第2章 命题与证明检测题
（本检测题 满分：120分，时间：120分钟）
一、（每小题3分，共30分）
1.（2013•湖南湘潭中考）下列命题正确的是（　　）
A.三角形的中位线平行且等于第三边
B.对角线相等的四边形是等腰梯形
C.四条边都相等的四边形是菱形
D.相等的角是对顶角
2.有如下命题：①无理数就是开方开不尽的数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；
③无理数包括正无理数、0、负无理数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l或0．其中错误的个数是（　　）
A.1 B. 2 C.3 D.4
3.下 列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A ．一组对角相等　 B．对角线互相平分
C．一组对边相等　 D．对角线互相垂直
4.（2013•四川攀枝花中考）下列命题错误的是（ ）
A.菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半
B.矩形的对角线相等
C.有两个角相等的梯形是等腰梯形
D.对角线相等的菱形是正方形
5.若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是( )
A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
6.如图，在 中， 的垂直平分线分别交 于点 ， 交 的延长线于点 ，已知 则四边形 的面积是（　　）
A. B. C. D.

7.(2013•四川遂宁中考)如图，在 中，∠ 90°，∠ 30°，以点 为圆心，任意长为半径画弧分别交 于点 和 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长交 于点 ，则下列说法中正确的个数 是（ ）
① 是∠ 的平 分线；②∠ 60°；③点 在 的中垂线上；④
.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.用反证法证明“在 中，若 ，则 ”，第一步应假设（　　）
A. B. C. D.
9.如图，将一个长为 ，宽为 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的
连线（虚线）剪下，将剪下的部分打开，得到的菱形的面积为（ ）
A. B． C． D．

10.如图，是一张矩形纸片 ， ，若将纸片沿 折叠，使 落在 上，点 的对应点为点 .若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
二、题（每小题3分，共24分）
11.如图，在四边形 中，已知 ，再添加一个条件___________（写出一个即可），则四边形 是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)

12.命题：“如果 那么 ”的逆命题是________________，该命题是_____命题（填真或假）．
13.如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ，若再补充一个条件能使菱形 成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个 条件即可）
14.如图，在 中, ， 分别是 和 的角平分线，且 ， ，则 的周长是_______ .

15.如图，矩形 的对角线 ， ，则图中五个小矩形的周长之和为_______．
16.如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ， ，则上底 的长是_______ .
17.（2013•山东莱芜中考改编）下列命题是真命题的是 .
① 与 互为倒数；②若 ，则 ；③梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半.
18 .写一个与直角三角形有关的 定理 .
三、解答题（共66分）
19.(6分)如图，在 中， 两点分别在 和 上，求证： 不可能互相平分．
20.(8分)已知 是整数， 能被3整除，求证： 和 都能
被3整除．(用反证法证明)
21.（8分）如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点 ， 过点 且分别交 于点 .求证： .

22.（10分）如图，在 中， , 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，点 在 上，且 ．
⑴求证：四边形 是平行四边形.
⑵当 满足什么条件时，四边形 是菱形？并说明理由．
23.（10分）如图，在平行四边形 中， 是对角线 上的两点，且 .求证: .

24.（12分）如图， ， 是 上一点， 于点 ， 的延长线 交 的延长线于点 .求证： 是等腰三角形．
25.（12分）如图，在 中， ，垂足为 ， 是 外角 的平分线， ，垂足为 .
（1）求证：四边形 为矩形.
（2）当 满足什么条件时，四边形 是一个正方形？并给出证明．

第2章 命题与证明检测题参考答案
1.C 解析：因为三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以选项A错误；因
为对角线相等的四边形还有矩形等，所以选项B错误；因为相等的角有很多，不一定都是
对顶角，所以选项D错误.故选C.
2.D 解析：①开方开不尽的数是无理数，但无理数就是开方开不尽的数是错误的，例如 ，故①错误；②一个实数的立方根不光是正数、负数，还可能是0，故②错误；③无理数包括正无理数和负无理数，不包括0，故③错误；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l，0或 ，故④错误.故选D．
3.B 解析：利用平行四边形的判定定理知B正确.
4.C 解析：直角梯形有两个角相等，都是90°，但它不是等腰梯形，故选项C是错误的.
5.C 解析：由四边形的两条对角线相等，知顺次连接该四边形各边中点所得的四边形的四条边相等，即所得四边形是菱形.
6.A 解析：∵ 是 的垂直平分线， 是 的中点，∴ ，
∴ ，∴ 四边形 是矩形．
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 四边形 的面积为 ．
7.D 解析：①根据作图的过程可知， 是∠ 的平分线，故①正确.
②因为在△ 中，∠ 90°，∠ 30°，所以∠ 60°.
又因为 是∠ 的平分线，所以∠ ∠ ∠ 30°，
所以∠ 90°－∠ 60°，故②正确.
③因为∠ ∠ 30°，所以 ，所以点 在 的中垂线上，故③正确.
④因为在 中，∠ 30°,所以 ，
所以 ，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，故④正确.
综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个，故选D.
8.D 解析： 与60°的大小关系有 ， ， 三种情况，因而 的反面是 ．因此用反证法证明“ ”时，应先假设 ．故选D．
9.A 解析：由题意知 ， ，
10.A 解析：由折叠的性质知 ，则四边形 为正方形，
∴ .
11. 或 或 (答案不唯一)
12.如果 ，那么 假 解析：根据题意知，命题“如果 ，那么 ”的条件是“ ”，结论是“ ”，故逆命题是“如果 ，那么 ”，该命题是假命题．
13. （或 ， 等）
14.5 解析：∵ 分别是 和 的角平分线，
∴ ， .
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 的周长 ．
15.28 解析：由勾股定理得 ，又 ，所以 ，
所以五个小矩形的周长之和为 .
16.2 解析： .
∵ 在等腰梯形 中， ，
∴ .
∵ ,∴ .
∴ .
17. ①② 解析：对于③，因为 ，其中 分别是梯形上底的长、下底的长及高，而梯形中位线 ，所以 ，即梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积．
18.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 解析：本题是一道开放型题目，只要保证命题是真命题即可．
19.证明：假设 可以互相平分，如图，
连接 ，则四边形 是平行四边形，
∴ ，这与 相矛盾.
∴ 不可能互相平分．
20.证明：如果 不都能被3整除，那么有如下两种情况：
（1） 两数中恰有一个能被3整除，
不妨设 能被3整除， 不能被3整除，
令 （ 都是整数），
于是 ，
不能被3整除，与已知矛盾.
（2） 两数都不能被3整除，令 （ 都是整数），则
，
不能被3整除，与已知矛盾.
由此可知， 都是3的倍数．
21.证明：∵ 四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ∴ ，故 .
22.（1）证明：由题意知 ，∴ ，∴ .
∵ ，∴ .
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ 四边形 是平行四边形 ．
（2）解：当 时，四边形 是菱形 ．理由如下：
∵ ，∴ .∵ 垂直平分 ，∴ .
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ 平行四边形 是菱形．
23.证明:∵ 四边形 是平行四边形,∴
∴ .
在 和 中， ，
∴ ，∴ .
24.证明：∵ ，∴ ∠ ∠ ．
∵ 于点 ，∴ ∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ．∴ ∠ ∠ ．
∵ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ．∴ △ 是等腰三角形.
25.（1）证明：在△ 中， ， ，∴ ∠ ∠ .
∵ 是△ 外角∠ 的平分线，
∴ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ .
又∵ ， ，∴ ，
∴ 四边形 为矩形．
（2）解：给出正确条件即可．
例如，当 时，四边形 是正方形．
∵ ， 于点 ，∴ .
又∵ ，∴ .
由（1）知四边形 为矩形，∴ 矩形 是正方形．

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