用三角形的面积桥求锐角三角函数值

编辑: 逍遥路 关键词: 初中数学 来源: 高中学习网

一、利用三角形的面积桥求锐角三角函数值
例1 如图1,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点,求∠EAF的正切值。

图1
解:连结EF,作FG⊥AE,垂足为G
设正方形的边长为2,则BE=CE=CF=FD=1


在中,由勾股定理,得

在△AEF中,


易证:△ABE≌△ADF,∴AF=AE=
在Rt△AFG中



评注:本例考查了勾股定理、全等三角形等,要求锐角三角函数值必须在直角三角形进行,通过添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形,为解决问题创造了有利条件,使所求问题化归为利用三角形面积桥来解决。
例2 如图2,AB是圆O的直径,CD⊥AB于P,若BP=2,CD=12,求cos∠CAD的值。

图2
解:∵AB是圆O的直径,AB⊥CD
∴点P是弦CD的中点
∴PD=PC=6
由相交弦定理,得
PA·PB=PD·PC=PD2

在中,由勾股定理,得

易证:

过点D作DE⊥AC,垂足为E


在中,

评注:本例考查了圆中的相交弦定理、垂径定理,还考查了勾股定理、全等三角形等知识,通过添加辅助线,构造直角三角形 初二,利用三角形面积桥的特殊条件,提高了解题与为解决某些问题搭起了平台作用。
二、利用三角形的面积桥求点到直线的距离
例3 如图3,已知圆与圆外切于点C,AB是两圆的外公切线,A、B是切点,点A在圆上,点B在圆上。若AC、BC是关于x的方程的两个实数根,△ABC的周长为30,求点C到直线AB的距离。

图3
解:过点C作两圆的公切线交AB于点P,则AP=PC=PB

,即
∴△ABC是直角三角形。
设BC=a,AC=b,AB=c,根据题意及根与系数的关系,得

将①代入③,得④
根据勾股定理,得

将①、②、④代入⑤,得

经整理,得
,解得


都能使原方程有实根。
当时代入④,得
,不合题意,舍去。
当时,代入④,得

∴当时,代入②,得

设点C到直线AB的距离为h

评注:本例由两圆外切来判断三角形的形状,将方程中的根与系数的关系和判别式,以及勾股定理,配、方程等知识点串联在一起,综合性较强,所考查的知识点颇多,涉及面广,拓宽了对相关知识点的考查;同时合理构建方程组模型,利用方程的知识和三角形的面积桥是解决问题的关键;利用整体求值法,避免了求边长,提高了解题速度,有利于培养将所学过的掌握的相关知识转化为解决实际问题的,核心是应用,本例形成了较好的考查知识链。
三、利用三角形的面积桥求三角形的内切圆面积
例4 在△ABC中,AC=4,BC=5,AB=6,求△ABC的内切圆面积。
解:如图4所示,过点A作AD⊥BC,设BD=x,CD=y,则

图4

在和中,由勾股定理,得



解①,②,得


设△ABC的内切圆半径为r,因为三角形的内切圆圆心到三边的距离相等。



的内切圆面积为(面积单位)。
评注:本例充分利用方程知识和三角形的面积桥,使所求问题无从下手,到“柳暗花明”,使所求问题迎刃而解。
四、利用三角形的面积桥解决其他问题
例5 在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,点P为BC边上的任一点(不与B、C重合),PE⊥AB,PF⊥AC,E、F为垂足,求3PE+4PF的值。
解:如图5过点B作BD⊥AC,垂足为D

图5

则①
在和中,由勾股定理,得


即②
解①,②,得


连结AP,则


评注:本例是2004年全国高题改编,在解题过程中,利用了方程思想,实现了几何代数化,由方程知识和三角形的面积桥,使解题思路清晰,解题方法跃然纸上,简洁明快,所以三角形的面积桥为提高解题质量和技巧提供了便捷通道。


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