第3章 一元二次方程检测题
（时间：90分钟，满分：100分）
一、（每小题3分，共30分）
1.下列方程一定是一元二次方程的是 （ ）
A. B.
C. D.
2 . 是关于 的一元二次方程，则 的值应为（ ）
A. ＝2 B. C. D.无法确定
3.若 是关于 的方程 的根，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
4.方程 （ ）的根是（ ）
A. B. C . D.
5.方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
6.如果关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
7.定义：如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直 角三角形的斜边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
9. 某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积
增加 44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）
A. B. C. D.
10.当代数式 的值为7时，代数式 的值为（ ）
A.4 B.2 C.-2 D.-4
二、题（每小题3分，共24分）
11.若 是完全平方式，则 的值等于_____ ___．
12.无论 取任何实数，多项式 的值总是_______数．
13.如果 ，那么 的关系是________．
14.如果关于 的方程 没有实数根，则 的取值范围为_____________.
15.方程 的解是__________________．
16 .已知 是关于 的方程 的一个根，则 _______．
17.写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________．
18.三角形的每条边的长都是方程 的根,则三角形的周长是____________．
三、解答题（共46分）
19.（5分）在实数范围内定义运算“ ”，其法则为： ，求方程（4 3） 的解．
20.（5分）若关于 的一元二次方程 的常数项为0，求 的值是多少.
21.（5分）如果 的值．
22.（5分）求证：关于 的方程 有两个不相等的实数根．
23.（6分）若关于 的一元二次方程 没有实数解，求 的解集（用含 的式子表示）．
24．（6 分）在长为 ，宽为 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长.
25．（6分 ）若方程 的两 根是 和 ，方程 的正根是 ，试判断以 为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积 ；若不存在，说明理由．
26.（8分）如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点 处．甲沿着喀
什路以 的速度 由西向东走，乙沿着北京路以 的速度由南向北走．当乙走到
点以北 处时，甲恰好到点 处．若两人继续向前行走，求两个人相距 时各自
的位置．
第3章 一元二次方程检测题参考答案
1.D 解析：A是分式方程；B是二元二次方程；C中只有在满足 的条件下才是一元二次方程；D选项二次项系数 恒成立.故根据定义判断选D.
2.C 解析：由题意得， ，解得 .故选C.
3.D 解析：将 代入方程得 ，∵ ，∴ ，
∴ .故选D.
4.A 解析：原方程可化为 ，∴ ．
5.A 解析：∵ ，∴ ,∴ .故选A.
6.B 解析：依题意得, ,解得 且 .故选B．
7.A 解析：依题意得, ,代入得 ,
∴ ,∴ .故选A．
8.B 解析：设 和 是方程 的两个根，解方程 ，得 ∴ ∴ 这个直角三角形的斜边长是3，故
选B.
9. B 解析：设这两年平均每年绿地面积的增长率是 ，由题意知
所以这两年平均每年绿地面积的增长率是 .
10.A 解析： 当 时，即 ，
∴ 代数式 .故选A.
11.10或 解析：若 是完全平方式，则 ，
∴ ．
12.正 解析： .
13. 解析：原方程可化为 ，∴ .
14. 解析：∵Δ＝ ，∴ ．
15. 解析：选用因式分解法较好.
16. 或 解析：将 代入方程 得: ,
解得 .
17.答案不唯一：如 .
18.6或10或12 解析：解方程 ，得 , .∴三角形的每条边的长可以为2、2、2或2、4、4或4、4、4（2、2、4不能构成三角形，故舍去），∴三角形的周长是6或10或12.
19.解：∵ ，
∴ ．
∴ ．∴ ．∴ ．
20.解:由题意得 时，即 时，关于 的一元二次方程 的常数项为 .
21.解：原方程可化为 ，
∴ ，∴ = ．
22.证明：∵Δ＝ 恒成立，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
23.解：∵ 关于 的一元二次方程 没有实数根，
∴ ，∴ ．
∵ ,即 ，∴ ． ∴ 所求不等式的解集为 .
24．解：设小正方形的边长为 .
由题意得， . 解得 .
经检验， 符合题意， 不符合题意，舍去. ∴ .
答：截去的小正方形的边长为 .
25．解：解方程 ，得 ．
方程 的两根是 ．
所以 的值分别是 ．
因为 ，所以以 为边的三角形不存在．
26.解：设经过 秒，两人相距 ，根据题意得：
，化简得 ，
解得 , （不符合实际情况，舍去）.
当 时， 36， ,
所以当两人相距 时，甲在 点以东 处，乙在 点以北 处. 来
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