2014年1月期末试题分类汇编——几何综合
(2014?石景山1月期末?25)将绕点按逆时针方向旋转,旋转角为,旋转后使各边长变为原来的倍,得到,我们将这种变换记为[].
(1)如图①,对作变换[]得,则:
= ___;直线与直线所夹的锐角为 __ °;
(2)如图②,中,,对 作变换[]得,使得四边形为梯形,其中∥,且梯形的面积为,求和的值.
25. 解:(1) 3 , 60 ………………………………………2分
(2) 由题意可知:∽
……………………………4分
在中,
………………………………5分
在直角梯形中,
…………………………6分
………………………………7分
(2014?西城1月期末?24)已知:△ABC,△DEF都是等边三角形,是BC与EF的中点,连接AD,BE.
(1)如图1,当EF与BC在同一条直线上时,直接写出AD与BE的数量关系和位置关系;
(2)△ABC固定不动,将图1中的△DEF绕点顺时针旋转(≤≤)角,如图2所示,判断(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请加以证明;若不成立,说明理由;
(3)△ABC固定不动,将图1中的△DEF绕点旋转(≤≤)角,作DH⊥BC于点H.设BH=x,线段AB,BE,ED,DA所围成的图形面积为S.当AB=6,DE=2时,求S关于x的函数关系式,并写出相应的x的取值范围.
24.(1),.2分
(2)证明:连接D,A.
在等边三角形ABC中,为BC的中点,
∴ ,,.
∴ .
同理,,.
∴ ,.3分
∴ △AD ∽△BE.
∴ .4分
延长BE交A于点G,交AD于点K.
∴ ,.
∴ .
∴ .5分
(3)解:(?)当△DEF绕点顺时针旋转(≤≤)角时,
∵ △AD ∽△BE,
∴ .
.
∴ (3≤≤).6分
(?) 当△DEF绕点逆时针旋转(≤≤)角时,可证△AD∽△BE,
.
∴ (≤≤3).
综上,(≤≤).7分
(2014?海淀1月期末?24)已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 ,且AB>CE.
(1)如图1,连接BG、DE.求证:BG=DE;
(2)如图2,如果正方形ABCD的边长为,将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG//BD,BG=BD.
①求的度数;
②请直接写出正方形CEFG的边长的值.
24. (本小题满分7分)
解:(1)证明:
∵四边形和为正方形,
∴,,.
∴.
. ……………………1分
∴△≌△.
∴.………………………………2分
(2)①连接BE .
由(1)可知:BG=DE.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴.
∴…………………………3分
∵,
∴△≌△.
∴.………………………………4分
∵,
∴.
∴△.
∴ …………………………5分
②正方形的边长为. ……………………………………………7分
(2014?朝阳1月期末?25)将△ABC绕点B逆时针旋转α(0°<α<180°)得到△DBE,直线DE与直线AC相交于点F,连接BF.
(1)如图1,若α=60°,DF=2AF,请直接写出等于 ;
(2)若DF=AF,(>0,且≠1)
①如图2,求;(用含α,的式子表示)
②如图3,依题意补全图形,请直接写出等于 .(用含α,的式子表示)
图1 图2 图3
25.解:(1)1. ………………………………1分
(2)①如图2,在DF上截取DG,使得DG=AF,连接BG.
由旋转知,DB=AB,∠D=∠A.
∴△DBG≌△ABF.
∴BG=BF,∠GBF=α. ………………3分
过点B作BN⊥GF于点N,
∴点N为GF中点,∠FBN=.
在Rt△BNF中,NF=,
∴GF=.
∵DF=DG+GF, ……………………4分
∴AF=AF+
(-1)AF=.
∴. ……………5分
②如图3,画图正确. …………………6分
. ………………………8分
注明:以上各题的其它的正确解法,酌情给分.
(2014?东城1月期末?24)如图1,将两个完全相同的三角形纸片和重合放置,其中.
(1)操作发现
如图2,固定,使绕点顺时针旋转.当点恰好落在边上时,:
图1 图2
线段与的位置关系是 ;
设的面积为,的面积为,则与的数量关系是 ,证明你的结论;
(2)猜想论证
当绕点旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中与的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了和中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想.
24.解:(1)①线段与的位置关系是 平行 . …………………..1分
②S1与S2的数量关系是 相等 .
证明:如图2,过D作DN⊥AC交AC于点N,过E作E⊥AC交AC延长线于,过C作CF⊥AB交AB于点F.
由①可知 △ADC是等边三角形,∥,
∴DN=CF, DN=E.
∴CF=E.
∵,
∴.
又∵,
∴. 图2
∵,,
∴=. …………………..3分
(2)证明:如图3,作DG⊥BC于点G,AH⊥CE交EC延长线于点H.
∵.
又∵.
又∵,
∴△AHC≌△DGC.
∴AH=DG.
又∵CE=CB, 图3
∴. ……………………..7分
(2014?丰台1月期末?25)已知和关于直线对称(点的对称点是点),点、分别是线段和线段上的点,且点在线段的垂直平分线上,联结、,交于点.
(1)如图(1),求证:;
(2)如图(2),当时,是线段上一点,联结、、,的延长线交于点,,,试探究线段和之间的数量关系,并证明你的结论. (2)
25. (1)证明:如图1 连接FE、FC
∵点F在线段EC的垂直平分线上,
∴ FE=FC ∴∠l=∠2 ………………………1分
∵△ABD和△CBD关于直线BD对称.
∴AB=CB ,∠4=∠3,又BF=BF
∴△ABF≌△CBF, ∴∠BAF=∠2,FA=FC
∴FE=FA,∠1=∠BAF. …………………………2分
∴∠5=∠6,
∵ ∠l+∠BEF=1800,∴∠BAF+∠BEF=1800
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600
∴∠AFE+∠ABE=1800 ………………………………3分
又∵∠AFE+∠5+∠6=1800 ,
∴∠5+∠6=∠3+∠4
∴∠5=∠4,即∠EAF=∠ABD………………………4分
(2)解:F=FN ……………………………………………5分
证明:如图2,由(1)可知∠EAF=∠ABD,
又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA
∴∠AGF=∠BAF
又∵∠BF=∠BAF,∴∠BF=∠AGF
又∵∠AGF=∠BG+∠BG∴∠BG=∠BG
∴BG=G…………………………6分
∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF
又∵∠FGA=∠AGD.∴△AGF∽△DGA.
∵AF=AD 图2
设GF=2a,则AG=3a,
∴GD=a,∴FD=DG-GF==a
∵∠CBD=∠ABD ,∠ABD=∠ADB,∴∠CBD=∠ADB.
∴.∴,设EG=2k,则G=BG=3k
过点F作FQ∥ED交AE于Q,
……………………7分
∴GQ=EG=.∴QE=, Q=G+GQ=3k+=
∵FQ∥ED,.∴F=FN……………8分
(2014?昌平1月期末?25)已知:四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,点E是射线CD上的一个动点(与C、D不重合),将△ADE绕点A顺时针旋转120°后,得到△ABE',连接EE'.
(1)如图1,∠AEE'= °;
(2)如图2,如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F,过点E作E∥AD交直线AF于点,写出线段DE、BF、E之间的数量关系;
(3)如图3,在(2)的条件下,如果CE=2,AE=,求E的长.
25.解:(1) 30°. …………………………………………………… 1分
(2)当点E在线段CD上时,; ………………………………………… 2分
当点E在CD的延长线上,
时,; ………………… 3分
时,; 时,. …………………………………………4分
(3)作于点G, 作于点H.
由AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,得∠ABC=∠DCB=60°,
易知四边形AGHD是矩形和两个全等的直角三角形.
则GH=AD , BG=CH.
∵,
∴点、B、C在一条直线上.
设AD=AB=CD=x,则GH=x,BG=CH=,.
作于Q.
在Rt△EQC中,CE=2, ,
∴, .
∴E'Q=.…………………………………5分
作于点P.
∵△ADE绕点A顺时针旋转120°后,得到△ABE'.
∴△A EE'是等腰三角形,.
∴在Rt△AP E'中,E'P=.
∴EE'=2 E'P=. ……………………………………………………………………6分
∴在Rt△EQ E'中,E'Q=.
∴.
∴. ………………………………………………………… 7分
∴,.
∴
在Rt△E'AF中,,
∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'.
∴
∴.
∴.
由(2)知:.
∴. ………………………………………………………… 8分
(2014?怀柔1月期末?24)(1)如图1,在等边△ABC中,点是边BC上的任意一点(不含端点B、C),联结A,以A为边作等边△AN,联结CN.求证:∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点是边BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点是边BC上的任意一点(不含端点B、C),联结A,以A为边作等腰△AN,使顶角∠AN=∠ABC.联结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
24.((本小题满分7分)
(1)证明:∵△ABC、△AN是等边三角形,
∴AB=AC,A=AN,∠BAC=∠AN=60°,∴∠BA=∠CAN,
∴△BA≌△CAN(SAS),………………………………1分
∴∠ABC=∠ACN.………………………………2分
(2)结论∠ABC=∠ACN仍成立.………………………………3分
理由如下:∵△ABC、△AN是等边三角形,∴AB=AC,A=AN,
∠BAC=∠AN=60°,∴∠BA=∠CAN,
∴△BA≌△CAN(SAS),………………………………4分
∴∠ABC=∠ACN.………………………………5分
(3)∠ABC=∠ACN.
理由如下:∵BA=BC,A=N,顶角∠ABC=∠AN,
∴底角∠BAC=∠AN,∴△ABC∽△AN,……………………6分
∴=,又∵∠BA=∠BAC?∠AC,∠CAN=∠AN?∠AC,
∴∠BA=∠CAN,∴△BA∽△CAN,
∴∠ABC=∠ACN.………………………………7分
(2014?顺义1月期末?24)如图,和都是以A为直角顶点的等腰直角三角形,连结BD,BE,CE,延长CE交AB于点F,交BD于点G.
(1)求证:;
(2)若是边长可变化的等腰直角三角形,并将绕点旋转,使CE的延长线始终与线段BD(包括端点B、D)相交.当为等腰直角三角形时,求出的值.
24.解:(1)证明:∵,
∴.
∴.…………………………………………………1分
∵,且,
∴,
∴.…………………………………………………2分
又, …………………………………………… 3分
∴.………………………………………………4分
(2)解:∵,
∴.
①当,DE=BE时,如图①所示,
设AD=AE=x,则.
∵为等腰直角三角形,
∴.
∴.
∵+, 图①
∴.
∴. ……………………………………………5分
②当,DE=DB时,如图②所示,
同理设AD=AE=x,则.
∴.
∵,
∴.
∴. ……………… 6分 图②
③当,BD=BE时,如图③所示,
同理设AD=AE=x,则.
∴BD=BE=x.
∴四边形ADBE是正方形,
∴.
∴. …………7分 图③
(2014?延庆1月期末?24)如图①,已知点O为菱形ABCD的对称中心,∠A=60°,将等边△OEF的顶点放在点O处,OE ,OF分别交AB,BC于点 ,N.
(1)求证:O=ON;
(2)写出线段B ,BN与AB之间的数量关系,并进行证明;
(3)将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置,请写出线段B ,BN
与AB之间的数量关系,并进行证明.
24.
(1)证明:取BC的中点G,连接OG
∵菱形ABCD,∠A=60°
∴∠A=∠C=∠ABD=60°,AB=BC=CD=DA……1分
∵点O为菱形ABCD的对称中心
∴OD=OB
∴,OG//CD ………………2分
∴∠BGO=∠C=60°, OG=OB
∵等边△OEF ∴∠EOF=60° ∴∠1=∠2
∵∠BGO=∠ABD=60°
∴△OB≌△OGN
∴O=ON ………………3分
(2)由(1)可知,B=NG
∵OB=OD,BG=GC ∴ ………………4分
∵BG=BN+NG,AB=BC ∴ ………………5分
(3)取BC中点G 同理可证:∴△OB≌△OGN
∴B=GN ………………6分
∴BG=BN-NG
∵ ∴ ………………7分
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