安徽省安庆市宿松县2015届九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分．
1．sin30°的值是（）
A． B． C． D． 1
2．抛物线y=?（x?2）2+3的顶点坐标是（）
A． （?2，3） B ． （2，3） C． （2，?3） D． （?2，?3）
3．若反比例函数y= ，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）
A． k＞?2 B． k＜?2 C ． k＞2 D． k＜2
4．在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（）
A． B． C． 2 D．
5．如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（）
A． ∠ABD=∠C B． ∠ADB=∠ABC C． BC2=CD•AC D． AB2=AD•AC
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA= ，则AC的长是（）
A． 3 B． 4 C． 6 D． 8
7．反比例函数y= 的图象如图所示，则二次函数y=x2?kx+k的大致图象是（）
A． B． C． D．
8．如图，菱形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，连接CE，CF，EF，若四边形ABCD的面积是40cm2，则△CEF的面积为（）
A． 5cm2 B． 10cm2 C． 15cm2 D． 20cm2
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，下列结论中：①ac＞0；②2a+b=0；③b2?4ac＞0；④a?b+c＞0．正确的是（）
A． ①② B． ②③ C． ②③④ D． ①②③④
10．如图，在等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿AB?BC的方向向点C移动，若△APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S（cm2）与移动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．请写一个二次函数，使它满足下列条件：
（1）函数的图象可由抛物线y=x2平移得到；
（2）当x＞1时，y随x的增大而增大．
你的结果是．
12．如图，点A是反比例函数y= 图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△OAB的面积为3，则k的值为．
13． 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度i=3：4，坝高BC=4.5m，则坡面AB的长度为m．
14．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O．设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①BG⊥DE；② ；③△BCG∽△EFO；④ ．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：2?2? cos60°?2sin45°+|1? |．
16．已知抛物线y=?x2+bx+c的对称轴是直线x=?1，且经过点（2，?3），求这个二次函数的表达式．
四、（本大题共2小题 ，每小题8分，满分16分）
17．如图 ，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题：
（1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，得到△A1B1C1；
（2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变化后对应的点P′的坐标是．
18．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B在第一象限内，如图所示，且OA=a，OC=b．请根据下列操作，完成后面的问题．
【操作】
（1）连接AC，OB相交于点P1，则点P1的纵坐标为；
（2）过点P1作P1D⊥x轴于点D，连接BD交AC于点P2，则点P2的纵坐标为；
（3）过点P2作P2E⊥x轴于点E，连接BE交AC于点P3，则点P3的纵坐标为；
…
【问题】
（1）过点P3作P3F⊥x轴于点F，连接BF交AC于点P4，直接写出点P4的纵坐标；
（2）按照上述操作进行下去，猜想点Pn（n为正整数）的纵坐标是．（用含n的代数式表示）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度（精确到1m）；
（参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
20．如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8．
（1）求sin∠ABD．
（2）扬扬发现∠ABC=2∠ABD，于是她推测：sin∠ABC=2sin∠ABD，它的推测正确吗？请通过本题图形中的数据予以说明．
六、（本题满分12分）
21．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（3，2）和B（?1，n）．
（1）试确定反比例函数与一次函数表达式；
（2）求△OAB的面积S；
（3）结合图象，直接写出函数值 ＜ax+b时，自变量x的取值范围．
七、（本题满分12分）
22．“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图：
（1）求每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式；
（2）若该商品每天的利润为w（元），试确定w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，并求售价x为多少时，每天的利润w最大？最大利润是多少？
八、（本题满分14分）
23．如图①在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A．B重合），分别连接ED．EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
【试题再现】如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E．求证：△ADC∽△CEB．
【问题探究】在图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
【深入探究】如图③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于点P，过点P作AB⊥AD于点A，交BC于点B．
（1）请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点；
（2）若AD=3，BC=5，试求AB的长；
安徽省安庆市宿松县2015届九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分．
1．sin30°的值是（）
A． B． C． D． 1
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
解答： 解：sin30°= ．
故选：A．
点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
2．抛物线y=?（x?2）2+3的顶点坐标是（）
A． （?2，3） B． （2，3） C． （2，?3） D． （?2，?3）
考点： 二次函数的性质．
分析： 直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
解答： 解：∵抛物线的解析式为：y=?（x?2）2+3，
∴其顶点坐标为（2，3）．
故选B．
点评： 本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
3．若反比例函数y= ，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）
A． k＞?2 B． k＜?2 C． k＞2 D． k＜2
考点： 反比例函数的性质．
分析： 根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
解答： 解：∵反比例函数y= ，当x＜0时y随x的增大而增大，
∴k+2＜0，解得k＜?2．
故选：B．
点评： 本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y= ，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
4．在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（）
A． B． C． 2 D．
考点： 锐角三角函数的定义．
专题： 网格型．
分析： 根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．
解答： 解：由图可得，tanα=2÷1=2．
故选C．
点评： 本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．
5．如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（）
A． ∠ABD=∠C B． ∠ADB=∠ABC C． BC2=CD•AC D． AB2=AD•AC
考点： 相似三角形的判定．
分析： 由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得C与D正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得B正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解答： 解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当 = ，即AB2=AC•AD时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故D正确；
当 = ，即BC2=CD•AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
故C错误．
故选C．
点评： 此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA= ，则AC的长是（）
A． 3 B． 4 C． 6 D． 8
考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理．
分析： 根据锐角三角函数正切等于对边比邻边，可得BC与AC的关系，根据勾股定理，可得AC的长．
解答： 解：由tanA= = ，得
BC=3x，CA=4x，
由勾股定理，得
BC2+AC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=100，
解得x=2，
AC=4x=4×2=8．
故选：D．
点评： 本题考查了锐角三角函数，利用了锐角三角函数正切等于对边比邻边，还利用了勾股定理．
7．反比例函数y= 的图象如图所示，则二次函数y=x2?kx+k的大致图象是（）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象．
分析： 根据反比例函数图象判断出k＜0，然后确定出抛物线的对称轴和开口方向以及与y轴的交点，再选择答案即可．
解答： 解：∵反比例函数y= 的图象位于第二四象限，
∴k＜0，
∴二次函数图象开口向上，
二次函数图象的对称轴为直线x=? = k＜0，
x=0时，y=k＜0，
所以，二次函数图象与y轴的负半轴相交，
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选B．
点评： 本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，熟练掌握两函数图象的特征并确定出k的取值是解题的关键．
8．如图，菱形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，连接CE，CF，EF，若四边形ABCD的面积是40cm2，则△CEF的面积为（）
A． 5cm2 B． 10cm2 C． 15cm2 D． 20cm2
考点： 菱形的性质．
分析： 如图，作辅助线；证明AC⊥BD，AO=CO（设为λ）；证明EF= BD，AO⊥EF；由△ABD∽△AEF，得到 =2，进而得到CM=1.5λ；运用面积公式即可解决问题．
解答： 解：如图，连接AC，分别交EF、BD于点M、O；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO（设 为λ）；
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，EF= BD，AO⊥EF；
∴△ABD∽△AEF，
∴ =2，
∴OM= OA=0.5λ，CM=1.5λ，
∴ ，
∵SABCD=40，
∴S△EFC=15（cm2）．
故选C．
点评： 该题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用菱形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定等知识点来分析、解答．
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，下列结论中：①ac＞0；②2a+b=0；③b2?4ac＞0；④a?b+c＞0．正确的是（）
A． ①② B． ②③ C． ②③④ D． ①②③④
考点： 二次函数图象与系数的关系．
分析： 由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线与y轴交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称方程可对②进行判断；由抛物线与x轴的交点个数可对③进行判断；由于x=?1时函数值小于0，则可对④进行判断．
解答： 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点位于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=? =1，
∴b=?2a，即2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2?4ac＞0，所以③正确；
∵x=?1时，y＜0，
∴a?b+c＜0，所以④错误．
故选B．
点评： 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开 口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2?4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2?4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2?4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．如图，在等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向 点C移动，同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿AB?BC的方向向点C移动，若△APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S（cm2）与移动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（）
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象．
分析： 当0≤t≤2和2＜t≤4时，分别求出函数解析式，根据函数的性质分析即可得出结论．
解答： 解：当0≤t≤2时，S= ，
此函数抛物线开口向上，且函数图象为抛物 线右侧的一部分；
当2＜t≤4时，S= ，
此函数图象是直线的一部分，且S随t的增大而减小．
所以符合题意的函数图象只有C．
故选：C．
点评： 本题主要考查了动点问题的函数图形，分段讨论，求出函数表达式是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．请写一个二次函数，使它满足下列条件：
（1）函数的图象可由抛物线y=x2平移得到；
（2）当x＞1时，y随x的增大而增大．
你的结果是y=x2?2x或y=x2?x．
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 开放型．
分析： 可由抛物线y=x2平移得到的抛物线解析式中二次项系数是1；当x＞1时，y随x的增大而增大，则对称轴小于1．
解答： 解：∵函数的图象可由抛物线y=x2平移得到，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴该函数的解析式为y=x2?2x或y=x2?x．
故答案是：y=x2?2x或y=x2?x．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换．注意，根据（2）可以得到对称轴小于1是解题的难点．
12．如图，点A是反比例函数y= 图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△OAB的面积为3，则k的值为6．
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
分析： 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= |k|．
解答： 解：根据题意可知：S△AOB= |k|=3，
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则k=6．
故答案为：6．
点评： 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是2015届中考的重要考点，同学们应高度关注．
13． 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度i=3：4，坝高BC=4.5m，则坡面AB的长度为7.5m．
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
解答： 解：在Rt△ABC中，BC=4.5米，tanA=3：4；
∴AC=BC÷tanA=6米，
∴AB= =7.5米．
故答案为：7.5．
点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
14．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O．设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①BG⊥DE；② ；③△BCG∽△EFO；④ ． 其中正确结论的序号是①③④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析： 延长BG交DE于点H由四边形ABCD、CEFG都是正方形，得到BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，通过△BCG≌△DCE，可证得①正确；由EF∥CD，证得△DGO∽△DCE，可得 ，而不是 ，②错误；由∠F=∠BCD=90°，∠CBG=∠CDE=∠FEO，得到△BCG∽△EFO，故③正确；根据△EFO∽△DGO，即可得到结果（a?b） 2S△EFO=b2S△DGO，故④正确．
解答： 证明：延长BG交D E于点H．
∵四边形ABCD、CEFG都是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠CDE=∠CBG，
∵∠DGH=∠BGC，
∴∠BCG=DHG=90°，
即BG⊥DE，故①正确；
∵EF∥CD，
∴∠GDE=∠FEO，
∵∠F?∠DCE=90°，
∴△DGO∽△DCE，
∴ ，而不是 ，
∴故②错误；
∵∠F=∠BCD=90°，
∠CBG=∠CDE=∠FEO，
∴△BCG∽△EFO，故③正确；
∵△EFO∽△DGO，
∴ = = ，
∴（a?b）2S△EFO=b2S△DGO，故④正确．
故答案为：①③④．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：2?2? cos60°?2sin45°+|1? |．
考点： 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用负指数幂法则计算，第二、三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
解答： 解：原式= ? × ?2× + ?1= ? ? + +1=1．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．已知抛物线y=?x2+bx+c的对称轴是直线x=?1，且经过点（2，?3），求这个二次函数的表达式．
考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 由抛物线的一般形式可知：a=?1，由对称轴方程x=? ，可得一个等式? ①，然后将点（2，?3）代入y=?x2+bx+c即可得到等式?4+2b+c=?3②，然后将①②联立方程组解答即可．
解答： 解：根据题意，得： ，
解得 ，
所求函数表达式为y=?x2?2x+5．
点评： 此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是：熟练掌握待定系数法及对称轴表达式x=? ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题：
（1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，得到△A1B1C1；
（2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变化后对应的点P′的坐标是（2a，2b）．
考点： 作图-位似变换．
分析： （1）由以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，可得△A1B1C1的坐标，继而画出△A1B1C1；
（2）由（1）可得△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，继而可求得位似变化后对应的点P′的坐标．
解答： 解：（1）如图：
（2）∵以点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，且△ABC内一点P的坐标为（a，b），
∴位似变化后对应的点P′的坐标是：（2a，2b）．
故答案为：（2a，2b）．
点评： 此题考查了位似图形的性质与位似变换．此题难度不大，注意掌握位似图形的性质是解此题的关键．
18．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B在第一象限内，如图所示，且OA=a，OC=b．请根据下列操作，完成后面的问题．
【操作】
（1）连接AC，OB相交于点P1，则点P1的纵坐标为 a；
（2）过点P1作P1D⊥x轴于点D，连接BD交AC于点P2，则点P2的纵坐标为 a；
（3）过点P2作P2E⊥x轴于点E，连接BE交AC于点P3，则点P3的纵坐标为 a；
…
【问题】
（1）过点P3作P3F⊥x轴于点F，连接BF交AC于点P4，直接写出点P4的纵坐标；
（2）按照上述操作进行下去，猜想点Pn（n为正整数）的纵坐标是 ．（用含n的代数式表示）
考点： 四边形综合题．
分析： 【操作】（1）由矩形的性质得出∠AOC=90°，OA=BC，OA∥BC，P1A=P1C= AC，P1O=P1B= OB，证出P1D是△AOC的中位线，得出P1D= OA= a即可；
（2）由平行线得出△DP1P2∽△BCP2，得出对应边成比例 = ，求出P2E即可；
（3）同（2），即可得出结果；
【问题】（1）由【操作】（1）（2）（3）得出规律，即可得出结果；
（2）由以上得出规律，即可得出结果．
解答： 解：【操作】（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°，OA=BC=a，OA∥BC，P1A=P1C= AC，P1O=P1B= OB，
∵P1D⊥x轴，
∴P1D∥AO，
∴P1D是△AOC的中位线，
∴P1D= OA= a，
∴点P1的纵坐标为 a；
故答案为： a；
（2）∵P1D∥OA，OA∥BC，
∴P1D∥BC，
∴△DP1P2∽△BCP2，
∴ = ，
∵P1D⊥x轴，P2E⊥x轴，
∴P2E∥P1 D，
∴ = ，
∴P2E= × a= a，
∴点P2的纵坐标为 a；
故答案为： a；
（3）同（2）可得：点P3的纵坐标为 a；
故答案为： a；
【问题】（1）由：【操作】（1）（2）（3）得出规律，点P4的纵坐标为 a；
（2）由以上得出规律：点Pn（n为正整数）的纵坐标是 ；
故答案为： ．
点评： 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；本题有一定难度，综合性强，需要运用三角形中位线定理和三角形相似才能得出结果，得出规律．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度（精确到1m）；
（参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： （1）先根据平行线的性质得出∠ADB=69°，再由tan69°= 即可得出结论；
（2）先根据平行线的性质得出∠ACF=30°，由tan30°= 得出AF的长，故可得出BF的长，进而得出结论．
解答： 解：（1）∵AE∥BD，∠EAD=69°，
∴在Rt△ABD中，∠ADB=69°，
∵tan69°= ，
∴BD= ．
∴BD≈ ≈30（m）；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∠ACF=30°，CF=BD≈30，
∵AF∥CF，∠EAC=30°，
∴∠ACF=30°．
∵tan30°= ，
∴AF=CF•tan30°=30× ，
∴CD=BF=80?10 （m）．
点评： 本题考查的是解直角三角形的应用?仰角俯角问题，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8．
（1）求sin∠ABD．
（2）扬扬发现∠ABC=2∠ABD，于是她推测：sin∠ABC=2sin∠ABD，它的推测正确吗？请通过本题图形中的数据予以说明．
考点： 菱形的性质；勾股定理；解直角三角形．
分析： （1）由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=3，BO=4，△ABO是直角三角形，再利用勾股定理可得到AB=5，再利用正弦的定义即可求得sin∠ABD的值；
（2）作AE⊥BC，构筑直角三角形ABE，利用平行四边形的面积求得AE的长度，再在直角三角形ABE中，利用正弦的定义即可求得sin∠ABC，从而可证sin∠ABC与2sin∠ABD不相等．
解答： 解：（1）设AC、BD交于点O，
则AO⊥BO，AO=3，BO=4，
根据勾股定理得 ，
∴sin∠ABD= ．
（2）不正确．
理由：如图，作AE⊥BC，垂足为E，菱形ABCD的面积= ，
即 ，
得 ，
所以 ．
由（1）得sin∠ABD= ，
∴2sin∠ABD=2× = ≠sin∠ABC，
即扬扬的推测不正确．
点评： 本题主要考查菱形的性质，面积公式及锐角三角函数中正弦的定义，掌握好菱形的性质和正弦定义是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（3，2）和B（?1，n）．
（1）试确定反比例函数与一次函数表达式；
（2）求△OAB的面积S；
（3）结合图象，直接写出函数值 ＜ax+b时，自变量x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 数形结合．
分析： （1）把点点A的坐标代入y= 就可求出反比例函数表达式，然后把点B的坐标代入反比例函数表达式，就可求出点B的坐标，然后把A、B两点的坐标代入y=ax+b，就可求出一次函数表达式；
（2）设一次函数y=2x?4的图象与y轴交点为C，运用割补法将S△OAB转化为S△OAC+S△OBC，只需求出OC长就可解决问题；
（3）运用数形结合的思想，结合图象就可解决问题．
解答： 解：（1）∵点A（3，2）在y= 的图象上，∴2= ，
解得：k=6，
∴反比例函数表达式为y= ；
∵点B（?1，n）在y= 的图象上，
∴n= =?6，
根据题意，得
，
解得： ，
∴一次函数表达式为y=2x?4；
（2）设一次函数y=2x?4的图象与y轴交点为C，
当x=0时，y=0?4=?4，则点C坐标为（0，?4），
∴S△OAB=S△OAC+S△OBC= ×4×3+ ×4×1=8；
∴△OAB的面积为8；
（3）结合图象可得：当?1＜x＜0或x＞3时，函数值 ＜ax+b．
点评： 本题考查的是有关反比例函数与一次函数交点问题，在解决问题的过程中，用到待定系数法、割补法等重要的数学方法，还用到数形结合的思想，突出了对数学思想方法的考查，是一道好题．
七、（本题满分12分）
22．“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图：
（1）求每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式；
（2）若该商品每天的利润为w（元），试确定w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，并求售价x为多少时，每天的利润w最大？最大利润是多少？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）分别利用当20≤x≤40时，设y=ax+b，当40＜x≤ 60时，设y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利用（1）中所求进而得出w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，进而求出函数最值．
解答： 解：（1）分两种情况：当20≤x≤40时，设y=ax+b，
根据题意，得 ，
解得 ，
故y=x+20；
当40＜x≤60时，设y=mx+n，
根据题意，得 ，
解得 ，故
y=?2x+140；
故每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式是：
y= ．
（2）w= ，
当20≤x≤40时，w=x2?400，
由于1＞0抛物线开口向上，且x＞0时w随x的增大而增大，又20≤x≤40，
因此当x=40时，w最大值=402?400=1200；
当40＜x≤60时，w=?2x2+180x?2800=?2（x?45）2+1250，
由于?2＜0，抛物线开口向下，又40＜x≤60，
所以当x=45时，w最大值=1250．
综上所述，当当x=45时，w最大值=1250．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，利用分段函数求出是解题关键．
八、（本题满分14分）
23．如图①在四 边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A．B重合），分别连接ED．EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
【试题再现】如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E．求证：△ADC∽△CEB．
【问题探究】在图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
【深入探究】如图③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于点P，过点P作AB⊥AD于点A，交BC于点B．
（1）请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点；
（2）若AD=3，BC=5，试求AB的长；
考点： 相似形综合题．
分析： 【试题再现】根据已知条件证得∠BCE=∠CAD，由∠ADC=∠CEB=90°，于是得到△ADC∽△CEB．
【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．由∠DEC=40°，得到∠DEA+∠CEB=140°；根据∠A=40°，得到∠ADE+∠AED=140°，于是得到∠ADE=∠CEB，推出△ADE∽△BEC，同时得到结论；
【深入探究】（1）根据AD∥BC，得到∠ADC+∠BCD=180°，由于DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，于是得到∠CDP+∠DCP= （∠ADC+∠BCD）=90°，由于∠DPC=∠A=∠B=90°，∠ADP=∠CDP，有一定的△ADP∽△PDC，同理△BPC∽△PDC，即点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点．
（2）过点P作PE⊥DC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，得到DF=AB，推出△ADP≌△EDP，得到AD=DE，同理△CBP≌△CEP，得到BC=EC，于是得到DC=AD+BC=8．在Rt△CDF中，CF=BC?BF=BC?AD=5?3=2，由勾股定理，得DF= ，即可得到结论．
解答： 解答：【试题再现】
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥DE，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∵∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC∽△CEB．
【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由如下：
∵∠DEC=40°，
∴∠DEA+∠ CEB=140°；
∵∠A=40°，
∴∠ADE+∠AED=140°，
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴E点是四边形ABCD的边AB上的相似点．
【深入探究】
（1）∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，
∴∠CDP+∠DCP= （∠ADC+∠BCD）=90°，
∵DA⊥AB，
∴CB⊥AB，
∴∠DPC=∠A=∠B=90°，
∵∠ADP=∠CDP，
∴△ADP∽△PDC，同理△BPC∽△PDC，
∴△ADP∽△PDC∽△BPC，即点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点．
（2）过点P作PE⊥DC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
∴DF=AB，
在△ADP与△EDP中，
∴△ADP≌△EDP，
∴AD=DE，
同理△CBP≌△CEP，
∴BC=EC，
∴DC=AD+BC=8．
在Rt△CDF中，CF=BC?BF=BC?AD=5?3=2，
由勾股定理，得DF= ，
∴AB=2 ．
点评： 本题考查了相似形综合题，主要利用了相似三角形对应边成比例，矩形的对边平行且相等的性质，读懂题目信息，理解四边形边上的相似点与强相似点的定义并根据图形确定出相似三角形，准确找出对应边是解题的关键．
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