考点跟踪突破31　图形的相似
一、选择题
1．(2017?重庆)已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为(　A　)
A．1∶4  B．4∶1  C．1∶2  D．2∶1
2．(2017?枣庄)如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　C　)
 
 ,第2题图)　　　 ,第3题图)
3．(2017?杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(　B　)
A.ADAB＝12  B.AEEC＝12
C.ADEC＝12  D.DEBC＝12
4．(2017?绵阳)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于(　B　)
A．10 m  B．12 m  C．12.4 m  D．12.32 m
 ,第4题图)　　　 ,第5题图)
5．(导学号：65244155)(2017?黑龙江)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F是AD边上的两个动点，且AE＝FD，连接BE，CF，BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是(　C　)
①△ABG∽△FDG；②HD平分∠EHG；③AG⊥BE；④S△HDG∶S△HBG＝tan∠DAG；⑤线段DH的最小值是25－2.
A．2个  B．3个  C．4个  D．5个
二、填空题
6．(2017?临沂)如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O.若BOOC＝23，AD＝10，则AO＝__4__．
 ,第6题图)　　　 ,第7题图)
7．(2017?杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于__78__．
8．(2017?兰州)如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，OEOA＝35，则FGBC＝__35__．
 ,第8题图)　　　 ,第9题图)
9．(2017?内江)如图，在正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°.若PF＝56，则CE＝__76__．
 
10．(2017?齐齐哈尔)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为__113°或92°__．
三、解答题
11．(2018?舟山)如图，△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是多少？
 
解：∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF＝9，AB＝12，∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，∴△CEF和△CBA的面积比＝9∶16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积＝7k，∴S△CDF＝7k，∴DF∶EF＝7k∶9k，∴DF＝7

12．(2017?兰州)如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC＝∠AOD，∠D＝∠BAF.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，CE＝2，求EF的长．
 
解：(1)∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF＋∠FAC＝90°，∵∠D＝∠BAF，∠AOD＝∠FAC，∴∠D＋∠AOD＝90°，∴∠OAD＝90°，∴AD是⊙O的切线　(2)连接BF，∴∠FAC＝∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴ACOC＝AEOA＝CEAC，∴AC5＝AE5＝2AC，∴AC＝AE＝10，∵∠CAE＝∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴AECE＝BEEF，∴102＝8EF，∴EF＝8105

13．(2018?玉林)如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.
(1)△A1B1C1与△ABC的位似比是__2∶1__；
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
(3)设点P(a，b)为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是__(－2a，2b)__．
 
解：(2)如图所示
 
14．(导学号：65244156)(2017?东营)如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点(不与B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式并写出自变量x的取值范围；
(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
 
解：(1)∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∴∠ABD＝∠ACB＝30°，∴∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE
(2)如图1，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB＝90°，
 
∵AB＝2，∠ABF＝30°，∴AF＝12AB＝1，∴BF＝3，∴BC＝2BF＝23，则DC＝23－x，EC＝2－y，∵△ABD∽△DCE，∴ABBD＝DCCE，∴2x＝23－x2－y，即y＝12x2－3x＋2(0＜x＜23)　(3)当AD＝DE时，如图2，由(1)可知：此时△ABD∽△DCE，
 
则AB＝CD，即2＝23－x，x＝23－2，代入y＝12x2－3x＋2，解得y＝4－23，即AE＝4－23；当AE＝ED时，如图3，∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，∴∠DEC＝60°，∠EDC＝90°，则ED＝12EC，
 
即y＝12(2－y)，解得y＝23，即AE＝23，当AD＝AE时，∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，此时点D与点B重合，不符合题意，∴当△ADE是等腰三角形时，AE的长为4－23或23

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