【—梯形的公式应用】在等腰梯形中，若两条对角线垂直，则这个梯形的高就等于中位线的长，梯形的面积就等于高的平方。

　　如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2.求梯形的高。

　　解法1：如图(甲)，过A作AE∥DB交CB的延长线于点E。

　　∵AC⊥BD，

　　∴AC⊥AE.

　　∵AD∥EB，

　　∴AE=BD，EB=AD.

　　又∵四边形ABCD是等腰梯形，

　　∴AC=BD.

　　∴AE=AC.

　　∴△AEC是等腰直角三角形.

　　又AF是斜边上的高，故AF也为斜边上的中线.

　　∴AF=7cm

　　解法2：设梯形ABCD的两条对角线相交于O点，过O作OH⊥BC于点H，延长HO交AD于G点(如图(乙)).

　　∵AD∥BC，

　　∴HG⊥AD.

　　∵AB=DC，AC=DB，BC公共，

　　∴△ABC≌△DCB.

　　∴∠2=∠1.

　　又AC⊥BD，

　　∴△BOC是等腰直角三角形.

　　∴同理.

　　∴以下解答过程与解法1相同.

　　解法3：过D作DM⊥BC于点M(如图(丙)).

　　∵梯形ABCD是等腰梯形，

　　∴AC=DB，∠ABC=∠DCB.

　　又∵AF=DM，

　　∴Rt△AFC≌Rt△DMB，

　　∴∠DBC=∠ACB.

　　又∵AC⊥BD，

　　∴∠DBM=∠ACF=45°.

　　∴△AFC和△DMB都是等腰直角三角形.AF=FC，DM=MB，

　　∴.　以下解答过程与解法1相同.

　　本题的三种解法都是利用等腰直角三角形的性质或全等三角形的性质来证明该梯形的高就等于该梯形的中位线的长。

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