第二十六章二次函数章末测试（三）

                                           总分120分120分钟  
一．选择题（共8小题，每题3分）
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，?2），且顶点在第三象限，设P=a?b+c，则P的取值范围是（　　）
 
A． ?4＜P＜0 B． ?4＜P＜?2 C． ?2＜P＜0 D． ?1＜P＜0
2．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（?2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（　　）
A． 直线x=1 B． 直线x=?2 C． 直线x=?1 D． 直线x=?4
3．二次函数y=x2?4x+5的最小值是（　　）
A． ?1 B． 1 C． 3 D． 5
4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
 
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C． a+b+c=0 D． 当x＜1时，y随x的增大 而减小
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）
 
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 当?1＜x＜3时，y＞0 D． ?
6．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（　　）
A．   B．   C．   D． 
7．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　）
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1
8．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=?1，且过点（?3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a?b=0；③4a+2b+c＜0；④若（?5，y1），（ ，y2）是抛物线上两点，则
y1＞y2．其中说法正确的是（　　）
 
A． ①② B． ②③ C． ①②④ D． ②③④
二．填空题（共8小题，每题3分）
9．在平面直角坐标系中，把抛物线y=? x2+1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是　_________　．
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是　_________　．
11．把抛物线y=x2+4x+5改写成y=（x+h）2+k的形式为　_________　，其顶点坐标为 　_________　

12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若?1＜m＜n＜1，则m+n＜? ；④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正确的结论是　_________　（写出你认为正确的所有结论序号）．
 
13．如图，抛物线的顶点为P（?2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，?2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　_________　．
 
14．已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的番号有　_________　．
 
三．解答题（共10小题）
15（6分）．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
16．（6分）如果函数y=（m?3） +mx+1是二次函数，求m的值．

17．（6分）已知二次函数y= ．
（1）用配方法求出该函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象．
 

18．（8分）已知
（1）把它配方成y=a（x?h）2+k形式，写出它的开口方向、顶点M的坐标；
（2）作出函数图象；（填表描出五个关键点）
（3）结合图象回答：当x取何值，y＞0，y=0，y＜0．
 

19．（8分）已知二次函数y=x2+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，则y1　_________　y2（填“＞”或“＜”）．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 ?2 ?3 ?2 …
20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（?1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．
 
20（8分）．如图，二次函数y=ax2?4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（?4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
 
21．（8分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．
（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．
 
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时 ，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由．
 

 

 

23．（10分）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（?4，?3），与y轴交于点B，对称轴是x=?3，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式．
（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=? ．
 

 

24．（10分）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
 

 

       第二十六章二次函数章末测试（三）
参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，?2），且顶点在第三象限，设P=a?b+c，则P的取值范围是（　　）
 
A． ?4＜P＜0 B． ?4＜P＜?2 C． ?2＜P＜0 D． ?1＜P＜0

考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题．
分析： 求出a＞0，b＞0，把 x=1代入求出a=2?b，b=2?a，把x=?1代入得出y=a?b+c=2a?4，求出2a?4的范围即可．
解答： 解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左边，
∴? ＜0，
∴b＞0，
∵图象与y轴的交点坐标是（0，?2），过（1，0）点，
代入得：a+b?2=0，
∴a=2?b，b=2?a，
∴y=ax2+（2?a）x?2，
把x=?1代入得：y=a?（2?a）?2=2a?4，
∵b＞0，
∴b=2?a＞0，
∴a＜2，
∵a＞0，
∴0＜a＜2，
∴0＜2a＜4，
∴?4＜2a?4＜0，
即?4＜P＜0，
故选A．
点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=? ；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．

2．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（?2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（　　）
A． 直线x=1 B． 直线x=?2 C． 直线x=?1 D． 直线x=?4

考点： 二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 先将（?2，0）代入一次函数解析式y=ax+b，得到?2a+b=0，即b=2a，再根据抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=? 即可求解．
解答： 解：∵一次函数y= ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（?2，0），
∴?2a+b=0，即b=2a，
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=? =?1．
故选C．
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：
点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式；
二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=? ．

3．二 次函数y=x2?4x+5的最小值是（　　）
A． ?1 B． 1 C． 3 D． 5

考点： 二次函数的最值．
分析： 先利用配方法将二次函数的一般式y=x2?4x+5变形为顶点式，再根据二次函数的性质即可求出其最小值．
解答： 解：配方得：y=x2?4x+5=x2?4x+22+1=（x?2）2+1，
当x=2时，二次函数y=x2?4x+5取得最小值为1．
故选B．
点评： 本题考查了二次函数最值的求法，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
 
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C． a+b+c=0 D． 当x＜1时，y随x的增大而减小

考点： 二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据抛物线的开口方向可得a＜0，根据抛物线对称轴可得方程ax2+bx+c=0的根为x=?1，x=3；根据图象可得x=1时，y＞0；根据抛物线可直接得到x＜1时，y随x的增大而增大．
解答： 解：A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误；
B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（?1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确；
C、把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c（ a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误；
D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误；
故选：B．
点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息．
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．△=b2?4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2?4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2?4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）
 
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 当?1＜x＜3时，y＞0 D． ?

考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题；存在型．
分析： 根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．
解答： 解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故本选项错误；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2?4ac＞0，故本选项错误；
C、由函数图象可知，当?1＜x＜3时，y＜0，故本选项错误；
D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（?1，0），（3，0），∴对称轴x=? = =1，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．

6．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（　 　）
A．   B．   C．   D． 

考点： 二次函数的图象；正比例函数的图象．
专题： 压轴题．
分析： 根据正比例函数图 象的性质确定m＜0，则二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
解答： 解：∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，
∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0．
∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
综上所述，符合题意的只有A选项．
故选A．
点评： 本题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知m＜0是解题的突破口．

7．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　）
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1

考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 压轴题．
分析： 先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．
解答： 解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（?2，?1），
所得抛物线为y=3（x+2）2?1．
故选C．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．

8．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=?1，且过点（?3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a?b=0；③4a+2b+c＜0；④若（?5，y1），（ ，y2）是抛物线上两点，则
y1＞y2．其中说法正确的是（　　）
 
A． ①② B． ②③ C． ①②④ D． ②③④

考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题．
分析： 根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（?5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞?1时，y随x的增大而增大即可判断④．
解答： 解：∵二次函数的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=?1，
∴? =?1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，∴①正确；
2a?b=2a?2a=0，∴②正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=?1，且过点（?3，0）．
∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=?1，
∴点 （?5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y 1），
根据当x＞?1时，y随x的增大而增大，
∵ ＜3，
∴y2＜y1，∴④正确；
故选C．
点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．

二．填空题（共8小题）
9．在平面直角坐标系中，把抛物线y=? x2+1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是　y=? （x+1）2+4　．

考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出抛物线解析式即可．
解答： 解：∵抛物线y=? x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴向上平移3个单位，再向左平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（?1，4），
∴所得抛物线的解析式为y=? （x+1）2+4．
故答案为y=? （x+1）2+4．
点评： 本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”．

10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是　a≠?1　．

考点： 二次函数的定义．
分析： 根据二次函数的定义条件列出不等式求解即可．
解答： 解：根据二次函数的定义可得a+1≠0，
即a≠?1．
故a的取值范围是a≠?1．
点评： 本题考查二次函数的定义．

11．把抛物线y=x2+4x+5改写成y=（x+h）2+k的形式为　顶点式　，其顶点坐标为　（?h，k）　．

考点： 二次函数的三种形式．
专题： 数形结合．
分析： 从抛物线的一般式到顶点式 ，则顶点为相应为括号内常数项的相反数为横坐标，最后的常数项即为坐标的纵坐标．
解答： 解：由题意知顶点式体现顶点坐标，
所以填：顶点式，
由题意知：坐标为（?h，k）
故答案为顶点式，（?h，k）．
点评： 本题考查了二次函数的顶点式，从抛物线的一般式开始，则顶点式即为括号内横坐标的相反数，纵坐标即为函数的常数项．

12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若?1＜m＜n＜1，则m+n＜? ；④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正确的结论是　①③④　（写出你认为正确的所有结论序号）．
 

考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题．
分析： 分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．
解答： 解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，
对称轴x=? ＞1，?b＜2a，∴2a+b＞0，故选项①正确 ；
∵?b＜2a，∴b＞?2a＞0＞a，
令抛物线解析式为y=? x2+bx? ，
此时a=c，欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为 和2，
则 =? ，
解得：b= ，
∴抛物线y=? x2+ x? ，符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0 与1之间，
对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c，（其实a＞c，a＜c，a=c都有可能），
故②选项错误；
∵?1＜m＜n＜1，?2＜m+n＜2，
∴抛物线对称轴为：x=? ＞1， ＞2，m+n ，故选项③正确；
当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞?2b，∴?3a?c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0，
∴3|a|+|c|=?3a?c＜2b=2|b|，故④选项正确．
故答案为：①③④．
点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键．

13．如图，抛物线的顶点为P（?2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，?2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　12　．
 

考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 压轴题．
分析： 根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．
解答： 解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，
由题意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（?2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，?2），
∴PO= =2 ，∠AOP=45°，
∴PP′= 2 ×2=4 ，
∴AD=DO= ×3= ，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4 × =12．
故答案为：12．
 
点评： 此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出AD，PP′是解题关键．

14．已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的番号有　①③④　．
 

考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题．
分析： 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答： 解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项正确；
②当x=?1时，y=a?b+c＜0，即b＞a+c，错误；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；
④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=? =1，
即a=? ，代入得9（? ）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．
故①③④正确．
故答案为：①③④．
点评： 此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

三．解答题（共11小题）
15．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
考点： 二次函数的定义．
分析： 根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
解答： 解：根据二次函数的定义可得：m2?2m?1=2，且m2?m≠0，
解得，m=3或m=?1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=?1时，y=2x2?4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．
点评： 本题考查二次函数的定义．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．

16．如果函数y=（m?3） +mx+1是二次函数，求m的值．

考点： 二次函数的定义．
专题： 计算题．
分析： 根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，即可答题．
解答： 解：根据二次函数的定义：m2?3m+2=2，且m?3≠0，
解得：m=0．
点评： 本题考查了二次函数的定义，属于基础题，比较简单，关键是对二次函数定义的掌握．

17．已知二次函数y= ．
（1）用配方法求出该函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象．
 

考点： 二次函数的图象；二次函数的三种形式．
分析： （1）利用配方法求出二次函数的对称轴和顶点坐标即可；
（2）把握抛物线与x轴，y轴的交点，顶点坐标，开口方向等画出图象即可．
解答： 解：（1）
y=
=? （x2?6x）?
=? （x2?6x+9?9）?
=? （x?3）2+2，
故顶点坐标为（3，2）和对称轴为直线x=3；

（2）当y=0，则0=? （x?3 ）2+2，解得：x=1或x=5，则图象与x轴的交点坐标为：（1，0），（5，0），
当x=0，则y=? ，则图象与y轴的交点坐标为：（0，? ），如图所示：
 ．
点评： 此题主要考查了配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标，此题是二次函数的基本性质也是考查重点，同学们应熟练掌握．

18．已知
（1）把它配方成y=a（x?h）2+k形式，写出它的开口方向、顶点M的坐标；
（2）作出函数图象；（填表描出五个关键点）
（3）结合图象回答：当x取何值，y＞0，y=0，y＜0．
 

考点： 二次函数的三种形式；二次函数的图象．
分析： （1）根据配方法求出二次函 数的对称轴、顶点坐标即可；
（2）由坐标轴上点的坐标特点求出函数图象与坐标轴的交点以及（1）中抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标描出各点，画出函数图象；
（3）根据（2）中函数图象直接得出结论．
解答： 解：（1）∵y=? x2+2x+6=? （x2?4x）+6=? （x?2）2+8，
∴对称轴是直线x=2，
抛物线的顶点坐标M为（2，8）；
（2）令x=0，则y=6；
令y=0，则x2+2x?3=0，
∴抛物线与坐标轴的交点是（0，6），（?2，0），（6，0）；
函数图象如图所示；

（3）由函数图象可知，当?2＜x＜6时，y＞0；当x=?2或6时，y=0，
当?2＞x或x＞6时，y＜0．
 
点评： 本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数与不等式，在解答此题时要注意利用数形结合求不等式的解集．

19．已知二次函数y=x2+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，则y1　＞　y2（填“＞”或“＜”）．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 ?2 ?3 ?2 …

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
分析： 由二次函数图象的对称性知，图表可以体现出二次函数 y=ax2+bx+c的对称轴和开口方向，然后由二次函数的单调性解答．
解答： 解：根据图表知，
当x=1和x=3时，所对应的y值都是?2，∴抛物线的对称轴是直线x=2，
又∵当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数的图象的开口方向是向上；
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
0＜x1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2，
故答案是：y1＞y2．
点评： 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．
15．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（?1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．
 

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
分析： （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出E，F点坐标，即可得出△DEF的面积．
解答： 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（?1，0）和B（3，0）两点，
∴ ，
解得： ，
故抛物线解析式为 ：y=x2?2x?3；

（2）根据题意得：
 ，
解得： ， ，
∴D（4，5），
对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴F（0，1），
对于y=x2?2x?3，当x=0时，y=?3，∴E（0，?3），
∴EF=4，
过点D作DM⊥y轴于点M．
∴S△DEF= EF•DM=8．
 
点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，利用数形结合得出D，E，F点坐标是解题关键．

20．如图，二次函数y=ax2?4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（?4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
 

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
分析： （1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．
解答： 解：（1）由已知条件得 ，
解得 ，
所以，此二次函数的解析式为y=?x2?4x；

（2）∵点A的坐标为（?4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP= ×4h=8，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，?x2?4x=4，
解得x=?2，
所以，点P的坐标为（?2，4），
②当点P在x轴下方时，?x2?4x=? 4，
解得x1=?2+2 ，x2=?2?2 ，
所以，点P的坐标为（?2+2 ，?4）或（?2?2 ，?4），
综上所述，点P的坐标是：（?2，4）、（?2+2 ，?4）、（?2?2 ，?4）．
点评： 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上 方与下方两种情况讨论求解．

21．在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．
（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．
 

考点： 相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
专题： 代数几何综合题；压轴题．
分析： （1）根据全等三角形的对应边相等知AP=AD=3；然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以求得BP的长度；
（2）根据相似三角形Rt△ABP∽Rt△PCE的对应边成比例列出关于x、y的方程，通过二次函数的最值的求法来求y的最大值；
（3）如图，连接BD．利用（2）中的函数关系式设BP=x，则CE= ，然后根据相似三角形△CPE∽△CBD的对应边成比例列出关于x的一元二次方程，通过解该方程即可求得此时BP的长度．
解答： 解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知），
∴AP=AD=3（全等三角形的对应边相等 ）；
在Rt△ABP中，BP= = = （勾股定理）；

（2）∵AP⊥PE（已知），
∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴ 即 （相似三角形的对应边成比例），
∴ =
∴当x= 时，y有最大值，最大值是 ；

（3）如图，连接BD．设BP=x，
∵PE∥BD，
∴△CPE∽△CBD，
∴ （相似三角形的对应边成比例），
即
化简得，3x2?13x+12=0
解得，x1= ，x2=3（不合题意，舍去），
∴当BP= 时，PE∥BD．
 
点评：  本题综合考查了矩形的性质、勾股定理、二次函数的最值等知识点．本题中求二次函数的最值时，采用了配方法．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在C A上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由．
 

考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理．
专题： 压轴题；动点型．
分析： （1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；
（2）分别从当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H与当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；
（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的对应边成比例，求得△PBQ各边的长，根据相似三角形的判定，即可得以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；
（4）由x=5秒，求得AQ与AP的长，可得PQ是△ABC的中位线，即可得PQ是AC的垂直平分线，可得当M与P重合时△BCM得周长最小，则可求得最小周长的值．
解答： 解：（1）设AC=4ycm，BC=3ycm，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即：（4y）2+（3y）2=102，
解得：y=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=xcm，
∴BP=（10?x）cm，BQ=2xcm，
∵△QHB∽△ACB，
∴ ，
∴QH= xcm，
y= BP•QH= （10?x）• x=? x2+8x（0＜x≤3），
②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=xcm，
∴BP=（10?x）cm，AQ=（14?2x）cm，
∵△AQH′∽△ABC，
∴ ，
即： = ，
解得：QH′= （14?2x）cm，
∴y= PB•QH′= （10?x）• （14?2x）= x2? x+42（3＜x＜7）；
∴y与x的函数关系式为：y= ；

（3）∵AP=xcm，AQ=（14?2x）cm，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴ = ，
即： = ，
解得：x= ，PQ= ，
∴PB=10?x= cm，
∴ = = ≠ ，
∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；

（4）存在．
理由：∵AQ=14?2x=14?10=4cm，AP=x=5cm，
∵AC=8cm，AB=10cm，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴PQ∥BC，
∴PQ⊥AC，
∴PQ是AC的垂直平分线，
∴PC=AP=5cm，
∵AP=CP，
∴AP+BP=AB，
∴AM+BM=AB，
∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，
∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16cm．
∴△BCM的周长最小值为16cm．
 
 
 
 
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

23．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（?4，?3），与y轴交于点B，对称轴是x=?3，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式．
（2 ）若 和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=? ．
 

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
分析： （1）把点A（?4，?3）代入y=x2+bx+c得16?4b+c=?3，根据对称轴是x=?3，求出b=6，即可得出答案，
（2）根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x=?3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD=8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为（0，5），求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．
解答： 解：（1）把点A（?4，?3）代入y=x2+bx+ c得：
16?4b+c=?3，
c?4b=?19，
∵对称轴是x=?3，
∴? =?3，
∴b=6，
∴c=5，
∴抛物线的解析式是y=x2+6x+5；

（2）∵CD∥x轴，
∴点C与点D关于x=?3对称，

∵点C在对称轴左侧，且CD=8，
∴点C的横坐标为?7，

∴点C的纵坐标为（?7）2+6×（?7）+5=12，
∵点B的坐标为（0，5），
∴△BCD中CD边上的高为12?5=7，
∴△BCD的面积= ×8×7=28．
 
点评： 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，用到的知识点是二次函数的图象和性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想 的应用．

2．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛 物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
 

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
专题： 压轴题．
分析： （1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；
（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴ ，
解得 ，
所以抛物线的函数表达式为y=x2?4x+3 ；
（2）∵y=x2?4x+3=（x?2）2?1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，?1），对称轴为直线x=2；

（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，?1），
∴PP′=1，
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，
∴阴影部分的面积=2．
 
点评： 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．

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