初中数学垂心的向径基础公式

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  【—垂心的向径基础公式】在三角形的垂心定理中,有一个很重要的公理就是垂心的向径。

  垂心的向径

  设点H为锐角三角形ABC的垂心,向量OH=h,向量OA=a,向量OB=b,向量OC=c,

  则h=(tanA a+tanB b+tanC c)/(tanA+tanB+tanC).

  垂心坐标的解析解:

  设三个顶点的坐标分别为(a1,b1)(a2,b2)(a3,b3),那么垂心坐标x=Δx/2/Δ,y=-Δy/2/Δ。

  其中,

  Δ=det([x2-x1,x3-x2,y2-y1,y3-y2]);

  Δx=det([(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1),y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2),y3-y2]);

  Δy=det([x3-x2,(y2+y3)*(y3-y2);x3-x1,(y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3)]);

  垂心的向量特征:三角形ABC内一点O,向量OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是三角形的垂心。

  垂心的向径可以通过基本的公式来证明,也可以通过向量的知识来定义。


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