【—等差数列】等差数列知识:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。
等差数列知识
等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项(arithmetic mean)。
有关系:A=(a+b)/2
通项公式
an=a1+(n-1)d
a1=S1(n=1)时
an=Sn-S(n-1) (n≥2)时
an=kn+b(k,b为常数) 推导过程:an=dn+a1-d 令d=k,a1-d=b 则得到an=kn+b
前n项和
倒序相加法推导前n项和公式:
Sn=a1+a2+a3······+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)(n个)=n(a1+an)
固 Sn=n(a1+an)/2
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半:
Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性质
且任意两项am,an的关系为:
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
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