2013年全国中考数学三角形试题汇编

编辑: 逍遥路 关键词: 九年级 来源: 高中学习网




(2013•江西)某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
  ●操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,是BC的中点,连接D和E,则下列结论正确的是 (填序号即可)
①AF=AG= AB;②D=E;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DB.
●数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,是BC的中点,连接D和E,则D和E具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;
●类比探索:
在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,是BC的中点,连接D和E,试判断△ED的形状.
答: .

【答案】 解:
●操作发现:①②③④
●数学思考:
答:D=E,D⊥E,
1、D=E;
如图2,分别取AB,AC的中点F,G,连接DF,F,G,EG,
∵是BC的中点,
∴F∥AC,F= AC.
又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线,
∴EG⊥AC且EG= AC,
∴F=EG.
同理可证DF=G.
∵F∥AC,
∴∠FA+∠BAC=180°.
同理可得∠GA+∠BAC=180°,
∴∠FA=∠GA.
又∵EG⊥AC,∴∠EGA=90°.
同理可得∠DFA=90°,
∴∠FA+∠DFA=∠GA=∠EGA,
即∠DF=∠EG,又F=EG,DF=G,
∴△DF≌△GE(SAS),
∴D=E.
2、D⊥E;
证法一:∵G∥AB,
∴∠FA+∠FG=180°,
又∵△DF≌△GE,∴∠EG=∠DF.
∴∠FA+∠FD+∠DE+∠DF=180°,
其中∠FA+∠FD+∠DF=90°,
∴∠DE=90°.
即D⊥E;
证法二:如图2,D与AB交于点H,
∵AB∥G,
∴∠DHA=∠DG,
又∵∠DHA=∠FD+∠DFH,
即∠DHA=∠FD+90°,
∵∠DG=∠DE+∠GE,
∴∠DE=90°
即D⊥E;
●类比探究
答:等腰直角三解形
【考点解剖】 本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识,能力要求很高.
【解题思路】 (1) 由图形的对称性易知①、②、③都正确,④∠DAB=∠DB=45°也正确;(2)直觉告诉我们D和E是垂直且相等的关系,一般由全等证线段相等,受图1△DF≌△GE的启发,应想到取中点构造全等来证D=E,证D⊥E就是要证∠DE=90°,由△DF≌△GE得∠EG=∠DF, △DF中四个角相加为180°,∠FG可看成三个角的和,通过变形计算可得∠DE=90°. (3)只要结论,不要过程,在(2)的基础易知为等腰直角三解形.
【解答过程】 略.
【方法规律】 由特殊到一般,形变但本质不变(仍然全等)
【关键词】 课题学习 全等 开放探究
(2013,河北)如图8-1,是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成
△ABC,且∠B = 30°,∠C = 100°,如图8-2.
则下列说法正确的是
A.点在AB上
B.点在BC的中点处
C.点在BC上,且距点B较近,距点C较远
D.点在BC上,且距点C较近,距点B较远
(2013•上海)如图3,在△ 和△ 中,点B、F、C、E在同一直线上,BF = CE,AC∥DF,请添加一个条件,使△ ≌△ ,这个添加的条件可以是____________.(只需写一个,不添加辅助线)

(2013•上海)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________.
(2013•上海)如图5,在△ 中, , , tan C = 32 ,如果将△
沿直线l翻折后,点 落在边 的中点处,直线l与边 交于点 ,
那么 的长为__________.

(2013•上海)如图8,在△ 中, , ,点 为边 的中点, 交 于点 , 交 的延长线于点 .
(1)求证: ;
(2)联结 ,过点 作 的垂线交 的
延长线于点 ,求证: .

(2013•毕节地区)已知等腰三角形的一边长为4,另一边长为8,则这个等腰三角形的周长为(  )
 A.16B.20或16C.20D.12

考点:等腰三角形的性质;三角形三边关系.
分析:因为已知长度为4和8两边,没由明确是底边还是腰,所以有两种情况,需要分类讨论.
解答:解:①当4为底时,其它两边都为8,
4、8、8可以构成三角形,
周长为20;
②当4为腰时,
其它两边为4和8,
∵4+4=8,
∴不能构成三角形,故舍去,
∴答案只有20.
故选C.
点评:本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
(2013•毕节地区)如图,已知AB∥CD,∠EBA=45°,∠E+∠D的度数为(  )

 A.30°B.60°C.90°D.45°

考点:平行线的性质;三角形的外角性质.
分析:根据平行线的性质可得∠CFE=45°,再根据三角形内角与外角的关系可得∠E+∠D=∠CFE.
解答:解:∵AB∥CD,
∴∠ABE=∠CFE,
∵∠EBA=45°,
∴∠CFE=45°,
∴∠E+∠D=∠CFE=45°,
故选:D.
点评:此题主要考查了平行线的性质,以及三角形内角与外角 的关系,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
(2013•昆明)如图,在 ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点, A=50?, ADE=60?,则 C的度数为( )
A.50? B.60?
C.70? D.80?
(2013•昆明)在平面直角坐标系 中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得 AOP是等腰三角形,则这样的点P共有 个。
(2013•昆明)已知:如图,AD、BC相交于点O,OA=OD,AB∥CD.求证:AB=CD.

(2013•邵阳)如图所示,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,连结DE,若DE=5,则BC= 10 .

考点:三角形中位线定理.
分析:由在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,可得DE是△ABC的中位线,然后由三角形中位线的性质,即可求得答案.
解答:解:∵在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE= BC,
∵DE=5,
∴BC=10.
故答案为:10.
点评:此题考查了三角形中位线的性质.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.
 
(2013•邵阳)将一幅三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证:CF∥AB.
(2)求∠DFC的度数.

考点:平行线的判定;角平分线的定义;三角形内角和定理.
分析:(1)首先根据角平分线的性质可得∠1=45°,再有∠3=45°,再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF;
(2)利用三角形内角和定理进行计算即可.
解答:(1)证明:∵CF平分∠DCE,
∴∠1=∠2= ∠DCE,
∵∠DCE=90°,
∴∠1=45°,
∵∠3=45°,
∴∠1=∠3,
∴AB∥CF;

(2)∵∠D=30°,∠1=45°,
∴∠DFC=180°?30°?45°=105°.
点评:此题主要考查了平行线的判定,以及三角形内角和定理,关键是掌握内错角相等,两直线平行.
(2013•柳州)如图,△ABC≌△DEF,请根据图中提供的信息,写出x= 20 .

考点:全等三角形的性质.
分析:先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°,然后根据全等三角形对应边相等解答.
解答:解:如图,∠A=180°?50°?60°=70°,
∵△ABC≌△DEF,
∴EF=BC=20,
即x=20.
故答案为:20.
点评:本题考查了全等三角形的性质,根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键.
 
(2013•铜仁)已知△ABC的各边长度分别为3c,4c,5c,则连结各边中点的三角形的周长为( )
A.2cB.7cC.5cD.6c
(2013•铜仁)如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D在同一条直线上.
求证:BD=CE.
证明:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE AB=AC………………………………4分
又∵∠EAC=90°+∠CAD, ∠DAB=90°+∠CAD
∴∠DAB=∠EAC…………………………6分
在△ADB和△AEC中
∵AD=AE
∠DAB=∠EAC
AB=AC
∴△ADB≌△AEC(SAS) …………………………8分
∴BD=CE……………………………

(2013•红河)如图,D是△ABC的边AB上一点,E是AC的中点,过点C作 ,交DE的延长线于点F.求证:AD = CF.
证明:∵E是AC的中点,
∴AE = CE. ………………………1分
∵CF∥AB,
∴∠A =∠ECF, ∠ADE =∠F. ………………………………3分
在△ 与△ 中,

∴△ ≌△ (AAS). ……………………………4分
∴ .




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