第一章 证明（二）检测题
（本试卷满分：120 分，时间：120分钟）
一、（每小题3分，共30分）
1. 下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；
③等腰三角形的最小边是底边； ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图所示，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE＝∠DAC，DE=AC.运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（ ）
A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.有一组对边平行的四边形是梯形
C.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D.对角线相等的四边形是矩形
3. 如图，在△AB C中， ，点D在AC边上，且 ，
则 ∠A 的度数为（ ）
A. 30°B. 36° C. 45°D. 70°
4.下列命题,其中真命题有（ ）
①4的平方根是2；
②有两边和一角相等的两个三角形全等；
③连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形.
A.0个B.3个C.2个D.1个
5.已知等边三角形的高为2 ，则它的边长为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.5
6.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边 c，则最长边AB的长是（ ）
A.5 c B.6 c C. c D.8 c
7.等腰三角形的底边长为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ）
A. a B. a
C. a D. a
8.下列说法中，正确的是（ ）
A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等
B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等
C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
9.已知一个直角三角形的周长是 2 ，斜边上的中线长为2，则这
个三角形的面积为（ ）
A.5 B.2
C. D.1
10.如图，在△ABC中 ，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果 c， c，那么△ 的周长是（ ）
A.6 c B.7 c
C.8 c D.9 c

二、题（每小题3分，共24分）
11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°,
∠BAC 的平分线与AB的中垂线交于点O，
点 C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 .
12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，
则此三角形是______三角形.
13. 在△ABC和△ADC中，下列论 断：① ；② ； ③ ，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：_______ _____.
1 4.如图，在△ABC中， ，A平分∠ ， c，则点到AB的距离
是_________.

15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则
_________， _________.
16.一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 ．
17.如图，已知 的垂直平分线交 于点 ，则 .

18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点,如果∠ADF=100°,那么∠BD为 度.
三、解答题（共66分）
19.（8分）如图，在△ABC中， ， 是 上任意一点（与
A不重合），D⊥BC，且交∠ 的平分线于点D，求证： .
20.（8分） 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.
举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.应用：如图（2 ），
CD为等边三角形ABC的高.准外心P在高CD上，且PD＝ AB，求∠APB
的度数.
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA
的长.

21.（8分）如图，在四边形 中， ， 平分∠ .求证： .
22.（8分）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边 △DCE，B、E在C、D的同侧，若 ，求BE的长.

23.（8分））如图，在Rt△ABC中， ，
点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．
试猜想线段BE 和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
24.（8分）求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么这两条边所对的
角也不相等.
25.（8分）已知：如图， ， 是 上一点， 于点 ， 的延长
线交 的延长线于点 .求证：△ 是等腰三角形．
26.（10分）在△ 中， ，AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的
延长线于点， .
（1 ）求 的大小.
（2）如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠ 的大小.
（3）你认为存在什么样的规律？试用一句话说明.（请同学们自己画图）
（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？

第一章 证明(二)检测题参考答案
一、
1.B 解析：只有②④正确.
2. C 解析:∵ △ABC是等腰三角形，
∴ AB=AC，∠B=∠C.
∵ DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，即 ，
∴ △ADE≌△DAC，∴ ∠E=∠C，∴ ∠B=∠E，AB=DE.
但是四边形ABDE不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，故选C.
3.B 解析：因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
.又因为 ，
所以 ，
所以 所以
4. D 解析: 4的平方根是±2，有两边和一角相等的两个三角形不一定全等.故命题①②都是假命题，只有命题③是真命题，故选D.
5.A 解析：设等边三角形的边长为a，
则
6.D 解析：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以△ABC为直角三角形，且∠C为直角.
又因为最短边 c，则最长边 c.
7.D 解析：因为等腰三角形的顶角是底角的4倍，所以顶角
是 120°，底角是30°.如图，在△ 中，

则
8.C 解析：A.两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故A项错误；
B.有一腰及顶角对应相等的两个等腰三角形全等，故B项错误；
C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确；
D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，D项错误.
9.B 解析：设此直角三角形为△ABC，其中 因为直角三角形斜边的长等于其中线长的2倍，所以 又因为其周长是 ，所以 .两边平方得 ， .由勾股定理知 ，所以 .
10.D 解析：因为 垂直平分 ，所以 .所以△ 的周
长 （c）.

二、题
11. 100° 解析:如图所示，由AB=AC，AO平分∠BAC得AO
所在直线是线段BC的垂直平分线，连接OB，则OB=OA=OC，
所以∠OAB=∠OBA= ×50°=25°，
得∠BOA=∠COA=

所以∠OBC=∠OCB= =40°.
由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.
12. 直角 解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三角形的
一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.
13.在△ABC和△ADC中，如果 那
么
14.20 c 解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案.
15. 1∶3 解析：因为 ，F是AB的中点，所以 .在Rt△ 中，因为 ，所以 .又 ，所 .
16. 16或17 解析:当等腰三角形的腰长为5时，其周长为5×2+6=16;
当等腰三角形的腰长为6时，其周长为6×2+5=17.∴ 这个等腰三角形的周长为16或17.
17. 解析: ∵ ∠BAC=120 ，AB=AC，
∴ ∠B= ∠C=
∵ AC的垂直平分线交BC于点D，∴ AD=CD. ∴
∴
18. 85 解析:∵ ∠BD =180°-100°-30°=50°，∴∠BD =180°-50°-45°=85°.
三、解答题
19. 证明：∵ ， ，
∴ ∥ ，∴ .
又∵ 为∠ 的平分线，
∴ ，∴ ，
∴ .
20. 分析：应用：分PB＝PC，PA＝PC，PA＝PB三种情况讨论.
探究：同上分三种情况讨论.
解：应用：若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC.
∵ CD为等边三角形的高，∴ AD＝BD，∠PCB＝30°，
∴ ∠PBD＝∠PBC＝30°，∴ PD＝ DB＝ AB，
与已知PD＝ AB矛盾，∴ PB≠PC.
若PA＝PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.
若PA＝PB，由PD＝ AB，得PD＝BD，∴ ∠BPD＝45°，所以∠APB＝90°.
探究：若PB＝PC，设PA＝x，则x2+32=(4-x)2，∴ x= ，即PA＝ .
若PA＝PC，则PA＝2.
若PA＝PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，不可能.故PA＝2或 .
点拨：分类讨论问题要做到不重、不漏.

21. 分析：从条件BD平分∠ABC，可联想到角平分线定理的基本图形，故要作垂线段.
证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，
过D作 于点F.因为BD平分∠ABC，所以 .
在Rt△EAD和Rt△FCD中， ，
所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.
所以∠ =∠ .因为∠ ∠ 80°，
所以∠ ∠ .
22. 解：因为△ABD和△CDE是等边三角形，
所以 ， ∠ ∠ 60°.
所以∠ ∠ ∠ ∠ ，即∠
∠ .在△ 和△ 中，因为
所以△ ≌△ ，所以 .又 ，所以 .
在等腰直角△ 中， ，故 .
23.解： ，BE⊥EC.
证明：∵ ，点D是AC的中点，∴ .
∵ ∠ ∠ 45°，∴ ∠ ∠ 135°.
∵ ，∴ △EAB≌△EDC.
∴ ∠ ∠ ， .
∴ ∠ ∠ 90°.∴ ， ⊥ .
24. 解：已知：如图，在△ 中， ，求证：∠ ∠ .
证明：假设∠ ∠ ，那么根据“等角对等边”可得 ，但已知条件
是 相矛盾，因此∠ ∠ .
25.证明：∵ ，∴ ∠ ∠ ．∵ 于 ，∴ ∠ ∠ ．
∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ．∴ ∠ ∠ ．
∵ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ．∴ △ 是等腰三角形.
26. 解：画出图形如图所示.
（1）因为 ，所以 .
所以 .
因为D是AB的垂直平分线，所以 ，
所以 .
（2）同（1），同理可得 .
（3）AB的垂直平分线与底边BC的延长线所夹的锐角
等于∠A的一半.
（4）将（1）中的 改为钝角，这个规律的认识无需修改，仍有等腰三
角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶
角的一半.

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