2015中考压轴题静态几何之综合问题专题试题(含答案)

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原创模拟预测题1. 如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是()
 
A.      B.     C.     D.
【答案】C.
【解析】
试题分析:连接AC1,AO,根据四边形AB1C1D1是正方形,得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°,求出∠DAB1=45°,推出A、D、C1三点共线,在Rt△C1D1A中,由勾股定理求出AC1,进而求出DC1=OD,根据三角形的面积计算即可.
试题解析:连接AC1,
 
 
∴∠DAB1=90°-45°=45°,
∴AC1过D点,即A、D、C1三点共线,
 
故选C.
考点:1.旋转的性质;2.正方形的性质.

原创模拟预测题2. 如图,已知l1∥l2∥l3,相邻两条平行直线间的距离相等,若Rt△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上,且∠ACB=90°,∠ABC=30°,则cosα的值是【    】
 
A.            B.          C.          D. 
【答案】D。
【考点】平行线的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 
【分析】如图,分别过点C作DE⊥l2, DE与l1交于点D,DE与l3交于点E,
            
 
故选D。
原创模拟预测题3. 如图,以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心、OA长为半径作⊙O,⊙O经过B、D两点,过点B作BK⊥AC,垂足为K,过点D作DH∥KB,DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H。
 
(1)求证:AE=CK
(2)若AB=a,AD= a(a为常数),求BK的长(用含a的代数式表示)。
(3)若F是EG的中点,且DE=6,求⊙O的半径和GH的长。
【答案】(1)证明见解析;(2) ;(3) ,6.
【解析】
 
试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠DAE=∠BCK,
∵BK⊥AC,DH∥KB,
∴∠BKC=∠AED=90°,
∴△BKC≌△ADE,
∴AE=CK;
 
(3)连结OG,
 
∵AC⊥DG,AC是⊙O的直径,DE=6,∴DE=EG=6,
又∵EF=FG,∴EF=3;
 
连接BG可得△BGF≌△AEF,AF=BF,△ADF≌△BHF
∵AD=BC,BF∥CD,∴HF=DF,
∵FG=EF,∴HF-FG=DF-EF,∴HG=DE=6.
考点:1.相似三角形的判定与性质;2.全等三角形的判定与性质;3.三角形中位线定理;4.垂径定理.

原创模拟预测题4. 平面内有四个点A、B、C、D,其中∠ABC=1500,∠ADC=300,AB=BC=1,则满足题意的BD长的最大值是    ▲    。
【答案】 。
【考点】圆周角定理,圆内接四边形的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,二次根式化简。
【分析】如图,考虑到∠ABC=1500,∠ADC=300,根据圆内接四边形对角互补的性质,知点A、B、C、D在同一圆上,且点D在优弧AC上,所以BD长的最大值是BO的延长线与⊙O的交点(点O是AB和BC中垂线的交点)。
连接OC,过点C作CH⊥BD于点H,
 
设OC=x,
 
在Rt△CHD中,由勾股定理,得 ,
∴ 。
∴ 。
∴BD长的最大值是 。
原创模拟预测题5. 如图,分别以Rt△ABC的斜两条直角边为边向△ABC外作等边△BCD和等边△ACE, AD与BE交于点H,∠ACB=90°。
(1)求证:AD=BE;
(2)求∠AHE的度数;
(3)若∠BAC=30°,BC=1,求DE的长
 
【答案】(1)∵△BCD和△ACE是等边三角形,
∴∠BCD=∠ACE=60°,BC=DC,AC=CE。
∴∠ACD=∠ECB。
∴△ACD≌△ECB(SAS)。
∴AD=BE。
 
【考点】等边三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】(1)由SAS证明△ACD≌△ECB即可。
(2)由(1)得∠DAC=∠BEC,可判定点A、H、C、E在同一圆上,根据圆周角定理即可求得结果。
(3)首先由含30度角的直角三角形的性质求出AB和AC的长,再判定△ABE是直角三角形,由勾股定理得到BE的长,最后由△BCE≌△DCE得出结果。
原创模拟预测题6. 如图,AB为⊙O的直径,弦CD与AB相交于E,DE=EC,过点B的切线与AD的延长线交于F,过E作EG⊥BC于G,延长GE交AD于H.
 
(1)求证:AH=HD;
(2)若AE:AD= ,DF=9,求⊙O的半径。
【答案】(1)证明见解析;(2)10.
【解析】
 
∴AB⊥CD,
∴∠C+∠CBE=90°,
∵EG⊥BC,
∴∠C+∠CEG=90°,
∴∠CBE=∠CEG,
∵∠CBE=∠CDA,∠CEG=∠DEH,
∴∠CDA=∠DEH,
∴HD=EH,
∵∠A+∠ADC=90°,∠AEH+∠DEH=90°,
∴AH=EH,
∴AH=HD;
 
∴AB= ,
∴⊙O的半径为10.
考点:1.切线的性质;2.垂径定理;3.圆周角定理;4.相似三角形的判定与性质.

原创模拟预测题7. 如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠BPC=60°,过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D.
 
(1)求证:△ADP∽△BDA;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若AD=2,PD=1,求线段BC的长.
【答案】(1)证明详见解析;(2) PA+PB=PC,证明详见解析;(3) .
【解析】
试题分析:(1)首先作⊙O的直径AE,连接PE,利用切线的性质以及圆周角定理得出∠PAD=∠PBA进而得出答案;
(2)首先在线段PC上截取PF=PB,连接BF,进而得出△BPA≌△BFC(AAS),即可得出PA+PB=PF+FC=PC;
(3)利用△ADP∽△BDA,得出 ,求出BP的长,进而得出△ADP∽△CAP,则 ,则AP2=CP•PD求出AP的长,即可得出答案.
 
(3)解:∵△ADP∽△BDA,∴ = = ,
∵AD=2,PD=1∴BD=4,AB=2AP,∴BP=BD?DP=3,
∵∠APD=180°?∠BPA=60°,∴∠APD=∠APC,
∵∠PAD=∠E,∠PCA=∠E,∴PAD=∠PCA,∴△ADP∽△CAP,∴ = ,
∴AP2=CP•PD,∴AP2=(3+AP)•1,
解得:AP= 或AP= (舍去),∴BC=AB=2AP=1+ .
 
考点:切线的性质;圆周角定理;全等三角形的判定和性质;相似三角形的判定和性质.


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