万能公式推导

　　

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,

　　

　　(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)

　　

　　再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

　　

　　然后用α/2代替α即可。

　　

　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

　　

　　三倍角公式推导

　　

　　tan3α=sin3α/cos3α

　　

　　=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

　　

　　=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

　　

　　上下同除以cos^3(α),得:

　　

　　tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

　　

　　sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

　　

　　=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

　　

　　=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

　　

　　=3sinα-4sin^3(α)

　　

　　cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

　　

　　=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

　　

　　=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

　　

　　=4cos^3(α)-3cosα

　　

　　即

　　

　　sin3α=3sinα-4sin^3(α)

　　

　　cos3α=4cos^3(α)-3cosα

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