解直角三角形2013年全国中考题汇编

编辑: 逍遥路 关键词: 九年级 来源: 高中学习网




考点:解直角三角形的应用.
分析:(1)根据A=AE+DE求解即可;
(2)先根据角平分线的定义得出∠EAD= ∠BAC=52°,再过点E作EG⊥AD于G,由等腰三角形的性质得出AD=2AG,然后在△AEG中,利用余弦函数的定义求出AG的长,进而得到AD的长度.
解答:解:(1)由题意,得A=AE+DE=36+36=72(c).
故A的长为72c;

(2)∵AP平分∠BAC,∠BAC=104°,
∴∠EAD= ∠BAC=52°.
过点E作EG⊥AD于G,
∵AE=DE=36,
∴AG=DG,AD=2AG.
在△AEG中,∵∠AGE=90°,
∴AG=AE•cos∠EAG=36•cos52°=36×0.6157=22.1652,
∴AD=2AG=2×22.1652≈44(c).
故AD的长约为44c.

点评:本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用,其中涉及到角平分线的定义,等腰三角形的性质,三角函数的定义,难度适中.
 (2013•佛山)如图,若∠A=60°,AC=20,则BC大约是(结果精确到0.1)( )
A.34.64 B.34.6 C.28.3 D.17.3

(2013•广东)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=___ _____.
(2013•广州)如图10, 在东西方向的海岸线N上有A、B两艘船,均收到已触礁搁浅的船P的求救信号,已知船P在船A的北偏东58°方向,船P在船B的北偏西35°方向,AP的距离为30海里.
(1)求船P到海岸线N的距离(精确到0.1海里);
(2)若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往救援,试通过计算判断哪艘船先到达船P处.

(2013•深圳)如图2,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的
树高。下午课外活动时她测得一根长为1的竹杆的影长
是0.8。但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落
在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图)。
他先测得留在墙壁上的影高为1.2,又测得地面的影长
为2.6 ,请你帮她算一下,树高是
A、3.25 B、4.25 C 、4.45 D、4.75

(2013•珠海)一测量爱好者,在海边测量位于正东方向的小岛高度AC,如图所示,他先在点B测得山顶点A的仰角为30°,然后向正东方向前行62米,到达D点,在测得山顶点A的仰角为60°(B、C、D三点在同一水平面上,且测量仪的高度忽略不计).求小岛高度AC(结果精确的1米,参考数值: )

考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
分析:首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数,得到AD的长度,然后在直角△ADC中,利用三角函数即可求解.
解答:解:∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=∠ADC?∠B=60°?30°=30°,
∴∠B=∠BAD,
∴AD=BD=62(米).
在直角△ACD中,AC=AD•sin∠ADC=62× =31 ≈31×1.7=52.7≈53(米).
答:小岛的高度是53米.
点评:本题考查仰角的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.
  (2013•绥化)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB=8,∠ABD=30°,∠CAD=45°,求BC的长.

考点:解直角三角形.
分析:首先解Rt△ABD,求出AD、BD的长度,再解Rt△ADC,求出DC的长度,然后由BC=BD+DC即可求解.
解答:解:∵AD⊥BC于点D,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD中,∵AB=8,∠ABD=30°,
∴AD= AB=4,BD= AD=4 .
在Rt△ADC中,∵∠CAD=45°,∠ADC=90°,
∴DC=AD=4,
∴BC=BD+DC=4 +4.
点评:本题考查了解直角三角形的知识,属于基础题,解答本题的关键是在直角三角形中利用解直角三角形的知识求出BD、DC的长度.
 (2013•河南)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位. 如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°. 求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC(结果精确到0.1米. 参考数据:sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.50, ≈1.73).
(2013兰州)如图,在活动课上,小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7,他调整自己的位置,设法使得三角板的一条直角边保持水平,且斜边与旗杆顶端在同一条直线上,测得旗杆顶端仰角为45°;小红眼睛与地面的距离(CD)是1.5,用同样的方法测得旗杆顶端的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上).求出旗杆N的高度.(参考数据: , ,结果保留整数.)

考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
分析:过点A作AE⊥N于E,过点C作CF⊥N于F,则EF=0.2.由△AE是等腰直角三角形得出AE=E,设AE=E=x,则F=(x+0.2),FC=(28?x).在Rt△FC中,由tan∠CF= ,得出 = ,解方程求出x的值,则N=E+EN.
解答:解:过点A作AE⊥N于E,过点C作CF⊥N于F,
则EF=AB?CD=1.7?1.5=0.2(),
在Rt△AE中,∵∠AE=90°,∠AE=45°,
∴AE=E.
设AE=E=x,则F=(x+0.2),FC=(28?x).
在Rt△FC中,∵∠FC=90°,∠CF=30°,
∴F=CF•tan∠CF,
∴x+0.2= (28?x),
解得x≈10.0,
∴N=E+EN≈10+1.7≈12米.
答:旗杆N的高度约为12米.

点评:本题考查了解直角三角形的问题.该题是一个比较常规的解直角三角形问题,建立模型比较简单,但求解过程中涉及到根式和小数,算起来麻烦一些.
(2013•乌鲁木齐)九(1)数学兴趣小组为了测量河对岸的古塔A、B的距离,他们在河这边沿着与AB平行的直线l上取相距20的C、D两点,测得∠ACB=15°,∠BCD=120°,∠ADC=30°,如图所示,求古塔A、B的距离.

考点:解直角三角形的应用.
专题:.
分析:过点A作AE⊥l于点E,过点C作CF⊥AB,交AB延长线于点F,设AE=x,在Rt△ADE中可表示出DE,在Rt△ACE中可表示出CE,再由CD=20,可求出x,继而得出CF的长,在Rt△ACF中求出AF,在Rt△BCF中,求出BF,继而可求出AB.
解答:解:过点A作AE⊥l于点E,过点C作CF⊥AB,交AB延长线于点F,
设AE=x,
∵∠ACD=120°,∠ACB=15°,
∴∠ACE=45°,
∴∠BCE=∠ACF?∠ACB=30°,
在Rt△ACE中,∵∠ACE=45°,
∴EC=AE=x,
在Rt△ADE中,∵∠ADC=30°,
∴ED=AEcot30°= x,
由题意得, x?x=20,
解得:x=10( +1),
即可得AE=CF=10( +1)米,
在Rt△ACF中,∵∠ACF=45°,
∴AF=CF=10( +1)米,
在Rt△BCF中,∵∠BCF=30°,
∴BF=CFtan30°=(10+ )米,
故AB=AF?BF= 米.
答:古塔A、B的距离为 米.

点评:本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角函数的知识表示出相关线段的长度,注意将实际问题转化为数学模型.
 
2013,河北)如图1,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的处,
它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到
达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的
距离为
A.40海里B.60海里
C.70海里 D.80海里

(2013,河北)一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些
液体,棱AB始终在水平桌面上,容器底部的倾斜角为α
(∠CBE = α,如图17-1所示).
探究 如图17-1,液面刚好过棱CD,并与棱BB′ 交于
点Q,此时液体的形状为直三棱柱,其三视图及尺寸如
图17-2所示.解决问题:
(1)CQ与BE的位置关系是___________,BQ的长是____________d;
(2)求液体的体积;(参考算法:直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB)
(3)求α的度数.(注:sin49°=cos41°=34,tan37°=34)

拓展 在图17-1的基础上,以棱AB为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P,设PC = x,BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式,并写出相应的α的范围.

[温馨提示:下页还有题!]
延伸 在图17-4的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计),得到图17-5,隔板高N = 1 d,B = C,N⊥BC.继续向右缓慢旋转,当α = 60°时,通过计算,判断溢出容器的液体能否达到4 d3.

(2013•安徽)某风景管理区,为提高游客到某景点的安全性,决定将到达该景点的步行台阶进行改善,把倾角由45°减至30°,已知原台阶坡面AB的长为 (BC所在地面为水平面).
(1)改善后的台阶坡面会加长多少?
(2)改善后的台阶多占多长一段水平地面?(结果精确到 ,参考数据: , )

解:(1)如图,在 中,
,……4分
. ………………………………5分
即改善后的台阶坡面会加长 .
(2)如图,在 中,

即改善后的台阶多占 .长的一段水平地面.

(2013•上海)某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示,点 是栏杆转动的支点,点 是栏杆两段的连接点.当车辆经过时,栏杆 升起后的位置如图7-2所示,其示意图如图7-3所示,其中 ⊥ ,
∥ , , 米,求当车辆经过时,栏杆EF段距离地面的高度(即直线EF上任意一点到直线BC的距离).
(结果精确到0.1米,栏杆宽度忽略不计参考数据:sin 37° ≈ 0.60,cos 37° ≈ 0.80,tan 37° ≈ 0.75.)
(2013•毕节地区)如图,小明为了测量小山顶的塔高,他在A处测得塔尖D的仰角为45°,再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处,测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为30°,求塔高.(精确到0.1米, ≈1.732)

考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
专题:.
分析:设EC=x,则在Rt△BCE中,BC= EC= x;在Rt△BCD中,CD= BC=3x;
在Rt△ACD中,AC=AB+BC=73.2+ x,CD=3x,利用关系式AC=CD列方程求出x;
塔高DE=CD?EC=2x可以求出.
解答:解:设EC=x(米),
在Rt△BCE中,∠EBC=30°,∴BC= = x;
在Rt△BCD中,∠DBC=60°,∴CD=BC•tan60°= x• =3x;
在Rt△ACD中,∠DBC=45°,
∴AC=CD,
即:73.2+ x=3x,
解得:x=12.2(3+ ).
塔高DE=CD?EC=3x?x=2x=2×12.2(3+ )=24.4(3+ )≈115.5(米).
答:塔高DE约为115.5米.
点评:本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角函数的知识表示出相关线段的长度,难度一般.

(2013•昆明)如图,为了缓解交通拥堵,方便行人,在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥,若天桥斜坡AB的坡角 BAD为35?,斜坡CD的坡度为i=1:1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比),上底BC=10,天桥高度CE=5,求天桥下底AD的长度?(结果精确到0.1,参考数据:sin35?≈ 0.57,cos 35?≈ 0.82,tan35?≈ 0.70)
(2013•铜仁)如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=12,AB=13,则si nB的值等于 .

(2013•铜仁)为了测量旗杆AB的高度.甲同学画出了示意图1,并把测 量结果记录如下,BA⊥EA于A,DC⊥EA于C,CD=a,CA=b,CE=c;乙同学画出了示意图2 ,并把测量结果记录如下,DE⊥AE于E,BA⊥AE于A,BA⊥CD于C,DE=,AE=n,∠BDC=α.
(1)请你帮助甲同学计算旗杆AB的高度(用含a、b、c的式子表示);
(2)请你帮助乙同学计算旗杆AB的高度(用含、n、α的式子表示).

解:(1)∵DC⊥AE,BA⊥AE ∴△ECD∽△EAB……………………2分
∴ … ……………………………………4分
∴ ……………………………………………5分
(2)∵AE⊥AB,DC⊥AB,DE⊥AE
∴DC=AE=n,AC=DE=………………………………………………7分
在Rt△DBC中,BC/CD=tanα,
∴BC=n•tanα…………………………………………9分
∴AB=BC+AC=n•tanα+………………………………10分
(2013•红河)如图,某山顶上建有手机信号中转塔AB,在地面D处测得塔尖的仰角 ,塔底的仰角 ,点D距塔AB的距离DC为100米,求手机信号中转塔AB的高度(结果保留根号).
解:由题意可知,△ACD与△BCD都是直角三角形.
在Rt△BCD中,
∵∠BDC = 45°,
∴BC = CD = 100. ………………2分
在Rt△ACD中,
∵∠ADC = 60°,CD = 100,
∴ ,
即 .
∴ , …………………………4分
∴ . …………………………5分
答:手机信号中转塔的高度为 米.




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