2014年1月期末试题分类汇编——代几综合
（2014?石景山1月期末?26.）已知点和点在抛物线上.
（1）求的值及点的坐标；
（2）点在轴上，且满足△是以为直角边的直角三角形，求点的坐标;
（3）平移抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为. 点（2,0）在x轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，最短，求此时抛物线的函数解析式.
26．解：（1） ……………………1分
抛物线解析式为：
……………………2分
(2) 记直线AB与x、y轴分别交于C、D两点，
………………………3分
①以A为直角顶点，则
则
又
…………………4分
②以为直角顶点，则
………………………5分
（3）记点A关于x轴的对称点为
则BE:
令y=0,得
即BE与x轴的交点为……6分
故抛物线向右平移个单位时最短
此时，抛物线的解析式为…………………7分
（2014?西城1月期末?25）已知：二次函数的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）①：二次函数图象的对称轴为 ；
②求二次函数的解析式；
（2） 点D的坐标为（－2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且，求点P的横坐标；
（3）点E在x轴的正半轴上，，点O与点关于EC所在直线对称．作⊥于点N，交EC于点．若E?EC＝32，求点E的坐标．
25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线；1分
②∵ 当x=0时，y=－4，
∴ 点C的坐标为．
∵ ＝12，
∴ AB=6．
又∵点A，B关于直线对称，
∴ A点和B点的坐标分别为，．
∴ ．解得 ．
∴ 所求二次函数的解析式为．2分
（2）如图，作DF⊥x轴于点F．分两种情况：
(?)当点P在直线AD的下方时，如图所示．
由（1）得点A，点D，
∴ DF=1，AF=2．
在Rt△ADF中，，得．
延长DF与抛物线交于点P1，则P1点为所求．
∴ 点P1的坐标为．3分
(?)当点P在直线AD的上方时，延长P1A至点G使得AG=AP1，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示．
可证 △GHA≌△．
∴ HA =AF，GH = P1 F，GA =P1A．
又∵ ，，
∴ 点的坐标是．
在△ADP1中，
，DP1＝５，
，
∴ ．
∴ ．
∴ DA⊥．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
设DG与抛物线的交点为P2，则P2点为所求．
作DK⊥GH于点K，作P2S∥GK交DK于点S．
设P2点的坐标为，
则，．
由，，，得．
整理，得 ．
解得．
∵ P2点在第二象限，
∴ P2点的横坐标为（舍正）．
综上，P点的横坐标为－2或．5分
（3）如图，连接O，交CE于T．连接C．
∵ 点O与点关于EC所在直线对称，
∴ O⊥CE，CE，∠CE ．
∴ C⊥E．
∵ ON⊥E，
∴ C∥N．
∴ C E ．
∴ ．6分
∴ ．
∵ 在Rt△ETO中，，，
在Rt△中，，，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 点E在x轴的正半轴上，
∴ E点的坐标为)．8分
（2014?海淀1月期末?25）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧)，顶点为C， 点D（1，）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点．
（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；
（2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、．求证：平分；
（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标．
25. （本小题满分8分）
解：（1）∵点D（1，）在图象的对称轴上，
∴．
∴．
∴二次函数的解析式为．………………………………………1分
∴C（1，-4）． …………………………………………………………………2分
（2）∵D（1，1），且DE垂直于y轴，
∴点E的纵坐标为1，DE平行于x轴．
∴．
令，则，解得．
∵点E位于对称轴右侧，
∴E．
∴D E =．
令，则，求得点A的坐标为（3,0），点B的坐标为（-1,0）．
∴BD =．
∴BD = D E．……………………………………………………………………3分
∴ ．
∴ ．
∴平分．……………………………………………………………4分
（3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，
且△GDE为直角三角形，
∴△ACG为直角三角形．
∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限，
∴．
∵A（3,0）C（1，-4），,
∴求得G点坐标为（1，1）．
∴AG=，AC=．
∴AC=2 AG.
∴GD=2 DE或 DE =2 GD.
设（t >1） ，
.当点D在点G的上方时，则DE=t -1，
GD = ()=.
i. 如图2，当 GD=2 DE时，
则有， = 2(t-1).
解得，.(舍负)………………………5分
ii. 如图3，当DE =2GD时，
则有，t -1=2().
解得，.(舍负)…………………6分
. 当点D在点G的下方时，则DE=t -1，
GD=1- ()= -.
i. 如图4，当 GD=2 DE时，
则有， =2（t -1）.
解得，.(舍负) ………………………7分
ii. 如图5，当DE =2 GD时，
则有，t-1=2（）.
解得，.(舍负) …………………8分
综上，E点的横坐标为或或或.
（2014?朝阳1月期末?24）在平面直角坐标系中，抛物线过点，且与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.点D的坐标为，连接CA，CB，CD.
（1）求证：；
（2）是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP交BC于点E.
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标；
②连接CP，当△CDP的面积最大时，求点E的坐标.
24.解：（1）∵抛物线y = x2+(+2)x+2过点（2，4），
∴．
∴抛物线表达式为． ………………………1分
∴A(－1，0)，B(6，0)，C(0，2) ．
作B⊥CD，交CD延长线于点，
在Rt△DOC中，
∵OC=OD=2，
∴∠CDO＝∠BD＝45o，CD=．
在Rt△BD中，
∵BD=4，
∴D=B=．
在Rt△CB中，．
在Rt△AOC中，．
∴tan∠BC＝tan∠ACO．
∴∠BCD＝∠ACO． ………………………………………………2分
（2）①，． ……………………………………4分
②设，
过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交CD延长线于点Q，
直线CD的解析式为y＝－x＋2．
∴Q(x，－x＋2)．
．
∴（0＜x＜6）．………5分
当x＝4时，最大，此时． ……………6分
直线PD的解析式为 ．
直线CB的解析式为 ．
PD与CB的交点为． ………………………7分
∴当△CDP的面积最大时，点E坐标为.
（2014?东城1月期末?25）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．
（1）求的值及点A的坐标；
（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．
①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；
②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；
③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．
25．解：（1）由题意可知 ，．
∴ 二次函数的解析式为．
∴ 点A的坐标为（- 2, 0）． …………………………..2分
（2）①∵ 点E（0,1），由题意可知，
．
解得 ．
∴ AA′=． ……………………………..3分
②如图，连接EE′．
由题设知AA′=n（0＜n＜2），则A′O = 2 - n．
在Rt△A′BO中，由A′B2 = A′O2 + BO2，
得A′B2 =(2?n)2 + 42 = n2 - 4n + 20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=n．
又BE=OB - OE=3.
∴在Rt△BE′E中，BE′2 = E′E2 + BE2 = n2 + 9，
∴A′B2 + BE′2 = 2n2 - 4n + 29 = 2(n?1)2 + 27．
当n = 1时，A′B2 + BE′2可以取得最小值，此时点E′的坐标是（1，1）．
……………………………..5分
③如图，过点A作AB′⊥x轴，并使AB′ = BE = 3．
易证△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A′ = BE′，
∴A′B + BE′ = A′B + B′A′．
当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B + B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．
易证△AB′A′∽△OBA′，
∴，
∴AA′=，
∴EE′=AA′=，
∴点E′的坐标是（，1）． ………………………………………….8分
（2014?丰台1月期末?24）已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.
（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大.若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
24．解：（1）∵ 直线y=kx-3过点A（4，0），∴ 0 = 4k -3，解得k=．
∴ 直线的解析式为 y=x-3．……………………………………1分
由直线y=x-3与y轴交于点C，可知C(0，-3) ．
∴ ，解得 =．
∴ 抛物线解析式为 ………………………2分
（2）对于抛物线，
令y=0，则，解得x1=1，x2=4．
∴ B(1，0). ………………………………………………3分
∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t.
若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC（如图1），
∴ △AP1Q1∽△AOC.
∴ , ∴．解得t= ； ………4分
② 若∠P2Q2A=90°, ∵∠P2AQ2 =∠OAC，∴ △AP2Q2∽△AOC.
∴ , ∴ ．解得t=； ………………5分
综上所述，当t的值为或时，以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似．
（3）答：存在．
过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）.
∴ S△ADF=DF?AE，S△CDF=DF?OE．
∴ S△ACD= S△ADF + S△CDF=DF×(AE+OE) =×4 (DE+EF)
=2×()=．…………6分
∴ S△ACD=（0<x<4）．
又0<2<4且二次项系数，∴ 当x=2时，S△ACD的面积最大．
而当x=2时，y=．∴ 满足条件的D点坐标为D (2, )． …………………7分
（2014?大兴1月期末?25.）已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，且，抛物线的顶点为D.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点E(0,n)在y轴正半轴上，且位于点C的下方. 当n在什么范围内取值时
＜？当n在什么范围内取值时＞？
（3）若过点B的直线垂直于BD且与直线CD交于点P，求点P的坐标.
25. 解：（1）设
,
.
.
. …………………1分
. …………………………2分
（2）二次函数的图象的顶点D的坐标为（1，4）
过点D作
………………………………………………………3分
∴OE=1
……………………………………4分
（3）为直角三角形
设直线CD的解析式为，
∵C点坐标（0，3），D点坐标（1，4）
∴直线CD的解析式为
∴直线CD与x轴交点K的坐标为（-3，0）
∴OC=OK=3
过点P作轴于F
………………………………………………8分
（2014?怀柔1月期末?25）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧），已知点坐标为（6，0）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）联结 AB，过点作线段的垂线交抛物线于点,如果以点为圆心的圆与抛物线的对称轴相切，先补全图形，再判断直线与⊙的位置关系并加以证明；
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间.问：当点运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积.
25. （本小题满分8分）
（1）解：∵抛物线的顶点为（4,1），
∴设抛物线解析式为.
∵抛物线经过点（6，0），∴.∴.
∴.
所以抛物线的解析式为………………………………3分
(2) 补全图形、判断直线BD与⊙相离. ………………………………4分
证明：令=0，则，. ∴点坐标（2，0）.
又∵抛物线交轴于点，∴A点坐标为（0，-3），∴.
设⊙与对称轴l相切于点F，则⊙的半径CF=2，
作⊥BD于点E，则∠BEC=∠AOB=90°.
∵，∴.
又∵，∴.
∴∽，∴.
∴，∴.
∴直线BD与⊙相离 ………………………………6分
(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.
∵A（0，-3），（6，0）.
∴直线解析式为.
设点坐标为（，），
则点的坐标为（，）.
∴PQ=-()=.
∵,
∴当时，的面积最大为.………………………………7分
∵当时，=
∴点坐标为（3，）. ………………………………8分
综上：点的位置是（3，），的最大面积是
（2014?密云1月期末?24）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
(1)如图①，当PA的长度等于 ▲ 时，∠PAB＝60°；
当PA的长度等于 ▲ 时，△PAD是等腰三角形；
(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．
（2014?房山1月期末?25）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O’的切线，AD⊥CD于点D．
（1）求证：∠CAD =∠CAB；
（2）已知抛物线过A、B、C三点，AB=10 ，tan∠CAD=．
① 求抛物线的解析式；
② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
③ 在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．
解：
25. (1)证明：连接O'C,∵ CD是⊙O’的切线 ∴ O'C⊥CD.....................................1分
∵ AD⊥CD,∴ O'C‖AD,∴ ∠O’CA=∠CAD
∵ O’A=O'C, ∴∠O’CA=∠CAB ∴ ∠CAD=∠CAB ............................................2分
(2)∵AB是⊙O’的直径，∴∠ACB=90°.
∵OC⊥AB,∴∠CAB=∠OCB,∴∆CAO∽∆BCO∴即OC²=OA∙ OB
∵tan∠CAO=tan∠CAD=, ∴AO=2CO
又 ∵AB=10,∴OC²=2CO(10-2CO), ∵CO>0 ∴CO=4,AO=8,BO=2
∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4) ..................................................................................................3分
∵ 抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点，∴c=4
∴ 解得 .............................4分
设直线DC交x轴于点F，易得∆AOC∽∆ADC
∴ AD=AO=8, ∵O'C‖AD ∴∆FO’C∽∆FAD ∴
∴8(BF+5)=5(BF+10), ∴ BF=, F(,0)
设直线DC的解析式为y=kx+,则 即
∴ ..................................................................................5分
由
将E（-3，）代入直线DC的解析式中
右边=
∴ 抛物线顶点E在直线CD上 ..................................................................................6分
存在, .................................................................................8分
（2014?顺义1月期末?25）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点A（6，0）和点B（3，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿x轴翻折得抛物线，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
25．解：（1）依题意，得 解得
∴抛物线的解析式为．……………………… 2分
（2）将抛物线沿x轴翻折后，仍过点O（0，0），A（6，0），还过点B关于x轴的对称点．
设抛物线的解析式为，
∴ 解得
∴抛物线的解析式为．………………………5分
（3）过点B作BC⊥x轴于点C，
则有．
∴，．
∵OC=3，OA=6，
∴AC=3.
∴，．
∴OB=AB．
即是顶角为120⩝的等腰三角形．
分两种情况：
①当点在x轴下方时，
就是，此时点的坐标为．
②当点在x轴上方时，假设，
则有A=OA=6，．
过点作D⊥x轴于点D，则．
∴，． ∴OD=9.
而（9，）满足关系式，
即点在抛物线上．
根据对称性可知，点也满足条件．
综上所述，点的坐标为，，．
……………………………… 8分
（2014?燕山1月期末?25.）定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0,8），AB为半圆的直径，半圆的圆心的坐标为（1,0），半圆半径为3．
（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式 ，
自变量的取值范围是 ；
（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的
交点坐标；
（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．
解：（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为， …………………2分
自变量的取值范围是； …………………3分
（2）如图，连接，设过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点为．
∴． …………………4分
∵，
在中，∵，，
∴，
…………………5分
∵∽，
∴，∴．
∴点的坐标为（-8.，0）． ……………6分
（3）设过点，“蛋圆”切线的解析式为．
由题意得，方程组只有一组解，……………7分
即有两个相等实根， ∴
∴过点“蛋圆”切线的解析式为． ………8分
（2014?平谷1月期末?25）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过A、C、B的抛物线的一部分与经过点A、D、B的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点是抛物线：的顶点．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当为直角三角形时，直接写出的值．______
25. 解：（1）在中，
令y=0，则，解得x=3或x= -1．
∴A、B两点的坐标为：A（-1，0）、B（3，0）．-------------------------------2分
（2）设过A、B、C三点的抛物线解析式为，
把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）代入中，得
解得
∴ ．-------------------3分
设过B（3，0）、C（0，）两点的解析式为
，
代入，得．-----------------------------------------------------------------------4分
设“蛋线”在第四象限上存在一点P，过P点作PH⊥AB，垂足为H，交BC于点G.
设H点坐标为（x，0），则G（x，），P（x，）．
则PG=-()=.----------------------------------------5分
∵
∴“蛋线”在第四象限上存在使得面积最大的点P，
最大面积是．---------------------------------------------------------6分
（3）或-----------------------------------------------------8分
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