九年级数学竞赛几何的定值与最值辅导教案

编辑: 逍遥路 关键词: 九年级 来源: 高中学习网
【例题就解】
【例1】 如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD,则CD长度的最小值为 .
思路点拨 如图,作CC′⊥AB于C,DD′⊥AB于D′,DQ⊥CC′,CD2=DQ2+CQ2,DQ= AB一常数,当CQ越小,CD越小,本例也可设AP= ,则PB= ,从代数角度探求CD的最小值.

注:从特殊位 置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与极端位置是指:
(1)中点处、垂直位置关系等;
(2)端点处、临界位置等.
【例2】 如图,圆的半径等于正三角形ABC的高,此圆在沿底边AB滚动,切点为T,圆交AC、BC于M、N,则对于所有可能的圆的位置而言, MTN为的度数( )
A.从30°到60°变动 B .从60°到90°变动
C.保持30°不变 D.保持60°不变
(湖北赛区选拔赛试题);
思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时,其弧的度数,再证明一般情形,从而作出判断.

注:几何定值与最值问题,一般都是置于动态背景下,动与静是相对的,我们可以研究问题中的变量,考虑当变化的元素运动到特定的位置,使图形变化为特殊图形时,研究的量取得定值与最值.

【例3】 如图,已知平行四边形ABCD,AB= ,BC= ( > ),P为AB边上的一动点,
直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.
(永州市竞赛题)
思路点拨 设AP= ,把AP、BQ分别用 的代数式表示,运用不等式 (当且仅当 时取等号)来求最小值.

【例4】 如图,已知等边△ABC内接于圆,在劣弧AB上取异于A、B的点M,设直线AC与BM相交于K, 直线CB与AM相交于点N,证明:线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.
思路点拨 即要证AK?BN是一个定值,在图形中△ABC的边长是一个定值,说明AK?BN与AB有关,从图知AB为△ABM与△ANB的公共边,作一个大胆的猜想,AK?BN=AB2,从而我们的证明目标更加明确.


注:只要探求出定值,那么解题目标明确,定值问题就转化为一般的几何证明问题.

【例5】 已知△XYZ是直 角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上,求△ABC直角边长的最大可能值.
( “宇振杯”上海市初中数学竞赛题)
思路点拨 顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上,当顶点Z在斜边AB上时,取xy的中点,通过几何不等关系求出直角边的最大值,当顶点Z在(AC或CB)上时,设CX= ,CZ= ,建立 , 的关系式,运用代数的方法求直角边的最大值.

注:数形结合法解几何最值问题,即适当地选取变量,建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系,再运用相应的代数知识方法求解.常见的解题途径是:
(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型,运用判别式求几何最值;
(2)构造二次函数求几何最值.

学力训练
1.如图,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点(可与B点或C 点重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是B′、C′、D′,则BB′+CC′+DD′的最大值为 ,最小值为 .
(江苏省竞赛题)
2.如图,∠AOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有 两点Q,R(均不同于点O),则△PQR的周长的最小值为 .
(湖北省黄冈市竞赛题)
3.如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则 的最大值等于 .
( “希望杯”邀请赛试题)

4.如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值为( )
A.1 B. C. D.
(湖北省荆州市中考题)
5.如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形,动点P从A点出发,沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是( )
A. B. C. D.
(贵阳市中考题)
6.如图、已知矩形ABCD,R,P户分别是DC、BC上的点,E,F分别是AP、RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,那么下列结论成立的是( )
A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变 D.线段EF的长不能确定
(桂林市中考题)

7.如图,点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合),分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.
(1)求证:MN∥AB;
(2)若AB的长为l0cm,当点C在线段AB上移动时,是否存在这样的一点C,使线段MN的长度最长?若存在,请确定C点的位置并求出MN的长;若不存在,请说明理由.
(2002年云南省中考题)
8.如图,定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动,M是ST的中点,P是S对AB作垂线的垂足,求证:不管ST滑到什么位置,∠SPM是一定角.
(加拿大数学奥林匹克试题)
9.已知△ABC是⊙O的内接三角形,BT为⊙O的切线,B为切点,P为直线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F.
(1)当点P在线段AB上时(如图),求证:PA?PB=PE?PF;
(2)当点P为线段BA延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明,如果不成立,请说明理由.


10.如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是( )
A.8 B.12 C. D.14

11.如图,AB是半圆的直径,线段CA上AB于 点A,线段DB上AB于点B,AB=2;AC=1,BD=3,P是半圆上的一个动点,则封闭图形ACPDB的最大面积是( )
A. B. C. D.
12.如图,在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB、AC上分别取点D、E,使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分,试求这 样线段的最小长度.
(全国初中数学联赛试题)
13.如图,ABCD是一个边长为1的正方形,U、V分别是AB、CD上 的点,AV与DU相交于点P,BV与CU相交于点Q.求四边形PUQV面积的最大值.
( “弘晟杯”上海市竞赛题)
14.利用两个相同的喷水器,修建一个矩形花坛,使花坛全部都能喷到水.已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆,问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽),才能使矩形花坛的面积最大?
(河南省竞赛题)
15.某住宅小区,为美化环境,提高居民生活质量,要建一个八边形居民广场(平面图如图所示).其中,正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为 800平方米.
(1)设矩形的边AB= (米),AM= (米),用含 的代数式表示 为 .
(2)现计划在正方 形区域上建雕塑和花坛,平均每平方米造价为2100元;在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪,平均每平方米造价为105元;在四个三角形区域上铺设草坪,平均每平方米造价为40元.
①设该工程的总造价为S(元),求S关于工的函数关系式.
②若该工程的银行贷款为235 000元,仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能,请列出设计方案;若不能,请说明理由.
③若该工程在银行贷款的基础上,又增加资金73000元,问能否完成该工程的建设任务?若能,请列出所有可能的设计方案;若不能,请说明理由.
(镇江市中考题)


16.某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE,边长和方向如图,欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓,请划出这块地基,并求地基的最大面积(精确到1m2).
(北京市数学知识应用竞赛试题)

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