数学试卷
第I卷（ 共30分）
一、（共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列各数中，最大的是（ ）
A．－3 B．0 C．1 D．2
答案：D
解析：0大于负数，正数大于0，也大于负数，所以，2最大，选D。
2．式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． <1 B． ≥1 C． ≤－1 D． <－1
答案：B
解析：由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1。
3．不等式组 的解集是（ ）
A．－2≤ ≤1 B．－2< <1 C． ≤－1 D． ≥2
答案：A
解析：解（1）得：x≥-2,解（2）得x≤1，所以，－2≤ ≤1
4．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球．
B．摸出的三个球中至少有一个球是白球．
C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球．
D．摸出的三个球中至少有两个球是白球．
答案：A
解析：因为白球只有2个，所以，摸出三个球中，黑球至少有一个，选A。
5．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ）
A．－2 B．－3 C．2 D．3
答案：B
解析：由韦达定理，知： ＝－3。
6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的
度数是（ ）
A．18° B．24° C．30° D．36°
答案：A
解析：因为AB＝AC，所以，∠C＝∠ABC＝ （180°－36°）＝72°，
又BD为高，所以，∠DBC＝90°72°＝18°
7．如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，
它的左视图是（ ）
答案：C
解析：由箭头所示方向看过去，能看到下面三个小正方形，上面一个小正方形，所以选C。
8．两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么六条直线最多有（ ）
A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点
答案：C
解析：两条直线的最多交点数为： ×1×2＝1，
三条直线的最多交点数为： ×2×3＝3，
四条直线的最多交点数为： ×3×4＝6，
所以，六条直线的最多交点数为： ×5×6＝15，
9．为了解学生课外的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其它”类统计。图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图。以下结论不正确的是（ ）
A．由这两个统计图可知喜欢“科普常识”的学生有90人．
B．若该年级共有1200名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有
360个．
C．由这两个统计图不能确定喜欢“小说”的人数．
D．在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为72°．
答案：C
解析：读左边图，知“其它”有30人，读右边图，知“其它”占10%，所以，总人数为300人，“科普知识”人数：30%×300＝90，所以，A正确；该年级“科普知识”人数：30%×1200＝360，所以，B正确；，因为“漫画”有60人，占20%，圆心角为：20%×360＝72°，
小说的比例为：1－10%－30%－20%＝40%，所以，D正确，C错误，选C。
10．如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，
若∠CED＝ °，∠ECD＝ °，⊙B的半径为R，则 的长度是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由切线长定理，知：PE＝PD＝PC，设∠PEC＝z°
所以，∠PED＝∠PDE＝（x＋z）°，∠PCE＝∠PEC＝z°，
∠PDC＝∠PCD＝（y＋z）°，
∠DPE＝（180－2x－2z）°，∠DPC＝（180－2y－2z）°，
在△PEC中，2z°＋（180－2x－2z）°＋（180－2y－2z）°＝180°，
化简，得：z＝（90－x－y）°，
在四边形PEBD中，∠EBD＝（180°－∠DPE）＝180°－（180－2x－2z）°＝（2x＋2z）°＝（2x＋180－2x－2y）＝（180－2y）°，
所以，弧DE的长为： ＝
选B。
第II卷（非选择题 共84分）
二、题（共4小题，每小题3分，共12分）
11．计算 ＝ ．
答案：
解析：直接由特殊角的余弦值，得到。
12．在2013年的体育中考中，某校6名学生的分数分别是27、28、29、28、26、28．这组
数据的众数是 ．
答案：28
解析：28出现三次，出现的次数最多，所以，填28。
13．太阳的半径约为696 000千米，用科学记数法表示数696 000为 ．
答案：
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
696 000＝
14．设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设 秒后两车间的距离为 千米， 关于 的函数关系如图所示，则甲车的速度是 米/秒．
答案：20
解析：设甲车的速度为v米/秒，乙车的速度为u米/秒，由图象可得方程：
，解得v＝20米/秒
15．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（－1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数 的图象上，则 的值等于 ．
答案：－12
解析：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，CG交AD于M点，过D点作DH⊥CG，垂足为H，
∵CD∥AB，CD=AB，∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴DH=AO=1，CH=OB=2，设C（m，n），D（m－1，n－2），
则mn＝（m－1）（n－2）=k，解得n=2－2m，
设直线BC解析式为y=ax+b，将B、C两点坐标代入得
，又n=2－2m，
BC＝ ＝ ，AB＝ ，因为BC＝2AB，
解得：m＝－2，n＝6，所以，k＝mn＝－12
16．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
答案：
解析：
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（本题满分6分）解方程： ．
解析：方程两边同乘以 ，得
解得 ．
经检验， 是原方程的解．
18．（本题满分6分）直线 经过点（3，5），求关于 的不等式 ≥0的解集．
解析：∵直线 经过点（3，5）∴ ．
∴ ．
即不等式为 ≥0，解得 ≥ ．
19．（本题满分6分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．
求证：∠A＝∠D．
解析：证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D．
20．（本题满分7分）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；
（2）求一次打开锁的概率．
解析：（1）设两把不同的锁分别为A、B，能把两锁打开的钥匙分别为 、 ，其余两把钥匙分别为 、 ，根据题意，可以画出如下树形图：
由上图可知，上述试验共有8种等可能结果．（列表法参照给分）
（2）由（1）可知，任意取出一把钥匙去开任意一把锁共有8种可能的结果，一次打开锁的结果有2种，且所有结果的可能性相等．
∴P（一次打开锁）＝ ．
21．（本题满分7分）如图，在平面直角坐标系中，
Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），
C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋
转后对应的△ C；平移△ABC，若A的对应点
的坐标为（0，4），画出平移后对应的△ ；
（2）若将△ C绕某一点旋转可以得到△ ，
请直接写出旋转中心的坐标；
（3）在 轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直
接写出点P的坐标．
解析：
（1）画出△A1B1C如图所示：
（2）旋转中心坐标（ ， ）；
（3）点P的坐标（－2，0）．
22．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是 的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证： ；
（2）如图②，若 ，求 的值．
解析：
（1）证明：∵弧BC＝弧BC，∴∠BAC＝∠BPC＝60°．
又∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB＝60°，∵点P是弧AB的中点，∴∠ACP＝30°，
又∠APC＝∠ABC＝60°，∴AC＝ AP．
（2）解：连接AO并延长交PC于F，过点E作EG⊥AC于G，连接OC．
∵AB＝AC，∴AF⊥BC，BF＝CF．
∵点P是弧AB中点，∴∠ACP＝∠PCB，∴EG＝EF．
∵∠BPC＝∠FOC，
∴sin∠FOC＝sin∠BPC= ．
设FC＝24a，则OC＝OA＝25a，
∴OF＝7a，AF＝32a．
在Rt△AFC中，AC2＝AF2+FC2，∴AC＝40a．
在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝ ，
∴ ，∴EG＝12a．
∴tan∠PAB＝tan∠PCB= ．
23．（本题满分10分）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度 /℃……－4－20244.5……
植物每天高度增长量 /mm……414949412519.75……
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 是温度 的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．
解析：
（1）选择二次函数，设 ，得 ，解得
∴ 关于 的函数关系式是 ．
不选另外两个函数的理由：
注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以 不是 的反比例函数；点（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以 不是 的一次函数．
（2）由（1），得 ，∴ ，
∵ ，∴当 时， 有最大值为50．
即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．
（3） ．
24．（本题满分10分）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证 ；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得 成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出 的值．
解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴ ．
（2）当∠B+∠EGC＝180°时， 成立，证明如下：
在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．
∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．
∴△ADE∽△DCM，
∴ ，即 ．
（3） ．
25．（本题满分12分）如图，点P是直线 ： 上的点，过点P的另一条直线 交抛物线 于A、B两点．
（1）若直线 的解析式为 ，求A、B两点的坐标；
（2）①若点P的坐标为（－2， ），当PA＝AB时，请直接写出点A的坐标；
②试证明：对于直线 上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．
（3）设直线 交 轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．
解析：
（1）依题意，得 解得 ，
∴A（ ， ），B（1，1）．
（2）①A1（－1，1），A2（－3，9）．
②过点P、B分别作过点A且平行于 轴的直线的垂线，垂足分别为G、H.
设P（ ， ），A（ ， ），∵PA＝PB，∴△PAG≌△BAH，
∴AG＝AH，PG＝BH，∴B（ ， ），
将点B坐标代入抛物线 ，得 ，
∵△＝
∴无论 为何值时，关于 的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的
点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A．
（3）设直线 ： 交y轴于D，设A（ ， ），B（ ， ）．
过A、B两点分别作AG、BH垂直 轴于G、H．
∵△AOB的外心在AB上，∴∠AOB＝90°，
由△AGO∽△OHB，得 ，∴ ．
联立 得 ，依题意，得 、 是方程 的两根，∴ ，∴ ，即D（0，1）．
∵∠BPC＝∠OCP，∴DP＝DC＝3．P
设P（ ， ），过点P作PQ⊥ 轴于Q，在Rt△PDQ中， ，
∴ ．∴ （舍去）， ，∴P（ ， ）．
∵PN平分∠MNQ，∴PT＝NT，∴ ，
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