初中数学余弦的证明知识点

编辑: 逍遥路 关键词: 初中数学 来源: 高中学习网


  【—余弦的证明】我们学习过的余弦的证明包括了平面向量证法和平面几何证法两种。

  余弦的证明

  平面向量证法

  ∵如图,有a+b=c (平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

  ∴c·c=(a+b)·(a+b)

  ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2abCos(π-θ)

  (以上粗体字符表示向量)

  又∵Cos(π-θ)=-CosC

  ∴c^2=a^2+b^2-2abCosθ(注意:这里用到了三角函数公式)

  再拆开,得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

  即 CosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b

  同理可证其他,而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

  平面几何证法

  在任意△ABC中

  做AD⊥BC,交BC于D

  ∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a

  则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c

  根据勾股定理可得:

  AC^2=AD^2+DC^2

  b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

  b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

  b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

  b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

  cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

  不论什么样的三角形证明,都离不开的一个重要知识就是勾股定理。


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