单元检测四 图形初步与三角形
(时间：120分钟 总分：120分)
一、(每小题3分，共30分)
1．如图所示，l∥，等腰直角△ABC的直角顶点C在直线上，若∠β＝20°，则∠α的度数为( )
A．25° B．30° C．20° D．35°
2．如图，直线AB，CD交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO＝30°，则∠DOT等于( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是( )
A．125° B．135° C．145° D．155°
5．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tan A的值为( )
A．2 B．12 C．55 D．255
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为( )
A．22 B．4 C．32 D．42
8．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( )
A．5 B．513 C．1313 D．95
10．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上， 则AP的长是( )
A．4 B．5 C．6 D．8
二、题(每小题3分，共24分)
11．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝__________.
12．如图，已知AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是__________(写出一个即可)．
13．如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连 接EC， 则∠AEC的度数是__________．
14．边长为6 c的等边三角形中，其一边上高的长度为__________．
15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14 c，则阴影部分的面积是__________ c2.
16．如图，等边△ABC中，D，E分别是AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则FGAF＝__________.
17．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC．若∠ABC＝67°，则∠1＝__________.
18．如图，△ABC中，AC＝BC，把△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠ACB＝100°，则∠CBD＝________°.
三、解答题(共66分)
19．(6分)在一次数学课上，王老师在黑板上画出了如图所示的图形，并写下了四个等式：
①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠DCE.
要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．(写出一种即可)
已知：
求证：△AED是等腰三角形．
证明：
20．(6分)已知：如图，锐角△ABC的两条高CD，BE相交于点O，且OB＝OC，
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
21．(8分)如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．
(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
(2)求证：CF＝EF.
22．(8分)如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，求乙船的速度．(3≈1.7)
23．(9分)下面材料：
问题：如图(1)，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD＝∠C＝2∠DAC＝45°，DC＝2.求BD的长．
小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．
(1)请你回答：图中BD的长为_____ ___；
(2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD＝∠C＝2∠DAC＝30°，DC＝2，求BD和AB的长．
24．(9分)问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在∠ACB的内部，连接BE.探究线段BE与DE之间的数量关系．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行 分析并加以证明．
(1)当点D与点C重合时(如图2)，请你补全图形．由∠BAC的度数为______，点E落在________________，容易得出BE与DE之间的数量关系为__________；
(2)当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
25．(10分)如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．
(1)求证：AB∥CQ.
(2)AQ与CQ能否互相垂直？若能互相垂直，指出点P在BC上的位置，并给予证明；若AQ与CQ不能互相垂直，请说明理由．
26．(10分)( 1)把两个含有45°角的直角三角板如图(1)放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F.求证：AF⊥BE.
(2)把两个含有30°角的直角三角板如图(2)放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直？并说明理由．
参考答案
一、1.A 2.C 3.C
4．B ∵∠BOD＝45°，∴∠AOC＝45°.
∵OE⊥AB，∴∠COE＝∠AOC＋∠AOE＝135 °.
5．B 6.A 7.B
8．A 由题意得AB＝AC＝12×(21－5)＝8.
∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.
∴BE＋BC＋CE＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8＋5＝13.
9．B 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2＝132＝169，①
由三角形面积法可得，12AC•BC＝12CD•AB，
即2AC•BC＝156，②
①＋②，得(AC＋BC)2＝325，
所以AC＋BC＝513.
10．C 如图，连接PD，由题知∠POD＝60°，OP＝OD，
∵∠1＋∠2＋60°＝180°，∠1＋∠A＋∠APO＝180°，
∴∠2＝∠APO.
同理∠1＝∠CDO.
∴△APO≌△COD.
∴AP＝OC＝AC－AO＝9－3＝6.
故选C.
二、11.80°
12．AC＝AE(或∠C＝∠E或∠B＝∠D) 由已知条件，根据SAS(AAS，ASA)定理，确定可补充的条件为AC＝AE(或∠C＝∠E或∠B＝∠D)．
13．115° 14.33 c 15.492 16.12 17.46° 18.10
三、19.解：本题答案不唯一：已知：①③.
证明：在△ABE和△DCE中，
∵∠B＝∠C，∠AEB＝∠DEC，AB＝DC，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，即△AED是等腰三角形．
20．(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵CD，BE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB.
∴∠DBC＝∠ECB.∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)解：点O是在∠BAC的平分线上．连接AO，
∵△BDC≌△CEB，∴DC=EB.
∵OB=OC，∴OD=OE.
∵∠BDC=∠CEB=90°，
∴点O是在∠BAC的平分线上．
21．(1)解：△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.
(2)证明：如图，连接CE.
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE.
∴∠A CE＝∠AEC.
又∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴∠ACB＝∠AED.
∴∠ACE－∠ACB＝∠AEC－∠AED，即∠BCE＝∠DEC.
∴CF＝EF.
22．解：由题意得AC＝60×12＝30(海里)，∠ACB＝30°，∠BAC＝90°
在Rt△ABC中，∵tan 30°＝ABAC，
∴AB＝AC×tan 30°＝30×33＝103≈10×1.7＝17(海里)．
∴乙船的速度是17÷12＝34(海里/时)．
答：乙船的速度约为34海里/时．
23．解：(1)BD＝22
(2)如图，把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，
∴△ADC≌△AEC.
∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，DC=EC.
∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.
∴△CDE为等边三角形．
∴DC=DE.
在AE上截取AF=AB，连接DF，
∴△ABD≌△AFD.
∴BD=DF.
在△ABD中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45°，
∴∠ADE=∠AED=75 °，∠ABD=105°.
∴∠AFD=105°.
∴∠DFE=75°.
∴∠DFE=∠DEF.
∴DF=DE.
∴BD=DC=2.
作BG⊥AD于点G，
∴在Rt△BDG中，BG=2.
∴在Rt△ABG中，AB=22.
24．解：(1)60° AB的中点处 BE＝DE 图形如下．
(2)完成画图如下图所示．
猜想：BE=DE.
证明：取AB的中点F，连接EF.
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠1=60°，CF=AF=12AB.
∴△ACF是等边三角形．
∴AC=AF.
∵△ADE是等边三角形，
∴∠2=60°，AD=AE.∴∠1=∠2.
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠CAD=∠FAE.
∴△ACD≌△AFE(SAS)．
∴∠ACD=∠AFE=90°.
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线．
∴BE=AE.
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE.∴BE=DE.
25．(1)证明：∵△ABC和△APQ都为等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAP＝∠CAQ ，
∴△ACQ≌△ABP(SAS)，
∴∠ACQ＝∠ABP＝60°.
又∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠ACQ，
∴AB∥CQ.
(2)解：当点P在BC边的中点时，∠AQC＝90°.
证明：∵P是BC的中点，
∴∠PAC＝12∠BAC＝30°.
∵∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAQ－∠PAC＝60°－30°＝30°，由(1)知∠ACQ＝60°，
∴∠AQC＝90°，∴AQ与CQ互相垂直．
26．解：(1)证明：在△ACD和△BCE中，
∵AC＝BC，∠DCA＝∠ECB＝90 °，DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠DAC＝∠EBC.
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC＝90°.
∴∠BFD＝90°.∴AF⊥BE.
(2)AF⊥BE.
理由：∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴BCAC＝ECDC＝tan 60°.
∴△DCA∽△ECB.∴∠DAC＝∠EBC.
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC＝90° .
∴∠BFD＝90°.∴AF⊥BE.
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