一、本章知识结构图
二、本章知识梳理
1.有序数对:用含有 的词表示一个确定的位置,其中各个数表示 的含义,我们把这种有 的 个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作 。
2.平面直角坐标系的概念:平面内两条互相 、 重合的 组成的图形。
3.各象限点的坐标的特点是:
⑴点P(x,y)在第一象限,则x 0,y 0.⑵点P(x,y)在第二象限,则x 0,y 0.
⑶点P(x,y)在第三象限,则x 0,y 0.⑷点P(x,y)在第四象限,则x 0,y 0。
4.坐标轴上点的坐标的特点是:
⑴点P(x,y)在x轴上,则x ,y .⑵点P(x,y)在y轴上,则x ,y 。
5.比例尺是图距与 的比。
6.利用平面直角坐标系来表示地理位置的一般步骤是:
⑴建立坐标系,选择一个适当的参照点为____,确定X轴、Y轴的______。
⑵根据具体问题确定适当的_______,在坐标轴上标出_______。
⑶在坐标平面内画出这些点,写出各点的______和各个地点的名称。
7.图形平移与点的坐标变化之间的关系(其中a、b为正数)
(1)左、右平移:
原图形上的点(x,y) ( )
原图形上的点(x,y) ( )
(2)上、下平移:
原图形上的点(x,y) ( )
原图形上的点(x,y) ( )
8.点的坐标变化与图形平移之间的关系(其中a、b为正数)
(1)横坐标变化,纵坐标不变:
原图形上的点(x,y) 向 平移 个单位
原图形上的点(x,y) 向 平移 个单位
(2)横坐标不变,纵坐标变化:
原图形上的点(x,y) 向 平移 个单位
原图形上的点(x,y) 向 平移 个单位
9.一、三象限的角平分线上的点:x=y;二、四象限的角平分线上的点:
平行于x轴的直线上的点 相等,平行于y轴的直线上的点 相等。
点P(x,y) 关于x轴的对称点 ;关于y轴的对称点 。
10.关于原点的对称点 距离计算:
点P(a,b)到x轴的距离为_____,到y轴的距离为_____,到原点的距离为_____。
A(a,0),B(c,0)间的距离 =____;A(0,b),B(0,d)间的距离 =______;
A(a,0),B(0,d) 间的距离 =________;A(a,b),B(c,d)间的距离 =______。
三、巩固练习
1.将点P(-2,3)向右平移3个单位,再向下平移5 个单位,所得的点的坐标为 。
2.点P到x轴、y轴的距离分别是2、1,则点P的坐标可能为 。
3.点P(x,y)在第四象限,且x=3,y=2,则P点的坐标是 。
4.点P(x,y)满足xy>0,则点P在( )
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第一象限和第三象限
5.已知点A(m,-2),点B(3,m-1),且直线AB∥x轴,则m的值为( )
A.3 B.1 C.0 D.-1
6.平面内点的坐标是( )
A.一个点 B.一个图形 C.一个数 D.一个有序数对
7.在平面直角坐标系内,下列说法错误的是( )
A.原点O不在任何象限内 B.原点O的坐标是0
C.原点O既在X轴上也在Y轴上 D.原点O在坐标平面内
8.X轴上的点P到Y轴的距离为2,则点P的坐标为( )
A.(2,0) B.(-2,0) C.(0,2) D.(2,0)或(-2,0)
9.三角形ABC三个顶点的坐标分别是 A(4,3)B(3,1)C(1,2),请你在平面直角坐标系中描出这个三角形,然后先将其向左平移4个单位,再将其向下平移2个单位,画出平移后的图形并写出相应顶点的坐标。
10.如图,写出三角形ABC各顶点的坐标并且求出三角形的面积。
四、课后练习
(一)、基础练习
1.有序数对(3,2)表示第3列第2排的座位,则位于第5列第4排的座位应记作( )
A.(4,5) B.(5,4) C.(5、4) D.(4、5)
2.在平面直角坐标系中,对于坐标P(2,5),下列说法错误的是( )
A.P(2,5)表示这个点在平面内的位置 B.点P的纵坐标是5
C.它与点(5,2)表示同一个坐标 D.点P到x轴的距离是5
3.在平面直角坐标系中,点C(-2,4)向右平移3个单位后得到D点,则D点的坐标是( )
A.(1,4) B.(-5,4) C.(-2,7) D.(-2,1)
4.下列坐标所表示的点中,距离坐标系的原点最近的是 ( )
A.(-1,1) B.(2,1) C.(0,2) D.(0,-2)
5.在平面直角坐标系中,若以点A(0,-3)为圆心,5为半径画一个圆,则这个圆与y轴的负半轴相交的点坐标是( )
A.(8,0) B.( 0,-8) C.(0,8) D.(-8,0)
6.已知x轴上的点P到y 轴的距离是3,则点P坐标是________ _。
7.已知点A(2,-3),若将点A向左平移3个单位得到点B,则点B坐标是_____ _,若将点A向上平移4个单位得到点C,则点C坐标是____ __。
8.在坐标轴上与点M(3,-4)距离等于5的点,共有几个?并求出这几个坐标。
9.平面内有A、B、C、D、E共5个点。
⑴请建立适当的平面直角坐标系,写出A、B、C、D、E的坐标;
⑵以线段AB为一边,画出一个平行四边形。
10.现有一张利用平面直角坐标系画出来的某公园景区地
图,如图,若知道游乐园D的坐标为(2,-2)。
⑴请按题意建立平面直角坐标系,写出其他景点的坐标;
⑵请指出距离原点最近和最远的景点。
二、拓展探究
如图,是两个五子棋爱好者对弈图(甲执黑子先行,
乙执白子后走),观察棋盘,若点M的位置记作(3,D),
乙必须在哪个位置上落子,才不会让甲在短时间内获
胜?为什么?
课题:《平面直角坐标系》全章水平测试
一、(每小题5分,共40分)
1.如图1是沈阳市地图简图的一部分,图中“故宫”、“鼓楼”所在的区域分别是( ).
A.D7,E6B.D6,E7 C.E7,D6 D.E6,D7
2.如图2,横坐标是正数,纵坐标是负数的点是( ).
A.A B.B C.C D.D
3.过A(4,-2) 和B(-2,-2) 两点的直线一定( )
A.垂直于x轴 B.与Y轴相交但不平于x轴 C.平行于x轴 D.与x轴、y轴平行
4.已知点 ( , ), ( , ),则A,B两点相距( ).
A.3个单位长度B.4个单位长度 C.5个单位长度D.6个单位长度
5.点P( ,1)在第二象限内,则点Q( ,0)在( ).
A. 轴正半轴上B. 轴负半轴上 C. 轴正半轴上D. 轴负半轴上
6.平面直角坐标系中,一个三角形的三个顶点的坐标,横坐标保持不变,纵坐标增加3个单位,则所得的图形与原图形相比( ).
A.形状不变,大小扩大了3倍 B.形状不变,向右平移了3个单位
C.形状不变,向上平移了3个单位 D.三角形被纵向拉伸为原来的3倍
7.利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布图的过程:①根据具体问题确定适当的单位长度;②建立平面直角坐标系;③在坐标平面内画出各点.其中顺序正确的是( ).
A.①②③ B.②①③ C.③①② D.①③②
8.下列说法错误的是( ).
A.平行于 轴的直线上的所有点的纵坐标相同 B.若点 ( , )在 轴上,则
C.平行于 轴的直线上的所有点的横坐标相同 D.(-3,4)与(4,-3)表示两个不同的点
二、题(每小题5分,共40分)
1.电影票上“4排5号”,记作(4,5),则“5排4号”记作______。
2.在平面直角坐标系中,点(-3,-1)在第________象限。
3.点( , )向右平移2个单位后的坐标是______。
4.已知点 在第二象限,且到 轴的距离是 ,到 轴的距离是 ,则点 的坐标为______。
5.矩形OABC在坐标系中的位置如图3,点B坐标为(3,-2),则矩形的面积等于_________。
6.如图4是小刚画的一张脸,他对妹妹说:“如果我用(1,3)表示左眼,用(3,3)表示右眼,那么嘴的位置可以表示成________。”
7.如图5,如果点A的位置为( , ),那么点B,C,D,E的位置分别为______、______、______、______。
8.直角坐标系中,在y轴上有一点p ,且线段OP=5,则P的坐标为 。
三、解答题(每题10分,共70分)
1.如图,请描出A(-3,-2),B(2,-2),C(3,1),D(-2,1)四个点。⑴线段AB、CD有什么关系?⑵顺次连接A、B、C、D四点组成的图形是什么图形?
2.如图,在平面直角坐标系中,点 (-2,0),B(2,0)。
⑴画出等腰三角形ABC(画一个即可);
⑵写出⑴中画出的三角形ABC的顶点C的坐标。
3.如图是具有 多年历史的古城扬州市区内的几个旅
游景点分布示意图。(图中每个小正方形的边长均为 个单
位长度)⑴请以国家AAAA级(最高级)旅游景点瘦西湖
为坐标原点,以水平向右为 轴的正方向,以竖直向上为
轴的正方向.用坐标表示下列景点的位置:
荷花池______、平山堂______、汪氏小苑______;
⑵如果建立适当的直角坐标系(不以瘦西湖为坐标原点),
例如:以______为原点,以水平向右为 轴的正方向,
以竖直向上为 轴的正方向.用坐标表示下列景点的
位置:平山堂______、竹西公园______.
4.星期天,李哲、丁琳、张瑞三位同学到大明公园春游时相互走散了。以中心广场为坐标原点,以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立坐标系,他们对着景区示意图通过电话相互报出了他们的位置。
李哲:“我这里的坐标是(-300,200).”
丁琳:“我这里的坐标是(-200,-100).”
张瑞:“我这里的坐标是(200,-200).”
你能在下图中标出他们的位置吗?如果他们三人要到另一景点(包括东门、西门、南门)集合,三人所行路程之和最短的选择是哪个景点?
5.四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(-2,8),B(-11,6),C(-14,0),D(0,0)。
⑴确定这个四边形的面积,你是怎么做的?
⑵如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变,横坐标增加2,所得的四边形面积又是多少?
第5题
第7题
6.已知A(3,1),B(8,5),若用(3,1) (3,3) (5,3) (5,4) (8,4) (8,5)表示由A到B的一种走法,并规定从A到B只能向上或向右走,请用上述表示法写出另两种走法,并判断这几种走法的路程是否相等。
7.如图,在平面直角坐标系中,一颗棋子从点P处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动,即第一次跳到点P关于点A的对称点M处,接着跳到点M关于点B的对称点N处,第三次再跳到点N关于点C的对称点处,….如此下去。
⑴在图中画出点M、N,并写出点M、N的坐标:
⑵求经过第2010次跳动之后,棋子落点的位置。
【学习目标】
1、 通过列表、描点、连线,在平面直角坐标系中确定“鱼”的位置。
2、 在同一直角坐标系中,感受图形上点的坐标变化与图形的变化(平移、伸长、压缩)之间的关系。
3、在平面直角坐标系中,通过坐标的变化与“鱼”的变化之间的关系,进一步体会数形结合的数学思想。
4、通过探索“变化的鱼”,感受学习数学的乐趣,增强学习数学的信心。
【学习准备】坐标纸、铅笔、直尺、不同颜色的笔。
1、问题 :画画看,像什么?在右边的平面直角坐标系中描出下列各点,并用线段依次连接起来。(0,0),(5,4),(3,0),(5,1), (5, - 1) (3,0),(4,-2),(0,0)再将所得的点用线段依次连接起来,像: 。
2、变换1: “鱼”游到哪儿啦?请将上图中的点(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)做以下变换:纵坐标保持不变,横坐标分别加3,再将所得的点用线段依次连接起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化 。
(0,0)(5,4)(3,0)(5,1)(5,-1)(3,0)(4,-2)(0,0)
(变换1) (变换2)
3、变换2: “鱼”又到哪儿啦?请将“问题图”中的点(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)做以下变换:纵坐标保持不变,横坐标分别加5,将所得的点用线段依次连接起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化 。
(0,0)(5,4)(3,0)(5,1)(5,-1)(3,0)(4,-2)(0,0)
上面,我们已经做了两次图形的变换,即纵坐标保持不变,横坐标分别加一个数。想一想,如果:纵坐标保持不变,横坐标分别减一个数,图形又作怎样的变化呢?试试下面变化:
4、变换3: “鱼”向前跑啦!将“问题图”中的点(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)做以下变换:纵坐标保持不变,横坐标分别减2,再将所得的点用线段依次连接起来,
所得的图案与原来的图案相比有什么变化 。
(0,0)(5,4)(3,0)(5,1)(5,-1)(3,0)(4,-2)(0,0)
(变换3) (学生活动①)
5、学生活动:
(1)、将图中“鱼”的“顶点”横坐标保持不变,纵坐标分别加 1,所得的图案与原图案相比有什么变化?
。
(2)、将图中“鱼”的“顶点”横坐标分别加2,纵坐标分别加 1,所得的图案与原图案相比有什么变化?
。
(3)、图中的“鱼”是由原来的“鱼”怎样变化而来得到的?它们对应“顶点”的坐标有怎样的关系?
(学生活动②) (学生活动③)
6、变换4“鱼”变长了!将“问题图”中的点(0,0),(5,4),(3,0),(5,1), (5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)做以下变换:纵坐标保持不变,横坐标分别乘以2,再将所得的点用线段依次连接起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化?
(0,0)(5,4)(3,0)(5,1)(5,-1)(3,0)(4,-2)(0,0)
(变换4) (议一议)
[议一议]
如果纵坐标、横坐标分别变成原来的 ,那么所得图案会发生什么变化?画出图形。(变为2倍呢?)
【中考真题】:
1、(2011山东日照,7,3分) 以平行四边形ABCD的顶点A为原点,直线AD为x轴建立直角坐标系,已知B、D点的坐标分别为(1,3),(4,0),把平行四边形向上平移2个单位,那么C点平移后相应的点的坐标是( )
(A)(3,3) (B)(5,3) (C)(3,5) (D)(5,5)
2、(2011山东泰安,12 ,3分)若点A的坐标为(6,3),O为坐标原点,将OA绕点O按顺时针方向旋转900得到OA',则点A'的坐标为( )
A.(3,-6) B.(-3,6) C.(-3,-6) D.(3,6)
3、(2011宁波市,5,3分)平面直角坐标系中,与点(2,-3)关于原点中心对称的点是
A. (-3,2) B. (3,-2) C. (-2,3) D. (2,3)
4、(2011内蒙古乌兰察布,8,3分)在平面直角坐标系中,已知线段AB的两个端点分别是A( 4 ,-1).B(1,1) 将线段AB平移后得到线段A 'B',若点A'的坐标为 (-2 , 2 ) ,则点 B'的坐标为( )
A . ( -5 , 4 ) B . ( 4 , 3 ) C. ( -1 , -2 ) D .(-2,-1)
5、(2011贵州安顺,10,3分)一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动,在第一秒钟,它从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1) →(1,1) →(1,0)→…],且每秒跳动一个单位,那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( )
A.(4,O)B.(5,0) C.(0,5) D.(5,5)
6、(2011湖南怀化,8,3分)如图4,若在象棋盘上建立直角坐标系,使“?”位于点(-1,-2),“?”位于点(2,-2),则“兵”位于点
A.(-1,1) B.(-2,-1) C.(-3,1) D .(1,-2)
7、(2011江苏泰州,13,3分)点P(-3,2)关于x轴对称的点P`的坐标是 。
8、(2011湖南邵阳,9,3分)在平面直角坐标系中,点(1,3)位于第________象限。
9、(2011江西南昌,14,3分)如图,△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的,则这点的坐标是 。
10、(2011山东威海,14,3分)正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知A点的坐标(0,4),B点的坐标(-3,0),则C点的坐标是 。
11、(2011浙江台州,15,5分)若点P(x,y)的坐标满足x+y=xy,则称点P为“和谐点”。请写出一个“和谐点”的坐标,答: 【答案】(2,2)或者(0,0)……
12、(2011湖南永州,19,6分)在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A,C的坐标分别为( ,5),( ,3)。
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系;
⑵请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′;
⑶写出点B′的坐标.
13、(2011安徽,18,8分)在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位.其行走路线如下图所示.
(1)填写下列各点的坐标:A4( , ),A8( , ),A12( , );
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数);
(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向.
【答案】⑴ A4(2,0); A8(4,0); A12(6,0);
⑵ A4n(2n,0);⑶ 向上.
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