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常州市2013中考数学试卷分析
数 学 试 题
注意事项：
1.本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为20分钟，考生将答案全部填写在答题卡位置上，写在本试卷上无效，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，考试时不允许使用计算器。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并赶写好答题卡上的考生信息。
3.作图必须用2B铅笔，并加黑加粗，清楚。
一．（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
1.在下列实数中，无理数是 （ ）
A．2B．3.14C． D．
答案:D
解析：无理数指无限不循环小数，而A、B、C分别是整数、有理数、分数，而D是无理数。
2.如图所示圆柱的左视图是 （ ）
A．B．C．D．
答案：C
解析：圆柱体：正视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆形
3. 下列函数中，图像经过点（1，-1)的反比例函数关系式是 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：将点坐标带入各个选项中，发现只有A选项符合
4.下列计算中，正确的是 （ ）
A．（a3b）2=a6b2B．a*a4=a4C．a6÷a2=a3D．3a+2b=5ab
答案：A
解析：幂运算公式的应用，B为a的5次方，C为a的4次方，D为原式
5.已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，下列结论中正确的是 （ ）
A．甲组数据比乙组数据的波动大B．乙组数据的比甲组数据的波动大C．甲组数据与乙组数据的波动一样大D．甲组数据与乙组数据的波动不能比较

答案：B
解析：当均值相同时，方差越大，成绩越不稳定，反之亦然。
6.已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法判断
答案：C
解析：圆半径为6，圆心到直线距离为5，当圆心到直线距离小于半径时，直线与圆相交。
7.二次函数 （a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x-3-2-1012345
y1250-3-4-30512
给出了结论：
(1)二次函数 有最小值，最小值为-3；
(2)当 时，y<0;
(3)二次函数 的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧。
则其中正确结论的个数是 （ ）
A．3B．2C．1D．0
答案：B
解析：将（-1,0），（0，-3），（3,0）代入解析式，得到二次函数为 ，配方后二次函数变为 ，所以函数最小值为-4；此题可以借助二次函数图像，很容易看出（2）、（3）是对的；所以正确的有2个
8.有3张边长为a的正方形纸片，4张边分别为a、b(b>a)的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸乍进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为
（ ）
A．a+bB．2a+bC．3a+bD．a+2b
答案：D
解析：将各个选项进行完全平方展开，C首先排除，需要9个正方形才行，A、B、D都可以，但是由于b>a，所以表达式中b越大，则面积越大，故选D
二．题（本大题共有9小题，第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9.计算-(-3)=____3____,-3=___3____,(-3)-1=___-4____,(-3)2=___-6____.
解析：考查绝对值及相反数的运算。
10.已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是_（-3,2）_____,点P关于原点O的对称点P2的坐标是_（-3，-2）_______.
解析：考查点关于x轴、y轴及原点对称问题。
11.已知一次函数y=kx+b(k、b为常数且k≠0)的图象经过点A（0,-2）和点B（1,0），则 k=___2___，b=__-2____。
解析：一次函数，利用待定系数法，将A，B两点代入一次函数解析式可得k与b
12.已知扇形的半径为6c，圆心角为150°，则此扇形的弧长是__5π____c，扇形的面积是____15π____c2（结果保留π）。
解析：求有关弧长、面积问题，扇形弧长l= ，扇形面积=
13.函数y= 中自变量x的取值范围是__x_>=3_____，若分式 的值为0，则x=_ ___。
解析：二次根式及分式的概念
14.我市某一周的每一天的最高气温统计如下表：
最高气温（℃）25262728
天数1123
则这组数据的中位数是__27______，众数是___28____。
解析：考查中位数、众数基本概念
15.已知x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，则a=_-2或1
______。
解析：本题主要考察一元二次方程知识点，首先可以根据x的解代入方程，得到a2+a-2=0，转化为关于a的一元二次方程，从而可根据一元二次方程的四种解法解出a的值，用因式分解法颇为简单
16.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=___ _____.
解析：考查圆内相关问题。由∠BAC=120°，AB=AC得∠C=30°，则∠D=30°，
由直径所对的圆周角为直角得AB= ，∠DBC=30°，在同圆中圆周角所对的弦相等得AB=CD
17.在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数 的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB= OA，则k=__ _____.
解析：考查反比例函数，相似的性质。过点A作AC垂直x轴交与C点，过点B作BD垂直与x轴于D点，由已知得 ，由OB= OA得 ，又

三、解答题（本大题共2小题，共18分）
18.化简（每小题4分，共8分）

解析：=2－1＋1
=2
本题目主要考察平方根、幂的运算和锐角三角函数最基本的知识点，属于简单题

解析：本题目主要考察分式的化简习题，首先要去寻找分母的最小公倍数，需要注意的是当把后面分式的分母x+2化为x2－4时，分母上此时变为x－2，这时候减去的需要时一个整体－（x－2）

19.解方程组和不等式组：（每小题5分，共10分）

解析：本题目主要考察二元一次方程的解法，我们可以采用代入消元法或加减消元法去做
法一：我们可以把x用y代替，或把y用x代替，代入另外一个式子，从而解出其中一个字母，最后解出另外一个，此方法为代入消元法
法二：我们可以把x或y前面的系数化为相等或相反的数，从而再把他们相减或相加，起到消元的效果，此方法为加减消元法


解析：此题目主要考察解分式方程，解分式方程的中心思想是要把分式方程转化为整式方程，最终还要把结果进行检验，以免产生增根

四、解答题（本大题共2小题，共15分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及演算步骤）
20.（本小题满分7分）
为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）。
（1）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整；
（2）扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为____72°____.

解析：本题目主要考察统计相关知识点，思路简单，主要思路为根据已知某项具体的人数及所占的比例求出总的人数，可算出各自所占的百分比，最后算出对应的圆心角的度数。该题属于基础型题。
21.（本小题满分8分）
一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同。
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
(2 ) 从箱子中随机摸出一个球，，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，
求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图。
解：（1）∵共有3个球，2个白球，
∴随机摸出一个球是白球的概率为2/3
（2）根据题意画出树状图如下：

一共有6种情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种，
所以，P（两次摸出的球都是白球）=2/6=1/3．
解析：此题目是和概率相关的题目，考察学科对树状图和列表法的理解；始终遵循一个原则：分母上为总的可能性，分子上为符合题目意思的可能性，在第二问中需要注意的是他是有放回的，所以共有9种选择。
五．解答题（本大题共2小时，共13分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程）
22．（本小题满分6分）
如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE。
求证：∠A=∠B。

23.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA。
求证：四边形ABCD是菱形。

解析：22、23两题都是初中阶段平面几何的证明题。22题属于容易题，通过AC=CB和CD=CE、AD=BE三个条件利用SSS证明全等；23题属于中等偏容易的题型，由AB=AC，∠B=60°以及两个外角的条件，通过平分可以得知△ACD也是等边，从而原题得证。

六．解答题（本大题共2小题，请在答题卡指定区域内作答，共13分）
24.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= ，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO,且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：
以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B
（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：
∠ABC=___30°___,∠A′BC=___90°__,OA+OB+OC=__ __.
解析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠A′BC；
根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．

25.（本小题满分7分）
某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁。饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲咱饮料x（千克）。
（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；
（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？

解：（1）设该厂生产甲种饮料x千克，则生产乙种饮料（650-x）千克，根据题意得，
0.6x+0.2(650-x)≤300①
0.3x+0.4(650-x)≤240②
由①得，x≤425，
由②得，x≥200，
所以，x的取值范围是200≤x≤425；

（2）设这批饮料销售总金额为y元，
根据题意得，y=3x+4（650-x）=3x+2600-4x=-x+2600，
即y=-x+2600，
∵k=-1＜0，
∴当x=200时，这批饮料销售总金额最大，为-200+2600=2400元．

解析：本题考查了一次函数的应用，列一元一次不等式组解实际问题，根据A、B果汁的数量列出不等式组是解题的关键，（2）主要利用了一次函数的增减性．

七．解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
26（本小题满分6分）
用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形。设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a,内部的格点个数为b，则 (史称“皮克公式”).
小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：

根据图中提供的信息填表：
格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积
多边形1818
多边形27311
…………
一般格点多边形abS
则S与a、b之间的关系为S=____S=a+2（b-1）______(用含a、b的代数式表示)。
解析：考查了作图-应用与设计作图．此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．

27.（本小题满分9分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0）,点B(0,6)，动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB。
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为____45°或135°___;
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值。
（3）连接AD，当OC∥AD时，
①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由。

解析：作为压轴题之一，27题考查了圆中的动态问题，同时对考生图形的旋转带来的变化提出了较高的能力要求。（1）较为容易，Rt△ABO是明显的等腰直角三角形；
（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°-∠OBA=135°；
（2），根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；
（3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则CF= ，所以∠COF=30°，则可得到∴BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．

28.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为(a,0),(其中a>0),直线l过动点(0,)(0<<2)，且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上(P点异于C点)满足PE=CE,直线PD与x轴交点点Q，连接PA.
(1)写出A、C两点的坐标；
(2)当0<<1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK,则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出的值;
(3)当1<<2时，是否存在实数，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出的值(用含a的代数式表示)；若不能，请说明理由。

山
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