湖南省株洲市2013年中考数学试卷
一、（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2013•株洲）一元一次方程2x=4的解是（ ）
A．x=1B．x=2C．x=3D．x=4
考点：解一元一次方程．
分析：方程两边都除以2即可得解．
解答：解：方程两边都除以2，系数化为1得，x=2．
故选B．
点评：本题考查了解一元一次方程，是基础题．
2．（2013•株洲）下列计算正确的是（ ）
A．x+x=2x2B．x3•x2=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x2
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的．
分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
解答：解：A、x+x=2x≠2x2，故本选项错误；
B、x3•x2=x5，故本选项正确；
C、（x2）3=x6≠x5，故本选项错误；
D、（2x）2=4x2≠2x2，故本选项错误．
故选：B．
点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．
3．（2013•株洲）孔明同学参加暑假军事训练的射击成绩如下表：
射击次序第一次第二次第三次第四次第五次
成绩（环）98796
则孔明射击成绩的中位数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
考点： 中位数．
分析：将数据从小到大排列，根据中位数的定义即可得出答案．
解答：解：将数据从小到大排列为：6，7，8，9，9，
中位数为8．
故选C．
点评：本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4．（2013•株洲）下列几何体中，有一个几何体的俯视图的形状与其它三个不一样，这个几何体是（ ）
A．
正方体B．
圆柱C．
圆锥D．
球
考点：简单几何体的三视图
分析：俯视图是分别从物体上面看所得到的图形．分别写出四个几何体的俯视图即可得到答案．
解答：解：正方体的俯视图是正方形；圆柱体的俯视图是圆；圆锥体的俯视图是圆；球的俯视图是圆．
故选：A．
点评：本题主要考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
5．（2013•株洲）如图是株洲市的行政区域平面地图，下列关于方位的说法 明显错误的是（ ）
A．炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上
B．醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上
C．株洲县位于茶陵的南偏东约40°的方向上
D．株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上
考点：坐标确定位置．
分析：根据坐标确定位置以及方向角对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上正确，故本选项错误；
B、醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上正确，故本选项错误；
C、应为株洲县位于茶陵的北偏西约40°的方向上，故本选项正确；
D、株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上正确，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了利用坐标确定位置，方向角的定义，是基础题，熟记方向角的概念并准确识图是解题的关键．
6．（2013•株洲）下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（ ）
A．等边三角形B．矩形C．菱形D．正方形
考点：轴对称图形．
分析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分别判断出各图形的对称轴条数，继而可得出答案．
解答：解：A、等边三角形有3条对称轴；
B、矩形有2条对称轴；
C、菱形有2条对称轴；
D、正方形有4条对称轴；
故选D．
点评：本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称及对称轴的定义．
7．（2013•株洲）已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（?3，y3）都在反比例函数 的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：探究型．
分析：分别把各点代入反比例函数y= 求出y1、y2、，y3的值，再比较出其大小即可．
解答：解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（?3，y3）都在反比例函数 的图象上，
∴y1= =6；y2= =3；y3= =?2，
∵6＞3＞?2，
∴y1＞y2＞y3．
故选D．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8．（2013•株洲）二次函数y=2x2+x+8的图象如图所示，则的值是（ ）
A．?8B．8C．±8D．6
考点：抛物线与x轴的交点．
分析：根据抛物线与x轴只有一个交点，△=0，列式求出的值，再根据对称轴在y轴的左边求出的取值范围，从而得解．
解答：解：由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，
所以，△=2?4×2×8=0，
解得=±8，
∵对称轴为直线x=? ＜0，
∴＞0，
∴的值为8．
故选B．
点评：本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，本题易错点在于要根据对称轴确定出是正数．
二、题（本题共2小题，每小题0分，共24分）
9．（2013•株洲）在平面直角坐标系中，点（1，2）位于第 一 象限．
考点：点的 坐标．
分析：根据各象限的点的坐标特征解答．
解答：解：点（1，2）位于第一象限．
故答案为：一．
点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（?，+）；第三象限（?，?）；第四象限（+，?）．
10．（2013•株洲）某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是 88 分．
考点：加权平均数．
分析：根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．
解答：解：∵笔试按60%、面试按40%，
∴总成绩是（90×60%+85×40%）=88分，
故答案为：88．
点评：此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．
11．（2013•株洲）计算： = 2 ．
考点：分式的加减法．
分析：分母不变，直接把分子相加即可．
解答：解：原式= =
=2．
故答案为：2．
点评：本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．
12．（2013•株洲）如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上．若∠1=70°，∠2=50°，则∠ABC= 120 度．
考点：平行线的性质．
分析：根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等求出∠4，然后相加即可得解．
解答：解：如图，∵l1∥l2∥l3，∠1=70°，2=50°，
∴∠3=∠1=70°，∠4=∠2=50°，
∴∠ABC=∠3+ ∠4=70°+50°=120°．
故答案为：120．
点评：本题考查了两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
13．（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是 48 度．
考点：垂径定理．
分析：根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案．
解答：解：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OC
∵∠A=42°
∴∠ACO=∠A=42°
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠DOC=90°?∠DCO=90°?42°=48°．
故答案为：48．
点评：本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线．
14．（2013•株洲）一元一次不等式组 的解集是 ＜x≤1 ．
考点：解一元一次不等式组．
分析：求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
解答：解：
∵解不等式①得：x＞ ，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式组的解集为： ＜x≤1，
故答案为： ＜x≤1
点评：本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
15．（2013•株洲）多项式x2+x+5因式分解得（x+5）（x+n），则= 6 ，n= 1 ．
考点：因式分解的意义．
专题：．
分析：将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+x+5的系数对应相等即可．
解答：解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，
∴x2+x+5=x2+（n+5）x+5n
∴ ，
∴ ，
故答案为6，1．
点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．
16．（2013•株洲）已知a、b可以取?2、?1、1、2中任意一个值（a≠b），则直线y=ax+b的图象不经过第四象限的概率是 ．
考点：列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．3
分析：列表得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y =ax+b不经过第四象限的情况数，即可求出所求的概率．
解答：解：列表如下：
?2?112
?2（?1，?2）（1，?2）（2，?2）
?1（?2，?1）（1，?1）（2，?1）
1（?2，1）（?1，1）（2，1）
2（?2，2）（?1，2）（1，2）
所有等可能的情况数有12种，其中直线y=ax+b不经过第四象限情况数有2种，
则P= = ．
故答案为：
点评：此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数图象与系数的关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题（本大题共8小题，共52分）
17．（4分）（2013•株洲）计算： ．
考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．
专题：．
分析：分别根据算术平方根、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数， 再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答：解：原式=2+3?2×
=5?1
=4．
点评：本题考查的是实数的运算，熟知算术平方根、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
18．（4分）（2013•株洲）先化简，再求值：（x?1）（x+1）?x（x?3），其中x=3．
考点：整式的混合运算—化简求值．
专题：计算题．
分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答：解：原式=x2?1?x2+3x=3x?1，
当x=3时，原式= 9?1=8．
点评：此题考查了整式的混合运算?化简求值，涉及的知识有：平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
19．（6分）（2013•株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）．
（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？
（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？
考点：一次函数的应用．
分析：（1）根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再把x=50代入进行计算即可得解．
解答：解：（1）∵CD∥x轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，
答：该植物从观察时起，50天以后停止长高；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵经过点A（0，6），B（30，12），
∴ ，
解得 ．
所以，直线AC的解析式为y= x+6（0≤x≤50），
当x=50时，y= ×50+6=16c．
答：直线AC的解析式为y= x+6（0≤x≤50），该植物最高长16c．
点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
20．（6分）（2013•株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B， ∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求证：AD=CD．
考点：切线的性质；等腰直角三角形；圆周角定理．
分析：（1）由AB是⊙O的直径，易证得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，易证得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度数；
（2）由AB=CB，BD⊥AC，利用三线合一的知识，即可证得AD=CD．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，BD⊥AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=CB，
∵直线BC与⊙O相切于点B，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°；
（2）证明：∵AB=CB，BD⊥AC，
∴AD=CD．
点评：此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（6分）（2013•株洲）某学校开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为 40% ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是 144 度；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析：（1）利用100%减去D、C、B三部分所占百分比即可得到最喜欢A项目的人数所占的百分比；所在扇形统计图中对应的圆心角度数用360°×40%即可；
（2）根据频数=总数×百分比可算出总人数，再利用总人数减去D、C、B三部分的人数即可得到A部分的人数，再补全图形即可；
（3）利用样本估计总每个体的方法用1000×样本中喜欢踢毽子的人数所占百分比即可．
解答：解：（1）100%?20%?10%?30%=40%，
360°×40%=144°；
（2）抽查的学生总人数：15÷30%=50，
50?15?5?10=20（人）．如图所示：
（3）1000×10%=100（人）．
答：全校最喜欢踢毽子的学生人数约是100人．
点评：此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（8分）（2013•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的长．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等；
（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵∠BAD=60°，
∴∠DAO= ∠BAD= ×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°?30°=60°，
∴∠AEF=180°?∠BOD?∠AOE=180°?30°?60°=90°，
∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，
∴OD= AD= ×2=1，
∴AO= = = ，
∴AE=CF= × = ，
∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，
∴高EF=2× = ，
在Rt△CEF中，CE= = = ．
点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，（2）求出△CEF是直角三角形是解题的关键，也是难点．
23．（8分）（2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；
（2）当△PQB 为等腰三角形时，求AP的长．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
分析：（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠ A=∠A），证明△APQ∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．
解答：（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠APQ=∠C．
在△APQ与△ABC中，
∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABC．
（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．
∵∠BPQ为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．
由（1）可知，△APQ∽△ABC，
∴ ，即 ，解得：PB= ，
∴AP=AB?PB=3? = ；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，点B为线段AB中点，
∴AP=2AB=2×3=6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为 或6．
点评：本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
24．（10分）（2013•株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0， ）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是2（＞0）．
（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；
（2）当=2时，求h的值；
（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF?tan∠ECP= ．
考点：二次函数综合题．
专题：代数几何综合题．
分析：（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x?1）2，（a≠0），然后把点（0， ）代入求出a的值，再化为一般形式即可；
（2）先根据的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解 析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；
（3）先把直线AB与x轴的距离是2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．
解答：（1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x?1）2，（a≠0），
∵抛物线过点（0， ），
∴a（0?1）2= ，
解得a= ，
∴抛物线C1的解析式为y= （x?1）2，
一般形式为y= x2? x+ ；
（2）解：当=2时，2=4，
∵BC∥x轴，
∴点B、C的纵坐标为4，
∴ （x?1）2=4，
解得x1=5，x2=?3，
∴点B（?3，4），C（5，4），
∵点A、C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（?5，4），
设抛物线C2的解析式为y= （x?1）2?h，
则 （?5?1）2?h=4，
解得h=5；
（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是2，
∴点B、C的纵坐标为2，
∴ （x?1）2=2，
解得x1=1+2，x2=1?2，
∴点C的坐标为（1+2，2），
又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，
∴CE=1+2?1=2，
∵点A、C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（?1?2，2），
∴AE =ED=1?（?1?2）=2+2，
设抛物线C2的解析式为y= （x?1）2?h，
则 （?1?2?1）2?h=2，
解得h=2+1，
∴EF=h+2=2+2+1，
∴t an∠EDF?tan∠ECP= ? = ? = ? = ，
∴tan∠EDF? tan∠ECP= ．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．
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