2014~2015学年度第一学期期末考试
九年级数学2015.2
说明：本卷满分130分，考试用时120分钟，解答结果除特殊要求外均取精确值，可使用计算器．
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．）
1．一元二次方程x2－x－2＝0的解是…………………………………………………（ ）．
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝2
2．已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是…………（ ）．
A．r ＞ 6 B．r ≥ 6 C．r ＜ 6 D．r ≤ 6
3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为………………………………………………………………………………（ ）．
A．302海里 B．303海里 C．60海里 D．306海里
4．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度共生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是……………………………………………（ ）．
A．50(1＋x)2＝196 B．50＋50(1＋x)2＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
5．学校组织才艺表演比赛，前6名获奖．有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是……………………………………………………………………………（ ）．
A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数
6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是………………………………………（ ）．
A．AB＝12m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM∶MA＝1∶2
7．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列有4个结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③b＜a＋c；④4a＋b＝1，其中正确的结论为……………………（ ）．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
8．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是……………………………………………………………（ ）．
A．2 B． 3 C． 32 D． 32
9．如图，点A(a，b)是抛物线y＝12x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA
交抛物线于点B(c，d )．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：
①ac为定值；②ac＝－bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过
一定点．其中正确的结论有………………………………………（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．现定义一种变换：对于一个由任意5个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1．例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2）．则下面序列可以作为S1的是……………………………………………………（ ）．
A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3）
C．（1，1，2，2，3） D．（1，2，1，1，2）
二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分．）
11．抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是 ．
12．将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下洗匀后放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为 ．
13．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋14＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是 ．
14．如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为 ．
15．如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB．
16．已知y是关于x的函数，函数图象如图所示，则当y＞0时，自变量x的取值范围是 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA等于 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°， sin∠BAC＝13，点D是AC上一点，且BC＝BD＝2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连接AF交射线BD于点G，则AG的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．）
19．（本题8分）解方程：(1) (4x－1)2－9＝0 (2) x2－3x－2＝0
20．（本题8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC上一点，且BP＝2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E．
(1)求证△BPD∽△CEP．
(2)是否存在这样的位置，使PD⊥DE？若存在，求出BD的长；
若不存在，说明理由．
21．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E．
(1)求证：CD为⊙O的切线．
(2)若圆心O到弦DB的距离为1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
22．（本题8分）2015年12月31日晚23时35分许，上海外滩陈毅广场发生拥挤踩踏事故．为了排除安全隐患，因此无锡市政府决定改造蠡湖公园的一处观景平台．如图，一平台的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米（图为横截面），为了使平台更加牢固，欲改变平台的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将平台底部向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）
23．（本题8分）有七张除所标数值外完全相同的卡片，把所标数值分别为－2、－1、3、4的四张卡片放入甲袋，把所标数值分别为－3、0、2的三张卡片放入乙袋．现在先后从甲、乙两袋中各随机取出一张卡片，按照顺序分别用x、y表示取出的卡片上标的数值，并把x、y分别作为点A的横坐标、纵坐标．
(1)请用树状图或列表法写出点A(x，y)的所有情况．
(2)求点A属于第一象限的点的概率．
24．（本题8分）学校冬季趣味运动会开设了“抢收抢种”项目，八(5)班甲、乙两个小组都想代表班级参赛，为了选择一个比较好的队伍，八(5)班的班委组织了一次选拔赛，甲、乙两组各10人的比赛成绩如下表：
甲组 7 8 9 7 10
10 9 10 10 10
乙组 10 8 7 9 8 10
10 9 10 9
(1)甲组成绩的中位数是 分，乙组成绩的众数是 分．
(2)计算乙组的平均成绩和方差．
(3)已知甲组成绩的方差是1.4，则选择 组代表八(5)班参加学校比赛．
25．（本题8分）在“美化校园”活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边DA、DC足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝x (m)．
(1)若花园的面积为192m2，求x的值．
(2)若在P处有一棵树与墙DC、DA的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．求花园面积S的最大值．
26．（本题8分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D（1，n）．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、
D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出
点N的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（本题10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2cm，AC＝4cm．动点P、Q分别从点A、点B同时出发，相向而行，速度都为1cm/s．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设运动时间为t (0≤t≤2，单位：s)，正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为S (cm2) ．
(1)当t＝ s时，点P与点Q重合．
(2)当t＝ s时，点D在QF上．
(3)当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数表达式．
28．（本题10分）木匠黄师傅用长AB＝3，宽BC＝2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；
方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；
方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．
(1)写出方案一中圆的半径．
(2)通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？
(3)在方案四中，设CE＝x（0＜x＜1），当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．
2014－2015学年第一学期九年级数学期末考试答案及评分标准
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．D 2．A 3. A 4. C 5. C 6 . D 7. B 8.B 9. B 10. D
二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
11．（1，2） 12．27 13．当b=－12时，方程无解(答案不唯一) 14．300π
15．∠AED＝∠B（答案不唯一） 16．x＜－1或1＜x＜2 17．2 18．143
三、解答题：（本大题共10小题，共84分．）
19．（1） (4x－1)2－9＝0 （2）x2?3x?2＝0
4x－1＝±3 ……… 2分 Δ＝17 ………2分
x1＝1，x2＝－12 ……… 4分 x1＝3＋172，x2＝3－172 ……4分
20．解：（1）∵AB＝AC∴∠B＝∠C ……………………1分
∵∠DPC＝∠DPE＋∠EPC＝∠B＋∠BDP ……2分
∴∠EPC ＝∠BDP …………………………3分
∴△ABD∽△DCE ……………………………4分
（2）作AH⊥BC
在Rt△ABH和Rt△PDE中
∴cos∠ABH＝cos∠DPE＝BHAB＝PDPE＝35 ………………… 6分
∴PDPE＝BDPC＝35 又∵PC＝4 ∴BD＝125 ……………8分
21．（1）证明：连接OD ∵BC是⊙O的切线 ∴∠ABC＝90°………………1分
∵CD＝CB，OB＝OD ∴∠CBD＝∠CDB，∠OBD＝∠ODB ……………2分
∴∠ODC＝∠ABC＝90°即OD⊥CD ∴CD为⊙O的切线 ……………4分
（2）解：作OF⊥DB，在Rt△OBF中，
∵∠ABD＝30°，OF＝1， ∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝3 ……… 5分
∵OF⊥BD， ∴BD＝2BF＝23， ∠BOD＝2∠BOF＝120° …………6分
∴S阴影＝43π－3． …………………………………………………………8分
22．解：过A点作AE⊥CD于E．
在Rt△ABE中，∠ABE＝62°．∴AE＝AB•sin62°＝25×0.88＝22米， ……2分
BE＝AB•cos62°＝25×0.47＝11.75米，………4分
在Rt△ADE中，∠ADB＝50°，
∴DE＝AEtan50°＝553 …………………6分
∴DB＝DC－BE≈6.58米．………………7分
答：向外拓宽大约6.58米． ……………8分
23．（1）
－2 －1 3 4
－3 (－2, －3) (－1, －3) (3, －3) (4, －3)
0 (－2, 0) (－1, 0) (3, 0) (4, 0)
2 (－2, 2) (－1, 2) (3, 2) (4, 2)
∴如表所示，所有情况共有12种 …………………………………………………4分
（2）因为属于第一象限的点的坐标有(3, 2)和(4, 2)共2种，…………………………6分
所以概率P＝16 ……………………………………………………………………8分
24．（1）9.5 10 ……2分 （2）x—＝9，方差＝1 ……6分 （3）乙 ……8分
25．（1）根据题意，得x(28－x)＝192 ………………………………………………2分
解得x＝12或x＝16 ………………………………………………3分
∴x的值为12m或16m ………………………………………………4分
（2）∵根据题意，得6≤x≤13 …………………………………………………5分
又∵S＝x(28－x)＝－(x－14)2＋196 ……………………………………………6分
∴当x≤14时，S随x的增大而增大
所以当x＝13时，花园面积S最大，最大值为195m2 ……………………………8分
26．解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA＝4，OC＝3，得：E(2，3)，………1分
则可求得抛物线函数关系式为y＝－34(x－2)2＋3＝－34x2＋3x；………………………3分
（2）可得点D坐标为(1，94) ……………………………………………………………4分
存在，分两种情况考虑：
①当点M在x轴上方时，如答图1所示：
四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM＝AN，
∵DM＝2，∴AN＝2， ∴N1（2，0），N2（6，0）………………………………………6分
②当点M在x轴下方时，如答图2所示：
过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP＝DQ＝94，NP＝AQ＝3，∴N3（－7－1，0），N4（7－1，0）．………………8分
27．解：（1）1 ……1分 （2）45 ……2分
（3）当1＜t≤43时，如图②，设DE交FQ于点H，则重合部分为梯形DHQP
可求得：PQ＝2t－2，HD＝52t－2 ……3分
∴S＝12( PQ＋HD )•DP＝12 ( 2t－2＋52 t－2 )•t＝94 t 2－2t(1＜t≤43) ……5分
当43＜t＜2时，如图③，设DE交BC于点M，DP交BC于点N，
则重合部分为六边形EFQPNM
可求得：AQ＝2－t，AF＝4－2t
∴S△FAQ ＝12 AQ•AF＝( 2－t )2 ………………………………………7分
同样可求得：DN＝3t－4，DM＝12 ( 3t－4 )
∴S△DMN ＝12 DM•DN＝12 •12 ( 3t－4 )( 3t－4 )＝14 ( 3t－4 )2………………8分
∴S＝S正方形APDE－S△FAQ－S△DMN＝－94 t 2＋10t－8……………………9分
综上所述，S＝94t2－2t(1＜t≤43)－94t2＋10t－8(43＜t＜2) ……………………10分
28．解：（1）方案一中的最大半径为1．………………………2分
（2）设半径为r，
方案二：在Rt△O1O2E中， (2r)2＝22＋(3－2r)2，解得 r＝1312 …4分
方案三：∵△AOM∽△OFN， ∴r3－r＝2－rr，解得r＝65 …6分
∵1312＜65，∴方案三半径较大 ……………………………………7分
（3）方案四所拼得的图形水平方向跨度为3－x，竖直方向跨度为2＋x．
所以所截出圆的直径最大为(3－x)或(2＋x)两者之中较小的．……………………………8分
当3－x＜2＋x时，即当x＞12时，r＝12(3－x)；此时r随x的增大而减小，所以r＜12(3－12)＝54；
当3－x＝2＋x时，即当x＝12时，r＝12(3－12)＝54；
当3－x＞2＋x时，即当x＜12时，r＝12(2＋x)．此时r随x的增大而增大，所以r＜12(2＋12)＝54；
∴方案四，当x＝12时，r最大为54．………………………………………………………………9分
∵1＜1312＜65＜54， ∴方案四中所得到的圆形桌面的半径最大．……………………………10分
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