－90＝135(个)．
答：张玲的游戏等级升到最高级还需扣掉135个游戏豆．
02 中档题
8．(龙岩中考)已知点P(a，b)是反比例函数y＝1x图象上异于点(－1，－1)的一个动点，则11＋a＋11＋b＝(B)
A. 2 B．1 C.32 D.12
9．(河北模拟)如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数y＝k1x(x＞0)和y＝k2x(x＞0)的图象于点P和Q，连接OP和OQ.则下列结论正确的是(D)
A．∠POQ不可能等于90°
B.PMQM＝k1k2
C．这两个函数的图象一定关于x轴对称
D．△POQ的面积是12(|k1|＋|k2|)
10．(绍兴中考)如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y＝kx(x>0)的图象上，AC∥x轴，AC＝2.若点A的坐标为(2，2)，则点B的坐标为(4，1)．
11．(宁波中考)已知△ABC的三个顶点为A(－1，1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC向右平移m(m>0)个单位长度后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例 函数y＝3x的图象上，则m的值为52．
12．(邢台县一模)已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝32x的图象经过点A，点A的纵坐标为6，反比例函数y＝mx的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC＝AB，求：
(1)这个反比例函数的解析式；
(2)直线AB(一次函数)的解析式．
解：(1)∵正比例函数y＝32x的图象经过点A，点A的纵坐标为6，
∴6＝32x，解得x＝4，
∴点A的坐标为(4，6)．
∵反比例函数y＝mx的图象经过点A，
∴m＝6×4＝24.
∴反比例函数的解析式为y＝24x.
(2)作AD⊥BC于D，∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴BC＝2CD＝8.∴点B的坐标为(8，3)．
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
由题意，得4k＋b＝6，8k＋b＝3，解得k＝－34，b＝9.
∴直线AB的解析式为y＝－34x＋9.
03 综合题
13．(石家庄一模)小明家饮水机中原有水的温度为20 ℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系]，当加热到100 ℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系]，当水温降至20 ℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当0≤x≤8时，求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数解析式；
(2)求图中t的值；
(3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少？
解：(1)当0≤x≤8时，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数解析为y＝kx＋b，依据题意，得
b＝20，8k＋b＝100，解得k＝10，b＝20.
故此函数解析式为y＝10x＋20.
(2)在水温下降过程中，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数解析式为y＝mx，
依据题意，得100＝m8，即m＝800.
∴y与x的函数解析式为y＝800x.
当y＝20时，20＝800t，即t＝40.
(3)∵45－40＝5≤8，
∴当x＝5时，y＝10×5＋20＝70.
答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内水的温度约为70 ℃.
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