初中数学三线合一知识证明过程

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  【—三线合一证明】知识要领:等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

  三线合一的证明

  已知:△ABC为等腰三角形,AD为中线。求证:AD垂直平分BC,BD=DC

  ∵△ABC为等腰三角形 (已知)

  ∴AB=AC(等腰三角形的性质)

  ∴∠B=∠C(等边对等角)

  在△ABD和△ADC中:

  ∵AD为中线(已知)

  ∴BD=DC(等腰三角形中线为垂直平分线)

  ∵AD为公共边

  ∴△ADB≌△ADC(S.A.S)

  可得∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等)

  ∵∠ADB+∠ADC=∠BDC(已证),且∠BDC=180度(平角定义)

  ∴∠ADB=∠ADC=90°(等量代换)

  得证

  逆定理

  ① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合,那么这个三角形是等腰三角形。

  ② 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形。

  ——为什么“如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合,那么这个三角形是等腰三角形”不成立?

  因为:角平分线和中线重合,只能说明左右两个三角形的:1)角平分线两旁的角相等;2)中线旁的两条边相等;3)另一条边相等。而全等三角形的判定定理中没有ASS这一条,故不成立。

  知识归纳:其中一边上的中线与此边对角角平分线重合推证等腰三角形,可应用正弦定理,或过此边中点作另外两边垂线。


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