第2章 命题与证明检测题
（时间：90分钟，分值：100分）
一、（每小 题3分，共30分）
1. 下面四个定义中不正确的是（　　）
A.数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值
B.有一组邻边相等的四边形叫菱形
C.有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形
D.两腰相等的梯形叫等腰梯形
2.有如下命题：①无理数就是开方开不尽的数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；
③无理数包括正无理数，0，负无理数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l或0．其中错误的个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
　 A．一组对角相等　 B．对角线互相平分
C．一组对边相等　 D．对角线互相垂直
4.有下列四个命题:
(1)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(2)两条对角线相等的四边形是菱形；
(3)两条对角线互相垂直的四边形是正方形；
(4)两条对角线相等且互相垂直的四 边形是正方形.其中正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是( )
A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
6. 如图，在△ 中， 的垂直平分线分别交 于点 ， 交 的延长线于点 ，已知∠ °， ， ，则四边形 的面积是（　　）
A. B. C. D.

7.如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中 的度数是（ ）
A． B． C． D．

8.用反证法证明“△ 中，若 ，则 ”，第一步应假设（　　）
A. B. C. D.
9.如图，将一个长为 ，宽为 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻 边中点的连线（虚线）剪下，将剪下的部分打开，得到的菱形的面积为（ ）
A. B． C． D．

10. 如图是一张矩形纸片 ， ，若将纸片沿 折叠，使 落在 上， 点 的对应点为点 ，若 ，则 （　　）
A． B． C． D．

二、题（每小题3分，共24分）
11. 如图，在四边形 中，已知 ，再添加一个条件___________（写出一个即可），则四边形 是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)

12.命题：“如果 ，那么 ”的逆命题是________________，该命题是_____命题（填真或假）．

13.如图， 在菱形 中，对角线 相交于点 ，若再补充一个条件能使菱形 成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）．

14.如图，在△ 中 ， 分别是∠ 和∠ 的角平分线，且 ∥
， ∥ ，则△ 的周长是_______

15.如图，矩形 的对角线 ， ，则图
中五个小矩形的周长之和为_______．
16.如图，在等腰梯形 中， ∥ ， = ， ，
∠ ， ，则上底 的长是_______ .
17.有下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③一元二次方程 ，若 ＜ ，则方程必定有实数根；④若 ，则 ＞ ，其中是真命题的是______．
18.有这样一个游戏：把100根火柴堆在一起，两人轮流取火柴，每人每次最少取1根，最多取10根，谁能取到最后剩下的火柴，谁就是胜者，则先取者为战胜对手，第一次应取____根火柴．
三、解答题（共46分）
19.(5分)如图，在△ 中， 两点 分别在 和 上，求证： 不可能互相平分．
20. (8分)已知 是整数， 能被 整除，求 证： 和 都能被 整除．(用反证法证明)

21.（5分）已知：如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点 ， 过点 分别交 于点 求证： .
22.（9分）如图，在△ 中，∠ ， 的垂直平分线 交 于 ，交 于 ，
在 上，且 ．
⑴求证：四边形 是平行四边形；
⑵当∠ 满足什么条件时，四边形 是菱形，并说明理由．

23.（5分）已知：如图，在 中， 、 是对角线 上的两点，且 求证：
24.（5分）已知：如图， ， 是 上一点， 于 ， 的延长线交 的延长线于 .求证：△ 是等腰三角形．

25.（9分）已知：如图，在△ 中， ， ，垂足为 ， 是△ 外角∠ 的平分线， ，垂足为 .
（1）求证：四边形 为矩形；
（2）当△ 满足什么条件时，四边形 是一个正方形？并给出证明．
矩形 是正方形．

第2章 命题与证明检测题参考答案
1.B 解析：A、C、D都正确，B.由图可知，四边形符合B项的要求，
但不是菱形.
2.D 解析：①开方开不尽的数是无理数，但无理数就是开方开不尽的数是错误的，例如 故①错误；②一个实数的立方根不是正数就是负数，还可能是0，故②错误；③无理数包括正无理数和负无理数，不包括0，故③错误；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l，0，或 ，故④错误.故选D．
3.B 解析：利用平行四边形的判定定理知B正确.
4.D 解析：只有（1）正确，（2）（3）（4）错误.
5.C 解析：由四边形的两条对角线相等，知顺次连接该四边形各边中点所得的四边形的四条边相等，即所得四边形是菱形.
6.A 解析：∵ 是 的垂直平分线， 是 的中点，∴ ∥ ，
∴ ∠ ，∴ 四边形 是矩形．
∵∠ °，∠ °， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 四边形 的面积为 ．
7.A 解析：观察图形可知等腰梯形的三个钝角之和为 所以等腰梯形的钝角为 ，所以 .
8.D 解析： 与 的大小关系有 ， ， 三种情况，因而 的反面是 ．因此用反证法证明“ ”时，应先假设 ．故选D．
9.A 解析：由题意知 4 ， 5 ，
10.A 解析：由折叠知 ，四边形 为正方形，∴ .
11. ∥ 或 ∠ ∠ 或∠ ∠ (答案不唯一)
12.如果 ，那么 假 解析：根据题意得，命题“如果 ，那么 ”的条件是“ ”，结论是“ ”，故逆命题是“如果 ，那么 ”，该命题是假命题．
13. （或 ， 等）
14. 解析：∵ 分别是∠ 和∠ 的角平分线，
∴ ∠ ∠ ，∠ ∠ .
∵ ∥ ， ∥ ，∴ ∠ ∠ ，∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ，∠ ∠ ，∴ ， ，
∴ △ 的周长 ．
15.28 解析：由勾股定理得 ，又 ， ，所以 所以五个小矩形的周长之和为
16.2 解析：∠ ，∵ 等腰梯形 中，∠ ∠ ，
又∠ ∠ ∠ ∵ ∥ ∴∠ ∠ ∠ .
∴ .
17. ③ 解析：由 ，得 ，可以求出很多结果，故①是假命题；由 ，得 或 ，故②是假命题；在一元二次方程中，若判别式 ，则方程有两个不相等的实数根，因为 ，则判别式 一定大于 ，故③是真命题；若 ，则 ，故④是假命题．
18.1 解析：因为每人每次取的火柴不能超过10根，所以先取者只需到最后一次给后取者剩下11根，因此，不管后取者取多少根，最后的赢家定是先取者．为此，先取者取后留下的根数为11的倍数，即99，88，77，66，44，33，22，11．所以先取者为战胜对手，第一次应取1根火柴．故答案为1．

19.证明：假设 可以互相平分，
连接 ，则四边形 是平行四边形，
∴ ∥ ，与△ 相矛盾.
∴ 不可能互相平分．
20.证明：如果 不都能被 整除，那么有如下两种情况：
（1） 两数中恰有一个能被 整除，
不妨设 ， ，
令 ， ，于是
，
不是3的倍数，与已知矛盾.
（2） 两数都不能被 整除，令 ， ，则

，
不能被 整除，与已知矛盾.
由此可知， 都是 的倍数．
21.证明：∵ 四边形 是平行四边形，∴ ∥ ， ，
∴ ∴ △ ≌△ ，故 .
22.（1）证明：由题意知∠ ∠ ，
∴ ∥ ，∴ ∠ ∠ .
∵ ，∴∠ ∠AEF =∠EAC =∠ECA .
又∵ ，∴ △ ≌△ ，∴ ，∴ 四边形 是平行四边形 ．
（2）解：当∠ 时，四边形 是菱形 ．理由如下：
∵ ∠ ，∠ ，∴ . ∵ 垂直平分 ，∴ .
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ 平行四边形 是菱形．
23.证明:∵ 四边形 是平行四边形,∴
∴ .
在 和 中， ，
∴ ，∴ .
24.证明：∵ ，∴ ∠ ∠ ．
∵ 于 ，∴ ∠ ∠ ．
∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ．∴ ∠ ∠ ．
∵ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ．∴ △ 是等腰三角形.
25.（1）证明：在△ 中， ， ，∴ ∠ ∠ .
∵ 是△ 外角∠ 的平分线，
∴ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ∠ .
又∵ ， ，∴ ∠ ∠ ，∴ 四边形 为矩形． （2）解：给出正确条件即可．
例如，当 时，四边形 是正方形．
∵ ， 于 ，∴ .
又∵ ，∴ .
由（1）四边形 为矩形，∴ 矩形 是正方形．

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