2018中考数学专题:例谈“双勾模型图”的提炼及其应用

编辑: 逍遥路 关键词: 九年级 来源: 高中学习网
例谈“双勾模型图”的提炼及其应用
    数学教学中,适时地对课本的定理进行适当的延伸 与提炼,形成模型,再利用模型去分析和解决问题,能缩短思考时间,提高解题效率.下面举例说 明.
    1.题目
    笔者在教学勾股定理内容 时,为帮助学生形成新的模型图,给出下面这道题:
    在  中, 于 ,求 证:  .
    这是一道无图题,蕴含分类图,图有两种可能,如图1、图2.
 
    题中有垂直且有线段的平方之间的关系,自然想到勾股定理.将图形看成两个直角三角形,利用勾股定理及两 个直角三角形的公共边,便能得 证.
    即由 ,得
      ,
    所以 .
    这个模型图在初中数学中应用广泛,我们把这两个图形形象地称之为“双勾模型图”.
    2.双勾模型图的应用
     例1  (2018 年益阳中考题)如图3,在 中, ,求 的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
    1.作  于 ,设 , 用含 的代数式表示 .
     2.根据勾股定理,利 用 作为“桥梁”,建立方程模型求出 .
    3.利用勾股定理,求出 的长,再计算三角形面积.
    解析  由双勾模型图3,得
     .
    设 ,则 ,
即 ,
解得 .
 ,

         .
评析  本题求面积实际上是求一边上的高.利用双勾模型图1求出 的 长,然后利用勾股定理即可求出高 的长.
 
     例2  如图4,四边 形 中, .求证:  .
    解析  由双勾模型图1得:
 ,
 .
    将两式相减,得
      ,
    即 .
    评析本题把图形看成两个双勾模型图(1),利用双勾模型图的结沦很容易解决,这也体现了利用模型图给解题带来的简便.
    例3  如图5,在 中,求证: .
 
    解析  作 于点 , 交 的延长线于点 ,
     则  ,.
     由三 , 得
      .
    由双勾模型图1,得
     ,
    由双勾 模型图2,得
     .
    两式相加,得
     ,
    整理得,
     ,
即 
 
 
    评析  题中出现了线段之间的平方关系,易联想到勾股定理,为此作高构造直角三角形,形成了双勾模型图,利用这个模型图即可完成证明.
例4  如图6,正方形 和正方形 , 、 相交于点 .若 ,求正方形 和正方形 的面积之和.
 
    解析  连结 .
    由正方形 和正方形 ,得
     ,
    ∴ ,
    可得 ,
    ∴ .
从而 
 ,
    即 .
     由双勾模型图1及例2,易推得
     ,
由 ,得 ,
∴ .
因此,正方形 和正方形  的面积之和为
 .
    评析  题中“正方形的母子图”中有一个重要 的结论: 与 既相等,又垂直. 由垂直,联想到双 勾模型图,便能顺利解答.当然,解本题时,若有例2的模型图在心中 ,就更易解答.
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