第一章 图形与证明（二）检测题
【本检测题满分：100分，时间：90分钟】
一、（每小题3分，共30分）
1.如图，在△ABC中， ，点D在AC边上，且 ，则∠A的度数为（ ）
A. 30° B. 36° C. 45° D. 70°
2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果 5 c，
4 c，那么△DBC的周长是（ ）
A.6 c B.7 c C.8 c D.9 c

3.使两个直角三角形全等的条件有（ ）
A.一锐角对应相等 B.两锐角对应相等
C.一条边对应相等 D.两条边对应相等
4.（2012年浙江台州中考）如图，点D,E,F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（ ）
A．5B．10[:学科网] C．20D．40
5.如图，在平行四边形 中，对角线 , 相交于点 O，
若 ， 的和为18 c， ，△AOB的周长为
13 c，那么BC的长是（ ）
A.6 c B.9 c
C.3 c D.12 c
6.（2012年长沙中考）下列四边形中，对角线一定不相等的是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.等腰梯形 D.直角梯形
7.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）
A.150° B. 135° C. 120° D. 100°
8.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（ ）
①平行四边形;②菱形;③等腰梯形;④对角线互相垂直的四边形.
A.①③ B.②③ C.③④ D.②④
9.已知一矩形的两边长分别为10 c和15 c，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）
A.6 c和9 c B. 5 c和10 c C. 4 c和11 c D. 7 c和8 c
10.在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且 ， ，则梯形两腰中点的连线EF的长是（ ）
A.10 B . C. D.12
二、题（每小题3分，共30分）
11.（2012年哈尔滨中考）一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为__ _______.

12.如图，已知∠ 120°， ，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ ______.
13.如图，在△ 中，∠ 90°， 平分∠ ， 20 c，则点到AB的距离
是_________.

14.用 两个全等的直角三角形拼下列图形：
①平行四边形（非菱形、矩形和正方形）;
②矩形;
③正方形;
④等腰三角形.
一定可以拼成的图形是_________.(把所有符合条件的图形的序号都写上)
15.（2012年宁夏中考）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是_________.
16．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E，F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要添加的 一个条件是____ _____．(只需写出一个符合题意的条件即可)

17.如图，在梯形 中， ∥ ，中位线 与对角线 ， 分别交于 ， 两点，若
18 c， 8 c，则AB的长等于 _____．
18.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别从点B，D同时以同样的速度沿边BC，DC向点C运动.给出以下四个结论：
① ;
② ∠ ∠ ;
③ 当点E，F分别为BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；
④ 当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大.
上述结论正确的序号有 .
19.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使 ，则∠BCE的度数是

20.如图，矩形 的两条对角线交于 点 ，过点 作 的垂线 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ，已知△ 的周长为24 c，则矩形 的周长是 c．

三、解答题（共40分）
21.（5分）如图，在△ABC中，∠B=90°，是AC上任意一点（与A不重合），D⊥BC，D交∠BAC的平分线于点D，求证： .

22.（5分）如图，在四边形ABCD中， ， ，BD平分∠A BC.
求证：∠ ∠ 180°.
23.（5分）用反证法证明：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等.
24.（5分）辨析纠错.
已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，
DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.
对于这道题，小明是这样证明的.
证明：∵ 平分∠ ，∴ ∠1＝∠2（角平分线的定义）.
∵ ∥ ，∴ ∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）.
∴ ∠1＝∠3（等量代换）.
∴ （等角对等边）.同理可证： .
∴ 四边形 是菱形（菱形定义）.
老师说小明的证明过程有错误，你能看出来吗？
(1)请你帮小明指出他错在哪里.
(2)请你帮小明做出正确的解答.
25.（6分）（2012年浙江温州中考）如图，在△ABC中，
∠B=90°，AB=6 c，BC=8 c．将△ABC沿射线BC方
向平移10 c，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是
D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．
26.（7分）（2012年宁夏中考）正方形ABCD的边长为3，
E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°．将
△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DC．
（1）求证：EF=F；
（2）当AE=1时，求EF的长．
27.（7分）已知在等腰梯形 D中， ∥ .
(1)若 ， ，梯 形的高是4，求梯形的周长；
(2 )若 ， ，梯形的高是h，梯形的周长为c，
请用 表示c；
(3)若 ， ， .求证： ⊥ .

第一章 图形与证明（二）检测题参考答案
一、
1.B 解析：因为 ，所以∠ =∠ .
因为 ，所以∠ ∠ ，∠ ∠ C.
又因为∠ ∠ ∠ ，所以∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 2∠ ，
所以∠ 2∠ 2∠ 180°，所以∠ 36°.
2.D 解析：因为 垂直平分AB，所以 .
所以△ 的周长＝ (c).
3.D 解析：直角三角形的全等比一般三角形的全等更容易判断，它们本身已有一对角对应相等，只要再有两条边对应相等即可.
4.C 解析: 根据中位线定理可得BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，继而结合△DEF的周长为10，可得出△ABC的周长．
∵ D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴ DE，DF，EF都是△ABC的中位线，
∴ BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，故△ABC的周长=AB+BC+AC=2（FE + DF +DE）=20．
故选C．
5.A 解析：因为 ， ， 18 c，所以 9 c.
因为△AOB的周长为13 c，所以 （c）.
又因为 ， ， ，所以 c.
6.D 解析：正方形、矩形、等腰梯形的对角线一定相等，直角梯形的对角线一定不相等.
7.C 解析：如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，AF⊥BC，连接AC.因为 ，所以AE是CD的中垂线，所以 ，所以三角形ADC是等边三角形，所以∠ 60°，从而∠ 120°.

8.D 解析:因为顺次连接任意一个四边形的各边中点，得到的是平行四边形，而要得到矩形，根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以该四边形的对角线应互相垂直，只有②④符合.
9.B 解析:如图，在矩形ABCD中， 10 c， 15 c， 是∠ 的平分线，则∠ ∠ C.由AE∥BC得∠ ∠AEB，所以∠ ∠AEB，即 ，所以 10 c， (c)，故选B.
10.C 解析:如图，作 ∥ ，则四边形 为平行四边形， ， .
又 ⊥ ， ， ，所以 ⊥ .
根据勾股定理得 ，
根据梯形中位线的定义， .
二、题
11.16或17 解析：当等腰三角形的腰长为5时，其周长为5×2＋6=16;当等腰三角形的腰长为6时，其周长为6×2＋5=17.所以这个等腰三角形的周长为16或17.
12.60° 解析:由题意可知 ，所以∠ ∠ .
又∠ ∠ 30°，所以∠ ∠ ∠ 60°.
13.20 c 解析:根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得.
14.①②④ 解析：两全等的直角三角形对应的直角边叠合，当一个直角三角形的直角顶点对应另一个直角三角形的非直角顶点时，拼成平行四边形（非矩形、菱形、正方形）；
当一个直角三角形的直角顶点对应另一个直角三角形的直角顶点时，拼成等腰三角形.
两全等的直角三角形对应的斜边叠合，两互余角的顶点对应时，拼成矩形.
15.6 解析:较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形，所以较短对角线的长为6.
16.答案不唯一，只要正确即可，如 或∠ ∠ .
17.26 c 解析:由EF是梯形ABCD的中位线，则EF∥CD∥AB，且 ， ，则 所以E是△ADC的中位线，所以 DC.
同理， DC.
所以 所以 .
又F为△ABC的中位线，所以 26 c.
18.①②③ 解析：因为四边形ABCD为菱形，所以AB AD CB CD，∠B=∠D，BE=DF，所以△ ≌△ ，所以AE AF，①正确.
由CB=CD，BE=DF得CE=CF，所以∠CEF=∠CFE，②正确.
当E，F分别为BC，CD的中点时，BE=DF= BC= DC.连接AC，BD，知△ 为等边三角形，所以 ⊥ ， ⊥ ，所以∠AEF= ，由①知AE AF，故△ 为等边三角形，③正确.
设菱形的边长为1，当点E，F分别为边BC，DC的中点时， 的面积为 ，而当点E，F分别与点B，D重合时， = .故④错.
19.22.5° 解析:由四边形 是正方形，得∠ ∠ 又 ，所以 ，所以∠
20.48 解析:由矩形 可知 ，又 ⊥ ，所以 垂直平分 ，所以 .已知△ 的周长为24 c，即
所以矩形ABCD的周长为
三、解答题
21.证明：∵ ⊥ ，且∠ 90°，∴ ∥ ，
∴ ∠ ∠D.
又∵ AD为∠ 的平分线，∴ ∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ，∴ .
22.分析：从条件BD平分∠ABC，可联想到角平分线定理
的基本图形，故要作垂线段.
证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，
过点D作 于点F.
因为BD平分∠ ，所以 .
在Rt△ 和Rt△ 中 ， ，
所以Rt△ ≌Rt△ (HL).
所以∠ ∠ .因为∠ ∠ 180°，
所以∠ ∠ 180°.
23.解：已知：如图，在△ABC中， ，
求证：∠ ∠ .
证明：假设∠ ∠C，那么根据“等角对等边”可得 ，
但已知条件是 ，矛盾，因此∠ ∠ .
24.解：能.⑴小明错用了菱形的定义.
⑵改正：∵ ∥ ， ∥ ，∴ 四边形 是平行四边形.
∵ 平分∠ ，∴ ∠ ∠2.
∵ ∥ ，∴ ∠ ∠2，∴ ∠ ＝∠3.
∴ ，∴ 平行四边形 是菱形.
25.分析：根据平移的性质可得CF=AD=10 c，DF=AC=10 c，就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论．
证明：由平移变换的性质得CF=AD=10 c，DF=AC.
∵ ∠B=90°，AB=6 c，BC=8 c，∴ AC=10 c.
∴ AC=DF=AD=CF=10 c，∴ 四边形ACFD是菱形．
26.（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DC，∴∠FC=∠FCD+∠DC=180°，
∴ F，C，三点共线，DE=D，∠ED=90°，∴∠EDF+∠FD=90°.
∵ ∠EDF=45°，∴∠FD=∠EDF=45°.
在△DEF和△DF中，DE=D，∠EDF=∠DF，DF=DF，
∴△DEF≌△DF（SAS），∴ EF=F.
（2）解：设EF=F=x，∵AE=C=1，且BC=3，∴ B=BC+C=3+1=4，
∴BF=B－F=B－EF=4－x.
∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，
由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4－x）2=x2，
解得：x= ，即EF= .
27. (1) 解:如图，作DE∥AB，DF⊥BC.
因为AD∥BC ，所以四边形ABED是平行四边形，
所以AB=DE，AD=BE.
因为AB=CD，所以DE=DC.
又DF⊥BC，所以EF=FC.
因为AD=5，BC=11， 梯形的高是4，
所以EC=BC－AD=6，EF=FC=3，DF=4，
从而 ，
梯形的周长为AB+BC+CD+AD=5+11+5+5=26.
(2) 解：若AD=a，BC=b，梯形的高是h，则DF=h，EF=FC= (b-a)， .
所以梯形的周长c=AB+BC+CD+AD= .
(3)证明：如图，过点D作AC的平行线，交BC的延长线于点E.
由等腰梯形的性质得AC=BD.因为AD∥BC， ED∥AC，
所以四边形ACED是平行四边形，
所以AD=CE，AC=DE，从而BD=DE= .
又BE=BC+CE=BC+AD=10，
所以 ，
所以DE⊥BD，即AC⊥BD.

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