第二十七章 相似
27．1 图形的相似
01 基础题
知识点1 相似图形
1．下列各组图形相似的是(B)
知识点2 比例线段
2．(保定章末测试)下列各组中的四条线段成比例的是(A)
A．2 m，1 m，2 m，2 m
B．3 m，2 cm，6 cm，4 m
C．1.5 m，2.5 m，4.5 m，5.5 m
D．1 cm，7 cm，5 cm，3 cm
3．(唐山迁安中学月考)某市两旅游区之间的距离为105公里，在一张比例尺为1∶2 000 000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于(A)
A．一根火柴的长度
B．一支钢笔的长度
C．一支铅笔的长度
D．一根筷子的长度
4．(邯郸育华中学月考)如果ab＝32，那么a＋bb＝52．
5．已知线段a，b，c，d成比例，且ab＝cd，其中a＝8 cm，b＝4 cm，c＝12 cm，则d＝6cm.
知识点3 相似多边形
6．(邯郸育华中学月考)若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是(C)[来源:学科网]
A．75° B．60° C．87° D．120°
7．(莆田中考)下列四组图形中，一定相似的是(D)
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
8．(达县期中)如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°，∠ACB＝60°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，CE＝6 cm.求：
(1)∠B的度数；
(2)AD的长．
解：(1)∵△ABC∽△DEC，
∴∠A＝∠D＝45°.
在△ACB中，∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－45°－60°＝75°.
(2)∵△ABC∽△DEC，
∴ACDC＝BCEC，
即DC＝AC•CEBC＝92 cm.
∴AD＝AC＋CD＝152 cm.
02 中档题
9．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C)
A．150° B．105°
C．15° D．无法确定大小
10．观察下列图形，其中相似图形有(D)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
11．(唐山迁安中学月考)如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴 影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是(C)
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
12．(保定章末测试)要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一边长为20 cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有(C)
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
13．如图所示的两个矩形相似吗？为什么？若相似，相似比是多少？满足什么条件的两个矩形一定相似？
解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠A′＝∠B′＝∠C′＝∠D′＝90°，AD＝BC＝10，AB＝DC＝8，A′B′＝D′C′＝4，A′D′＝B′C′＝5.
∴ABA′B′＝BCB′C′＝CDC′D′＝DAD′A′＝21.
∴矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似，相似比是2.
∴两个矩形只要满足长与宽的比相等就相似．
14．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF.
又∵∠EAF＝90°，
∴四边形AFGE为正方形．
∴AFAB＝FGBC＝GECD＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
03 综合题
15．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
解：(1)设AD＝x(x＞0)，则DM＝x2.
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ADAB＝DCDM，
即x4＝4x2.解得x＝42(舍负)．
∴AD的长为42.
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为
DCAD＝442＝22.
27．2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
01 基础题
知识点1 相似三角形的有关概念
1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A)
A.ADAC＝AEAB＝DEBC B.ADAB＝AEAC
C.ADAE＝ACAB＝DEBC D.AEEC＝DEBC
2．如果△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC的相似比为12．
知识点2 平行线分线段成比例定理
3．(杭州中考)如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若ABBC＝12，则DEEF＝(B)
A.13 B.12 C.23 D．1
4．(杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(B)
A.ADAB＝12 B.AEEC＝12
C.ADEC＝12 D.DEBC＝12
5．(济宁中考)如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么BCCE的值等于35．
6．如图，EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．
解：∵EG∥BC，∴AEEB＝AGGC.
又∵GF∥DC，∴AGGC＝AFFD.
∴AEEB＝AFFD，即32＝6FD.
∴FD＝4.
∴AD＝AF＋FD＝10.
知识点3 相似三角形判定的预备定理
7．(南京中考)如图，AB、CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD.EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为83．
8．(厦门中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝2，DB＝3，则DEBC＝25．
9．(唐山迁安中学月考)如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形及其相似比．
解：根据平行四边形性质得出DC∥AB，AD∥BC，
由DC∥AB，得△DFC∽△EFB.
由AB＝3BE，AB＝CD，得BECD＝13.
由AD∥BC，得△BFE∽△ADE，△DFC∽△EDA.
由AB＝3BE，得CDAE＝34.
02 中档题
10．(唐山玉田县期末)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是(C)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
提示：△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，△ADE∽△EFC.
11．(天津中考)如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于(D)
A．3∶2 B．3∶1
C．1∶1 D．1∶2
12．已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D，求：
(1)△OAC与△OBD的相似比；
(2)BD的长．
解：(1)∵△OAC∽△OBD，∠C＝∠D，
∴线段OA与线段OB是对应边．
∴△OAC与△OBD的相似比为OAOB＝42＝21.
(2)∵△OAC∽△OBD，
∴ACBD＝OAOB.
∴BD＝OB•ACOA＝2×24＝1.
13．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10 m，BC＝18 m，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?
解：∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
∴ADAB＝DEBC，
即ADAD＋8＝1018.[来源:学科网]
∴AD＝10.
答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.
03 综合题
14．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．
解：∵在△ABC中，EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC.
∴EGBC＝AEAB.
∴EG10＝35.∴EG＝6.
∵在△BAD中，EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD.∴EFAD＝BEAB.
∴EF6＝5－35.∴EF＝125.
∴FG＝EG－EF＝185.
第2课时 相似三角形的判定定理1，2
01 基础题
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形(A)
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判断
2．(唐山玉田县期末)已知△ABC的三边长分别为2，6，2，△A′B′C′的两边长分别是1和3，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该为(A)
A.2 B.22 C.62 D.33
3．(石家庄模拟)下列三个三角形中相似的是(B)
A．A与B B．A与C
C．B与C D．A，B，C都相似
4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．
[来源:学科网]
解：相似．
理由：∵ACAE＝2018年＝53，ABAD＝2515＝53，
BCDE＝4024＝53，
∴ACAE＝ABAD＝BCDE.
∴△ABC∽△ADE.
知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
5．(保定莲池区期末)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是(D)
A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8
6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(C)
7．如图，已知：AB•AD＝AC•AE，∠B＝30°，则∠E＝30°．
8．根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
∠B＝50°，AB＝2，BC＝3，∠B′＝50°，A′B′＝12，B′C′＝18.
解：相似．理由：
∵ABA′B′＝212＝16，BCB′C′＝318＝16，
∴ABA′B′＝BCB′C′.
∵∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
02 中档题
9．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(A)
10．如图，在等边△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(B)
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
11．一个钢筋三脚架三边长分别是20 cm、50 cm、60 cm.现在再做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则下列截法：①将30 cm截出5 cm和25 cm；②将50 cm截出10 cm和25 cm；③将50 cm截出12 cm和36 cm；④将50 cm截出20 cm和30 cm.其中正确的有(B)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
12．(唐山迁安中学月考)如图，在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD＝12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝16或9．
13．(石家庄四十二中章末测试)已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6.在Rt△EDF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？
解：△ABC∽△EDF相似．理由如下：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
根据勾股，得AC＝AB2－BC2＝102－62＝8.
在Rt△EDF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4，
根据勾股，得ED＝DF2＋EF2＝32＋42＝5.
在Rt△ABC和Rt△EDF中，BCDF＝63＝2，ACEF＝84＝2，ABED＝105＝2，
∴BCDF＝ACEF＝ABED.
∴△ABC∽△EDF.
14．(杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC＝DFCG.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若ADAC＝12，求AFFG的值．
解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，
∴∠ADF＝∠C.
又∵ADAC＝DFCG，
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG，
∴ADAC＝AFAG＝12.
∴AFFG＝1.
03 综合题
15．(武汉中考改编)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
解：由题意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝AC2＋BC2＝10 cm.
①当△BPQ∽△BAC时，
则BPBA＝BQBC，
∴5t10＝8－4t8.解得t＝1；
②当△BPQ∽△BCA时，则BPBC＝BQBA，
∴5t8＝8－4t10.解得t＝3241.
综上所述，当t＝1或3241时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
第3课时 相似三角形的判定定理3
01 基础题
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
1．有一个角为30°的两个直角三角形一定(B)
A．全等 B．相似
C．既全等又相似 D．无法确定
2．(唐山迁安中学月考)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，则图中相似三角形有(C)
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
3．(石家庄四十二中章末测试)在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，下列条件不能判断这两个三角形相似的是(D)
A．∠A＝∠C′ B．∠A＝∠A′
C.ABBC＝A′B′B′C′ D.ABAC＝A′B′A′C′
4．如图，锐角△ABC的边AB，AC上的高线CE，BF相交于点D，请写出图中的一对相似三角形答案不唯一，如△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE等．(用相似符号连接)
5．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD，△HGK.
6．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD.
证明：∵ 矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.
∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.
∴∠AFB＝∠D＝90°.
∴△ABF∽△EAD.
知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
7．(保定期中)下列命题不一定成立的是(C)
A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
B．两个等腰直角三角形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．各有一个角等于95°的两个等腰三角形相似
8．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D)
A．∠B＝∠B1 B.ABA1B1＝ACA1C1
C.ABA1B1＝BCB1C1 D.ABB1C1＝ACA1C1
9．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝10时，△ABC∽△A′B′C′.
02 中档题
10．(河北中考)如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
11．(毕节中考)如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于(A)
A.154 B.125 C.203 D.174
12．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形不一定(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．
13．(娄底中考)如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是答案不唯一，如AB∥DE．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)
14．如图，已知∠C＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？
解：①若△ABC∽△ADB，
则ABAD＝ACAB.
∴6AD＝26.∴AD＝3.
②若△ABC∽△DAB，
则ABAD＝BCAB.∴6AD＝6－46.
∴AD＝32.
综上所述，当AD＝3或32时，图中两直角三角形相似．
15．(滨州中考改编)如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.∴∠APQ＝∠CDQ.
又∵∠AQP＝∠CQD.
∴△APQ∽△CDQ.
(2)当t＝5时，DP⊥AC.
理由：∵t＝5，∴AP＝5.∴APAD＝510.
又∵DADC＝1020，∴APAD＝DADC.
又∵∠PAD＝∠ADC＝90°，∴△PAD∽△ADC.
∴∠ADP＝∠DCA.
∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90°，
∴∠DCA＋∠CDP＝90°.
∴∠DQC＝90°，即DP⊥AC.
03 综合题
16．(河北模拟)如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝8，AD＝63，AE＝6，求AF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°.
∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C.
∴△ADF∽△DEC.
(2)∵CD＝AB＝8，AE⊥BC，∴AE⊥AD.
在Rt△ADE中，DE＝（63）2＋62＝12.
∵△ADF∽△DEC，∴ADDE＝AFCD.
∴6312＝AF8，解得AF ＝43.
小专题(三) 相似三角形的基本模型
下面仅以X字型、A字型、双垂型、M字型4种模型设置练习，帮助同学们认识相似三角形的基本模型，并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形，进而解决问题．
模型1 X字型及其变形
(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；
(2)如图2，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.
1．(滨州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则CFCD＝13．
2．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．
解：∵∠ADE＝∠ACB，
∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，
即∠BDF＝∠ECF.
又∵∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF.
∴BDCE＝DFCF，即84＝DF2.
∴DF ＝4.
模型2 A字型及其变形
(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；
(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；
(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.
3．(潍坊中考)如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：答案不唯一，如：∠A＝∠BDF，∠A＝∠BFD，∠ADE＝∠BFD，∠EDA＝∠BFD，DF∥AC，BDAE＝BFED，BDDE＝BFAE等，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
4．(福州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－12，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.
(1)通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
(2)求∠ABD的度数．
解：(1)∵AD＝BC＝5－12，
∴AD2＝(5－12)2＝3－52.
∵AC＝1，
∴CD＝1－5－12＝3－52.
∴AD2＝AC•CD.
(2)∵AD2＝AC•CD，
∴BC2＝AC•CD，即BCAC＝CDBC.
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.
∴ABBD＝ACBC.
又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.
∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.
设∠A＝∠ABD＝x，
则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36°.
∴∠ABD＝36°.
模型3 双垂型
直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为(C)
A．3
B．4
C．5
D．6
6．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为(B)
A．36 B．15
C．95 D．3＋35
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝313．
模型4 M字型及其变形
(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；
(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠ABC＝∠ACD，则再已知一组条件，可得△ABC与△DCE相似．
8．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的长．
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°.
∴∠ACB＋∠A＝90°.
∵AC⊥CE，
∴∠ACB＋∠ECD＝90°.
∴∠A＝∠ECD.
∴△ABC∽△CDE.
∴ABCD＝BCDE.
又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，
∴BC＝CD＝2.
∴AB＝4.
9．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB＋∠DEF＝90°.
∴∠ABE＝∠DEF.
∴△ABE∽△DEF.[来源:学|科|网]
(2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝2.
由(1)知，△ABE∽△DEF，[来源:Z_xx_k.Com]
∴ABDE＝AEDF，即42＝2DF.
∴DF＝1.∴CF＝3.
∵ED∥CG，
∴△EDF∽△GCF.
∴EDCG＝DFCF，即2GC＝13.
∴GC＝6.
∴BG＝BC＋GC＝10.
27.2.2 相似三角形的性质
01 基础题
知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比
1．(重庆中考A卷)若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(A)
A．3∶2 B．3∶5
C．9∶4 D．4∶9
2．(兰州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应中线的比为(A)
A.34 B.43 C.916 D.169
3．若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是8∶9，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长为274_cm．
4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高，
∴AEA′E′＝CDC′D′.
∴4.8A′E′＝410.
∴A′E′＝12 cm.
知识点2 相似三角形周长的比等于相似比
5．(重庆中考)△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶16
6．若两个相似三角形的周长的比为4∶5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为20，25．
7．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的长．
解：∵相似三角形周长的比等于相似比，
∴EFBC＝2520.
∴EF＝54BC＝54×5＝254(cm)．
同理ACDF＝2025，
∴AC＝45DF＝45×4＝165(cm)．
∴EF的长是254 cm，AC的长是165 cm.
知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
8．(唐山玉田县期末)△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC和△DEF的面积比为(D)
A．1∶3 B.3∶1
C．9∶1 D．1∶9
9．(铜仁中考)如图，在▱ABCD中，点 E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B)
A．3∶4 B．9∶16
C．9∶1 D．3∶1
10．(巴中中考)如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为(B)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶1
11．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积比为4∶9．
02 中档题
12．(连云港中考)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D)
A.BCDF＝12 B.∠A的度数∠D的度数＝12
C.△ABC的面积△DEF的面积＝12 D.△ABC的周长△DEF的周长＝12
13．(湘西中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为(D)
A．3 B．5 C．6 D．8
14．(衡阳中考)若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为5∶4．
15．(金华中考)如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E和C，F.若BC＝2，则EF的长是5．
16．(凉山中考)在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB＝19或49．
17．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
解：(1)证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB，
∴AF＝DF.
又∵点E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线．
∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.
∴S△AEFS△ABD＝(AEAB)2.
又∵点E是AB的中点，∴AEAB＝12.
∴S△AEFS△ABD＝14.∴S△AEF＝14S△ABD.
∴S△ABD－6＝14S△ABD.∴S△ABD＝8.
03 综合题
18．(怀化中考)如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm.
(1)求证：△AEH∽△ABC；
(2)求这个正方形的边长与面积．
解：(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC.
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C.
∴△AEH∽△ABC.
(2)设AD与EH相交于点M.
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形．
∴EF＝DM.
设正方形EFGH的边长为x.
∵△AEH∽△ABC，
∴EHBC＝AMAD.
∴x40＝30－x30.∴x＝1207.
∴正方形EFGH的边长为1207 cm，面积为14 40049 cm2.
小专题(四) 相似三角形的判定与性质
1．(河北中考)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(D)
A．AE>BE B.AD?＝BC?
C．∠D＝12∠AEC D．△ADE∽△CBE
2．如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于(A)
A.b2c B.b2a C.abc D.a2c
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是(D)
A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD
C．AC2＝AD•BC D.DCAC＝ABBC
4．(邯郸育华中学月考)如图，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有(C)
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
提示：△ABC∽△FGE，△HIJ∽△HKL.
5．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有3对．
提示：△BCP∽△PCF，△DAP∽△DPG，△APG∽△BFP.
6．(河池中考)如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于点M，交AD的延长线于N，则1AM ＋1AN＝1．
7．(保定高阳章末测试)如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∴∠BAD＋∠ADB＝120°.
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＋∠EDC＝120°.
∴∠DAB＝∠EDC.
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE.
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC.
∴CD＝BC－BD＝AB－3.
∵△ABD∽△DCE，
∴ABCD＝BDCE，
即ABAB－3＝32.解得AB＝9.
8．(邯郸育华中学月考)如图所示，已知▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2.
(1)求△AEF与△CDF的周长之比；
(2)如果S△AEF＝6 cm2，求S△CDF.
解：(1)∵AE∶EB＝1∶2，
∴AE∶AB＝1∶3.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∴AE∶CD＝AE∶AB＝1∶3.
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF.
∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝1∶3.
(2)∵△AEF∽△CDF，
∴S△AEF∶S△CDF＝1∶9.
又∵S△AEF＝6，
∴S△CDF＝6×9＝54(cm2)．
9．如图，在△ABC中，AB＝AD，DC＝BD，DE⊥BC，DE交AC于点E，BE交AD于点F.求证：
(1)△BDF∽△CBA；
(2)AF＝DF.
证明：(1)∵BD＝DC，
DE⊥BC，
∴EB＝EC.
∴∠EBD＝∠C.
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABC.
∴△BDF∽△CBA.
(2)由(1)知，△BDF∽△CBA，
∴FDAB＝BDCB.
∵AB＝AD，BD＝12BC，
∴FDAD＝12BCCB＝12.
∴AF＝DF.
10．(衢州中考)如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F，已知CE＝12，BE＝9.
(1)求证：△COD∽△CBE；
(2)求半圆O的半径r的长．
解：(1)证明：∵CD切半圆于点D，OD为⊙O的半径，
∴CD⊥OD.∴∠CDO＝90°.
∵BE⊥CD，
∴∠E＝90°.
∵∠CDO＝∠E＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDO∽△CEB.
(2)∵在Rt△BEC中，CE＝12，BE＝9，
∴CB＝15.
∵△CDO∽△CEB.
∴ODEB＝COCB，即r9＝15－r15.
∴r＝458.
11．(淄博中考)如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点(点P与点B，C不重合)，▱AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1.设BP＝x，▱AFPE的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．
解：(1)∵四边形AFPE是平行四边形，
∴PF∥CA.
∴△BFP∽△BAC.
∴S△BFPS△BAC＝(BPBC)2＝(x2)2.
∵S△ABC＝1，∴S△BFP＝x24.
同理S△PEC＝(2－x2)2＝x2－4x＋44.
∴y＝1－x24－x2－4x＋44.
∴y＝－x22＋x.
(2)y＝－x22＋x＝－12(x－1)2＋12.
当x＝1时，y有最大值，最大值为12.
12．(菏泽中考)正方形ABCD的边长为6 cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.
(1)如图1，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；
(2)如图2，若点M从点D出发，以1 cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以2 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s.
①设BF＝y cm，求y关于t的函数表达式；
②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°.
∵MN⊥AF，∴∠NAH＋∠ANH＝90°.
∵∠NDA＋∠ANH＝90°，
∴∠NAH＝∠NDA.
∴△ABF≌△DAN.
∴AF＝DN.
∴AF＝MN.
(2)①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BF.
∴∠ADE＝∠FBE.
∵∠AED＝∠BEF，∴△EBF∽△EDA.
∴BFAD＝BEED.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝CB＝6.
∴BD＝62.
由题意得，BE＝2t，则DE＝62－2t.
∴y6＝2t62－2t，即y＝6t6－t.
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MAN＝∠FBA＝90°.
∵MN⊥AF，∴∠NAH＋∠ANH＝90°.
∵∠NMA＋∠ANH＝90°，
∴∠NAH＝∠NMA.
∴△ABF∽△MAN.
∴ANAM＝BFAB.
∵BN＝2AN，AB＝6，∴AN＝2.
∴26－t＝6t6－t 6 .解得t＝2.
周周练 (27.1～27.2)
(时间：40分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．(保定高阳月考)下面图形中，形状相同的一组是(D)
2．(x疆生产建设兵团)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是(D)
A．DE＝12BC
B.ADAB＝AEAC
C．△ADE∽△ABC
D．S△ADE∶S△ABC＝1∶2
3．(河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是(A)
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
4．(安徽中考)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(B)
A．4 B．42 C．6 D．43
5．如图，已知：DE∥AC，DF∥AB，则下列比例式中正确的是(B)
A.AEEB＝BDDC B.DFAB＝DCBC
C.AEAB＝AFAC D.BDDC＝FCAF
6．(巴彦淖尔中考)如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2.若S＝3，则S1＋S2的值为(B)
A．24 B．12 C．6 D．3
7．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．(台湾中考)如图，矩形ABCD中，E点在CD上，且AE＜AC.若P、Q两点分别在AD、AE上，AP∶PD＝4∶1，AQ∶QE＝4∶1，直线PQ交AC于R点，且Q、R两点到CD的距离分别为q、r，则下列关系正确的是(D)
A．q＜r，QE＝RC
B．q＜r，QE＜RC
C．q＝r，QE＝RC
D．q＝r，QE＜RC
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为30°．
10．(邢台临城县一模)已知c4＝b5＝a6≠0，则b＋ca的值为32．
11．(临沂中考)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若BOOC＝23，AD＝10，则AO＝4．
12．在长8 cm，宽6 cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是27cm2.
13．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE•AB.其中正确结论的序号是①④．
14．如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N，则MN＝3－5．
三、解答题(共44分)
15．(10分)如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A.
(1)求证：△BDC∽△ABC；
(2)如果BC＝6，AC＝3，求CD的长．
解：(1)证明：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC.
(2)∵△BDC∽△ABC，
∴BCAC＝CDBC.
∴63＝CD6.∴CD＝2.
16．(10分)(白银、张掖中考)如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)求证：OA2＝OE•OF.
证明：(1)∵EC∥AB，
∴∠C＝∠ABF.
∵∠EDA＝∠ABF，
∴∠C＝∠EDA.
∴DA∥CF.
∵EC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵DA∥CF，∴△OBF∽△ODA.∴OAOF＝ODOB.
∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED.∴OEOA＝ODOB.
∴OAOF＝OEOA，
即OA2＝OE•OF.
17．(12分)(秦皇岛海港区月考)如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且ADCD＝CDBD.
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)求∠ACB的大小；
(3)若AD＝3，BD＝2，求BC的长．
解：(1)证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°.
又∵ADCD＝CDBD，
∴△ACD∽△CBD.
(2)∵△ACD∽△CBD，
∴∠A＝∠BCD.
在△ACD中，∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°.
∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
(3)∵ADCD＝CDBD，
∴CD2＝AD•BD＝6，即CD＝6.
∴BC＝BD2＋CD2＝10.
18．(12分)(六盘水中考)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.
(1)求证：△ADO∽△ACB；
(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD•BC.
解：(1)证明：∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB.
∴∠ADO＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADO.
又∵∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ACB.
(2)由(1)知：△ADO∽△ACB，
∴ADAC＝ODBC.
∴AD•BC＝AC•OD.
又∵OD＝1，
∴AC＝AD•BC.
27.2.3 相似三角形应用举例
01 基础题
知识点1 测量物高
1．(邯郸育华中学月考)如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为(C)
A.815 B．1 C.43 D.85
2．如图，某一时刻，测得旗杆的影长为8 m，李明测得小芳的影长为1 m，已知小芳的身高为1.5 m，则旗杆的高度是12m.
3．(保定莲池区期末)如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为9m.
4．如图，已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外．将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为7.5米．
5．如图是小玲设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是多少米？
解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP.
∴ABCD＝BPDP，即1.4CD＝2.112.解得CD＝8.
答：该古城墙CD的高度是8米．
知识点2 测量距离
6．(北京中考)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
7．(秦皇岛海港区月考)如图所示，AB是斜靠在墙壁上的一个梯子，梯子下端B点到墙脚C的距离为1.4 m，梯子上点D距离墙壁1.2 m，梯子每级之间的距离(如BD )为0.5 m，则这个梯子的长度是(A)
A．3.5 m B．3.85 m
C．4 m D．4.2 m
8．(邯郸育华中学月考)如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN＝38 m，则AB的长为152_m．
9．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝2.5_mm.
10．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔60米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为30米．
02 中档题
11．(柳州中考)小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(A)
A．10米 B．12米
C．15米 D．22.5米
12．如图，一油桶高0.8 m，桶内有油，一根木棒长1 m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8 m，则桶内油的高度为0.64_m．
13．(秦皇岛海港区月考)如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的端点A时，杠杆绕C点转动，另一端点B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压多少厘米呢？
解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN.
易知：△ACM∽△BCN.
∴ACBC＝AMBN.
∵杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1，
∴AMBN＝51，即AM＝5BN.
∴当BN≥10 cm时，AM≥50 cm.
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50 cm.
14．(菏泽中考)如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．
解：连接MN.
∵ACAM＝301 000＝3100，ABAN＝541 800＝3100，∴ACAM＝ABAN.
又∵∠BAC＝∠NAM，
∴△BAC∽△NAM.
∴BCMN＝3100，
即45MN＝3100.∴MN＝1 500.
答：M，N两点之间的直线距离为1 500米．
03 综合题
15．(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生板凳如图所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)
解：过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，分别交EF，AD于Q，P.
由题意，得四边形ABCM，EBCN是平行四边形，
∴EN＝AM＝BC＝20 cm.
∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．
由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，
∴CQ＝32 cm.
∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.
∴NFMD＝CQCP，即NF30＝3240.
∴NF＝24 cm.
∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．
答：横梁EF应为44 cm.
27．3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
01 基础题
知识点1 位似图形
1．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
其中正确命题的序号是(A)
A．②③ B．①②
C．③④ D．②③④
2．(呼伦贝尔中考)视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E ”之间的变换是(D)
A．平移
B．旋转
C．对称
D．位似
3．两个位似图形中，对应点到位似中心的距离之比为2∶3，则这两个图形的相似比为(A)
A．2∶3 B．4∶9
C.2∶3 D．1∶2
4．(邯郸育华中学月考)如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长等于(A)
A．6 B．5 C．9 D.83
5．如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是(A)
A．点P B．点O C．点M D．点N
6．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是(D)
7．(成都中考)如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(A)
A．4∶9 B．2∶5
C．2∶3 D.2∶3
8．(石家庄一模)如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是(C)
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1∶2；
④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点2 位似图形的画法
9．如图，以O为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的一半．
解：图略．
02 中档题
10．如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是(D)
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．∠ADE＝∠B
D．点B与点E，点C与点D是对应点
11．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF＝2∶3，则下列结论不正确的是(B)
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2∶3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9
12．(济宁中考)如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为18_cm．
13．(钦州中考)如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的12，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的12，…，依此规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝16．
14．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝4cm，并在图中画出位似中心O.
解：如图所示．
15．如图，已知△DEO与△ABO是位似图形， △OEF与△OBC是位似图形，求证：OD•OC＝OF•OA.
证明：∵△DEO与△ABO位似，
∴ODOA＝OEOB.
∵△OEF与△OBC位似，
∴OEOB＝OFOC.
∴ODOA＝OFOC.
∴OD•OC＝OF•OA.
03 综合题
16．(唐山路南中学期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1；
(2)以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.
解：如图．
第2课时 平面直角坐标系中的位似
01 基础题
知识点1 位似图形的坐标变化规律
1．(唐山玉田县期末)如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点D的坐标为(B)
A．(3，3) B．(4，1)
C．(3，1) D．(4，3)
2．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到△OA′B′.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是(C)
A．(2，4) B．(－1，－2)
C．(－2，－4) D．(－2，－1)
3．(卢龙模拟)如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是(A)
A．(－4，－3) B．(－3，－3)
C．(－4，－4) D．(－3，－4)
4．(东营中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是(D)
A．(－1，2) B．(－9，18)
C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)
5．(长沙中考)如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，C(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是(1，2)．
知识点2 坐标系内图形的位似作图
6．如图，在直角坐标系中，作出五边形ABCDE的位似图形，使得新图形A1B1C1D1E1与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点O.
解：如图所示．
7．(眉山中考)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
(1)画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1；
(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2∶1，并直接写出点A2的坐标．
解：(1)如图．
(2)如图，A2(－2，－2)．
02 中档题
8．(保定高阳章末测试)如图，“小鱼”与“大鱼”是位似图形，已知“小鱼”上一个“顶点”的坐标为(a，b)，那么“大鱼”上对应“顶点”的坐标为(C)
A．(－a，－2b) B．(－2a，－b)
C．(－2a，－2b) D．(－2b，－2a)
9．(保定莲池区月考)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是(D)
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3)
10．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与A′(－2，0)是对应点，△ABC的面积是32，则△A′B′C′的面积是6.
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)．
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A(2.5，3)，则A′的坐标为(5，6)；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 1∶2；
(2)若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．(用含m的代数式表示)
解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，
∴S△ABCS△A′B′C′＝14.
∵△ABC的面积为m，
∴△A′B′C′的面积为4m.
12．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，求点B的横坐标．
解：过B′作B′F⊥x轴于点F，过B作BE⊥x轴于点E，则∠BEC＝∠B′FC＝90°.
又∵∠BCE＝∠B′CF，
∴△BEC∽△B′FC.
∴ECFC＝BCB′C.
∵△ABC∽△A′B′C，且相似比 为12，
∴BCB′C＝ECFC＝12.
∵点B′的横坐标是a，点C的坐标是(－1，0)，
∴FO＝a，CO＝1.∴FC＝a＋1.
∴EC＝12(a＋1)．
∴点B的横坐标是：－12(a＋1)－1＝－12(a＋3)．
03 综合题
13．如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(7，1)，B(8，2)，C(9，0)．
(1)请在图中画出△ABC的一个以点P(12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧)；
(2)求线段BC的对应线段B′C′所在直线的解析式．
解：(1)如图所示．
(2)作BD⊥x轴，B′E⊥x轴，垂直分别是D，E点，
∴B′E∥BD.
∴△B′EP∽△BDP.∴B′EBD＝PEPD＝PB′PB.
∵B(8，2)，P(12，0)，∴OD＝8，BD＝2，OP＝12.
∴PD＝OP－OD＝12－8＝4.
∵△A′B′C′与△ABC的相似比为3，
∴PB′PB＝3.∴B′E2＝PE4＝3.
∴B′E＝6，PE＝12.
∵PO＝12，∴E与O点重合，线段B′E在y轴上．
∴B′点坐标为(0，6)．
同理PC′∶PC＝3∶1，
又∵PC＝OP－OC＝12－9＝3，∴PC′＝9.
∴OC′＝12－9＝3.∴C′点坐标为(3，0)．
设线段B′C′所在直线的解析式为y＝kx＋b，则
6＝b，0＝3k＋b，解得k＝－2，b＝6.
∴线段B′C′所在直线的解析式为y＝－2x＋6.
章末复习(二) 相似
01 基础题
知识点1 图形的相似
1．(邯郸育华中学月考)如图，两个等 边三角形， 两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(B)
2．如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝60°，∠E＝120°，DC＝24，HE＝18，HG＝21，则∠F＝60°，∠D＝110°，AD＝28．
知识点2 平行线分线段成比例
3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)
A.CECB＝DFDA B.ADDF＝CEBC
C.CDEF＝ADAF D.CEBE＝AFAD
4．(南皮模拟)如图，已知DE∥BC，EF∥AB，若AD＝2BD，则CFBF的值为(A)
A.12 B.13 C.14 D.23
知识点3 相似三角形的性质与判定
5．(自贡中考)如图，在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1．
6．(邯郸育华中学月考)如图，已知△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F.
(1)求证：△AFE∽△ABC；
(2)若∠A＝60°时，求△AFE与△ABC面积之比．
解：(1)证明：∵∠AFB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，
∴△AFB∽△AEC.
∴AFAE＝ABAC.∴AFAB＝AEAC.
又∵∠A＝∠A，∴△AFE∽△ABC.
(2)∵∠A＝60°，∠AEC＝90°，∴∠ACE＝30°.
∴AE＝12AC.∵△AFE∽△ABC.
∴S△AFES△ABC＝(AEAC)2＝(12)2＝14.
知识点4 相似三角形的应用
7．九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，则旗杆AB的高度为13.5m.
知识点5 位似
8．(滨州中考)在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为(4，6)或(－4，－6)．
02 中档题
9．(长沙中考)如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点M重合(M不与端点C，D重合)，折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD的周长为m，△CMG的周长为n，则nm的值为(B)
A.22 B.12 C.5－12 D．随H点位置的变化而变化
10．(枣庄中考)如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝62＋3．(结果保留根号)
11．(河北中考)如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；
(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)
解：(1)如图所示．
(2)AA′＝CC′＝2.
在Rt△OA′C′中，
OA′＝OC′＝2，得A′C′＝22.
同理可得AC＝42，
∴四边形AA′C′C的周长为4＋62.
12．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm.球目前在E点位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点的位置．
(1)求证：△BEF∽△CDF；
(2)求CF的长．
解：(1)证明：由题意，得∠EFG＝∠DFG.
∵∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°，
∴∠BFE＝∠CFD.
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CDF.
(2)∵△BEF∽△CDF，∴BECD＝BFCF，
即70130＝260－CFCF.∴CF＝169 cm.
13．(杭州中考)如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求AFAG的值．
解：(1)证明：∵AF⊥DE，AG⊥BC，
∴∠AFE＝90°，∠AGC＝90°.
∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC，
又∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AEF＝∠C.
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B.
又∵∠AFD＝∠AGB＝90°，
∴△AFD∽△AGB.∴AFAG＝ADAB.
∵AD＝3，AB＝5，
∴AFAG＝35.
03 综合题
14．(眉山中考)如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G.
(1)求证：BG＝DE；
(2)若点G为CD的中点，求HGGF的值．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°.
∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°.
∵∠BGC＝∠DGF，
∴∠CBF＝∠GDF.
∴△BCG≌△DCE.∴BG＝DE.
(2)设正方形ABCD的边长为a，
∵点G是CD的中点，
∴CB＝a，CG＝GD＝12a.∴BG＝52a.
∵∠CBG＝∠GDF，∠BGC＝∠DGF，
∴△BCG∽△DFG.
∴GFGC＝DGBG，即GF12a＝12a52a.∴GF＝510a.
又∵AB∥CD，∴CGBA＝HGHB＝12.∴HGGB＝13.
∴GH＝13GB＝56a.∴HGGF＝56a510a＝53.
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